Chapitre 8 Champ magnétique

Chapitre 8
Champ magnétique
Questions :
l’équation :
#3) Dans
F = qv ×B
Les couples de vecteurs toujours perpendiculaires entre eux sont :
F et v
F et B
#4) Rayon de la trajectoire d’une particule en fonction de l’énergie cinétique :
r=
mv
qB
m
r=
avec
2K
m = 2K m
qB
qB
K=
⇒
1 2
2K
mv → v =
2
m
r∝ K
Si on quadruple l’énergie cinétique de la particule, le rayon de sa trajectoire sera
doublé.
#5) Les champs agissent comme un sélecteur de vitesse ou sont dans la même direction
que la trajectoire des électrons :
i.
ii.
Sélecteur de vitesse doit avoir les conditions suivantes pour que le faisceau
ne soit pas dévié :
• E et B perpendiculaires
• le plan formé par E et B est perpendiculaire à v des électrons
E
• v=
B
Les champs dans la même direction :
• La force magnétique est nulle :
0 F = q v × B = q v B sin θ um = 0
1
• La force électrique va permettre d’accélérer les électrons, sans les
dévier :
F =qE
Les électrons iront plus vite si le champ est dans la direction
opposée ou seront ralentis par les lignes de champ électrique dans la
même direction que leur vitesse.
#8) Charge
électrique dans un champ magnétique :
F = q v × B = q v B sin θ um
Le champ est nécessairement perpendiculaire à la force. Il possède aussi une
composante perpendiculaire, non-nulle, à la vitesse.
#9) Visualisation du champ magnétique :
Ciel
× Ouest
Sud
Est •
B
Nord
Sol
i.
Un électron se déplaçant vers le Nord est équivalent à un positron se déplaçant
vers le Sud :
0 F = q v × B = q v B sin180° um = 0
ii.
Un électron se déplaçant vers l’Est est équivalent à un positron se déplaçant
vers l’Ouest :
1 Sol
F = q v × B = q v B sin 90° um = q v B vers le Sol
iii.
Un électron se déplaçant vers le Haut (le Ciel) est équivalent à un positron se
déplaçant vers le Sol :
1 Est
F = q v × B = q v B sin 90° um = q v B vers l ' Est
2
#12) La particule pourra effectuer une trajectoire fermée, soit un mouvement circulaire
uniforme, si sa vitesse est parfaitement perpendiculaire au champ magnétique.
#16) Le barreau produit un champ magnétique qui, à son tour, pourra générer une force
sur les électrons en mouvement, déviant ainsi leur trajectoire vers l’écran
cathodique. L’image sur l’écran s’en trouve déformée.
Exercices :
#1)
Visualisation du champ magnétique:
B = 0, 6 ×10−4 T vers le Nord
v = 1×106 m
s
q=e
Ciel
× Ouest
Sud
Est •
Nord
B
Sol
a) La force si la vitesse du proton est dirigée vers le sol :
1 F = q v × B = q v B sin 90° um
Est
= 9, 61× 10−18 N vers l ' Est
b) La force si la vitesse de l’électron est dirigée vers l’Ouest (positron vers l’Est):
1 F = q v × B = q v B sin 90° um
Haut
= 9, 61×10−18 N vers le Ciel
3
#2) L’équivalent d’un positron se dirigeant dans la direction opposée :
q=e
v+ = 1×106 m j
s
−15
F = 3, 2 × 10 N i
Sachant que le champ est perpendiculaire à la force (obligatoirement) et à la vitesse
(selon l’énoncé), celui-ci sera selon ± k . Pour obtenir la bonne direction pour la
force :
j ×k = i
Donc le champ magnétique est dirigé selon l’axe des z positif :
( j ×k )
F = q v × B = q v B sin 90° um
= 3, 2 ×10−15 N i
⇒ B = 20, 0 mT k
#4) Visualiser la figure 8.46 :
q = 1µ C
v = 1×106 m
s
−4
B = 500 ×10 T j
a) Avec v = v i :
1 (i × j )
F = q v × B = q v B sin 90° um
= 50, 0 mN k
b) Avec v = −v cos 45° i + v sin 45° j = 7, 07 ×105 m s ( −i + j ) :
i
F = q v × B = q −7, 07 ×105 m
0
j
s
k
7, 07 ×105 m
−4
500 × 10 T
s
0 = −35, 4 mN k
0
4
c) Avec v = v cos 45° i − v sin 45° k = 7, 07 ×105 m s ( i − k ) :
i
k
j
F = q v × B = q 7, 07 ×105 m
−7, 07 ×105 m
0
s
−4
500 ×10 T
0
s
= 35, 4 mN k + 35, 4 mN i
0
F = 35, 4 mN i + k = 50, 0 mN dans le plan xz à 45° de l ' axe des x + vers l ' axe des z +
(
)
#5) Charge positive dans un champ magnétique:
i.
Lorsque la charge se déplace dans le plan xy, la force est selon z+ :
y
v
z
F
•
30°
•
x
Obligatoirement, le champ magnétique doit être dans le plan xy afin d’être
perpendiculaire à la force. De plus, pour que la force soit dirigée selon les z+ ,
le champ doit être compris dans l’intervalle suivant : ]30°, 210°[
ii.
Lorsque la charge se déplace, avec le même module de vitesse, mais selon y+,
elle subit une force selon z- :
y
v
z
•
F
x
x
Pour que la force soit dirigée selon les z+ , le champ doit être compris dans
l’intervalle suivant : ]30°,90°[ . Et pour avoir le même module de force que
5
d’en la situation précédente, il faut que dans les deux cas, l’angle entre la
vitesse et le champ soit le même : B dans le plan xy à 60, 0°
#6) Figure 8.47:
q = −0, 25µ C
v+ = 2 ×106 m dans le plan xz à 45° des x − vers les z −
s
B = 0, 03T
a) Si le champ est orienté selon les z+, l’angle le plus petit entre la vitesse
(positive) et le champ magnétique
est de 135˚ :
j
F = q v × B = q v B sin135° um = 10, 6 mN j
z
B
y
45°
x
F
x
x
v+
b) Si la force est dirigée vers les y+, le champ magnétique est nécessairement
dans le plan xz :
F = 4 ×10−3 N j
F = q v × B = q v B sin θ = 4 ×10−3 N
⇒ θ = 15,5° ou 165°
Tout en s’assurant que la règle de la main droite donne une force selon + j et
non − j
B = 0, 03T dans le plan xz à 60,5° des x + vers z + ou
B = 0, 03T dans le plan xz à 29,5° des x − vers z −
6
z
F
B
y
60,5°
x
29, 5°
B
x
x
v+
#7) Trouver la force :
q = −4 µC
v+ = −2 i + 3 j − 1 k ×106 m
s
−2
B = 2 i + 5 j − 3 k × 10 T
(
(
)
)
i
F = q v × B = q −2 ×106 m
s
3 ×106 m
0, 02T
#9)
k
j
0, 05T
s
−1× 106 m
s
= −0,160 i − 0,320 j − 0, 640 k N
(
)
−0, 03T
Trouver la vitesse:
q = −1, 602 ×10−19 C
v = ? avec vz = 0
B = −1, 2 T k
F = ( −2 i + 6 j ) ×10−13 N
F = ( −2 i + 6 j ) × 10−13 N = q v × B
→
→
→
⇒
i
j
k
F
v × B = = (1, 25 i − 3, 75 j ) ×106 N = vx v y
0
C
q
0 0 −1, 2T
→ v y = −1, 04 ×106 m
( −1, 2T ⋅ vy ) i = 1, 25 ×106 N C i
s
6 N
6 m
− ( −1, 2T ⋅ vx ) j = −3, 75 ×10
j → vx = −3,13 ×10
C
s
6 m
v = ( −3,13 i − 1, 04 j ) ×10
s
j
i
7
#11) Un proton:
q = 1,602 × 10−19 C
v = ( 2 i + 3 j ) ×106 m
s
B=?
F = −1, 28 ×10−13 N k
F = −1, 28 × 10−13 N k = q v × B
i
→
→
→
→
j
F
v × B = = −8 ×105 N k = 2 ×106 m
3 ×106 m
C
s
s
q
Bx
By
3 ×106 m ⋅ Bz i = 0
→ Bz = 0
s
− 2 ×106 m ⋅ Bz j = 0
→ Bz = 0
s
2 ×106 m ⋅ By − 3 × 106 m ⋅ Bx k = −8 × 105 N k
s
s
C
(
(
)
(
)
)
k
0
Bz
(une équation, deux inconnues )
D’après la suite de l’énoncé, si v = v k → F = F i , obligatoirement, le champ
magnétique n’a pas de composante selon x, puisque la force doit être
perpendiculaire à celui-ci.
→
⇒
( 2 ×10 m s ⋅ B − 3 ×10 m s ⋅ B ) k = −8×10 N C k
6
0
6
y
5
x
B = −0, 400T j
#12) Fil dans un champ magnétique :
I = 1×103 A
B = 0,5 ×10−4 T vers le Nord
l = 1m de l ' Ouest vers l ' Est
Ciel
× Nord
F
Sud •
Ouest
Est
I
B
x
Sol
8
1 F = I l × B = Il B sin 90° um
Haut
= 50, 0 mN vers le Ciel
#13) Figure 8.48 avec le champ B1 = − B1 k :
y
I
d
2d
x
B1
z
x
•
F3
d
On divise le fil en 3 parties :
•
Fil 1 (la partie horizontale) :
1 ( i ×( − k ) )
F1 = I l × B = Id B1 sin 90° um
= Id B1 j
•
Fil 2 (la partie verticale) :
1 ( j ×( − k ) )
F2 = I l × B = Id B1 sin 90° um
= − Id B1 i
• Fil 3 (l’hypoténuse) :
1 45° sous l ' axe x

F3 = I l × B = I 2d B1 sin 90° um
= I 2d B1  cos 45°

2
2
i − sin 45°
2
2

j  = Id B1 ( i − j )

#14) Figure 8.48 avec le champ B2 = − B2 i :
y
I
d
2d
B2
z
•
x
d
On divise le fil en 3 parties :
9
•
Fil 1 (la partie horizontale) :
0 F1 = I l × B = Id B2 sin180° um = 0
•
Fil 2 (la partie verticale) :
1 ( j ×( − i ) )
F2 = I l × B = Id B2 sin 90° um
= Id B2 k
•
Fil 3 (l’hypoténuse) :
F3 = I l × B = I 2d B2 sin 45°
2
2
um
−k
= − Id B2 k
#16) Figure 8.49 :
Le courant doit être entrant pour être capable d’avoir une somme des forces nulle :
l = −15cm k
m = 30 × 10−3 kg
θ = 37°
B = 0, 25T j
N
I
⊗
B
P
Fmagnétique
y
z
x
•
37˚
Pour avoir équilibre :
∑ F = N + P + Fmagnétique = 0
1 ∑ Fx = − N cos 53° + Il B sin 90° i = 0
∑ Fy = ( N sin 53° − mg ) j = 0
(
De (1) : N cos 53° = Il B
De (2) : N sin 53° = mg
)
(1)
(2)
(3)
(4)
Deux équations, deux inconnues :
(4)
mg
= tan 53° =
(3)
Il B
⇒ I = 5,91A (−k )
10
#19) Fil
:
l = 0, 45m k
I = 6A
F = −0, 05 N i
B=?
F
y
z
•
•I
x
a) On spécifie que le champ est perpendiculaire au fil, et il doit obligatoirement
être perpendiculaire à la force. Donc, tout en respectant le règle de la main
droite : B = B j . Le module :
1
F = Il B sin 90° = 0, 05 N
⇒ B = 18,5 mT j
b) Pour être perpendiculaire à la force, la champ doit être dans le plan yz. Pour
que la règle de la main droite donne une force vers les x-, le champ
magnétique est à 30˚ des l’axe z+ vers les y+ :
z
I
x
x
F
B
30°
•
y
F = Il B sin 30° = 0, 05 N
⇒ B = 37, 0 mT dans le plan yz à 60° des y + vers les z + = 18,5 j + 32, 0 k mT
(
)
#28) Un proton :
q = 1, 602 ×10−19 C
m = 1, 672 × 10−27 kg
v = 3 ×107 m perpendiculaire à B
s
B = 0, 05T
11
a) Le rayon :
r=
mv
= 6, 26m
qB
b) La période :
T=
2π m
= 1, 31µ s
qB
#30) Un proton décrit un cercle:
q = 1,602 × 10−19 C
m = 1, 672 ×10−27 kg
r = 0,1m
B = 1T
a) La quantité de mouvement :
p = mv = rq B = 1, 60 ×10−20 kg ⋅ m
s
b) L’énergie cinétique :
K=
1
m p2
m v2 ⋅ =
= 7, 67 × 10−14 J = 4, 79 ×105 eV
2
m 2m
#33) Proton et deutéron:
1: proton
2 : deutéron
m2 = 2m1
q1 = q2 = e
v perpendiculaire à B → mouvement circulaire uniforme
a) Si p1 = p2 :
p1 = p2
m1v1 = m2v2
r1 q1 B = r2 q2 B
⇒
r1 = r2
12
b) Si v1 = v2 :
v1 = v2
r1 q1 B
m1
=
r2 q2 B
m2
r1
r
= 2
m1 2 m1
⇒
r2 = 2r1
c) Si K1 = K 2 :
K1 = K 2
p12
p2
= 2
2 m1 2 m2
(r q B ) = (r
2
1
1
2
m1
q2 B
)
2
⇒
2 m1
r2 = 2 r1
#35) Proton et alpha:
1: proton
2 : alpha
m2 = 4m1
q2 = 2q1
v perpendiculaire à B → mouvement circulaire uniforme
Les deux particules ont le même rayon de courbure :
r1 = r2
m1v1 m2 v2
=
q1 B1 q2 B2
a) Si v1 = v2 :
r1 = r2
m1 v1
q1 B1
m1
q1 B1
=
m2 v2
=
4 m1
q2 B2
2 q1 B2
⇒
B2 = 2 B1
13
b) Si p1 = p2 :
r1 = r2
p1
q1B1
p2
=
q2 B2
1
1
=
q1 B1 2 q1 B2
⇒
B1 = 2 B2
c) Si K1 = K 2 :
r12 = r22
p12
( q1 B1 )
2
2 m1 K1
( q1 B1 )
(
m1
q1 B1
2
=
=
p22
( q2 B2 )
2 m2 K 2
( q2 B2 )
2
4 m1
=
) (
2
2
2 q1 B2
)
2
⇒
B1 = B2
#36) Un électron décrivant une trajectoire hélicoïdale :
q = −1, 602 ×10−19 C
m = 9,109 ×10−31 kg
v = 4 ×106 m ⋅ cos 30° = 3, 46 × 106 m
s
s
B = 0, 04T
2π m
= 0,893ns
qB
d = v T = 3, 09mm
T=
#39) Particule alpha :
q = 2e
m = 6, 7 ×10−27 kg
∆V = −14kV
B = 0, 6T
14
∆K = −∆U = −q ∆V
(
)
0
1
m v 2 − v02 = − q ∆V
2
→ v = 1,16 ×106 m
s
mv
⇒ r=
= 4, 03cm
qB
#40) Deux isotopes :
m1 = 20u
m2 = 22u
u = 1, 661×10−27 kg
q1 = q2 = e
∆V = −1kV
B = 0, 4T
∆K = −∆U = −q ∆V
(
)
0
1
m v 2 − v02 = −q ∆V
2
avec
v2 =
r 2 q2 B2
m2
2
r 2 q B2
1
m⋅
= − q ∆V
2
m2
( sachant que ∆V est négatif )
2m ∆V
→
r=
q
B
⇒ r1 = 5, 09cm
⇒ r2 = 5,34cm
∆D = D2 − D1 = 2r2 − 2r1 = 2(r2 − r1 ) = 0, 497cm
On doit faire la différence des diamètres des trajectoires car elles n’ont pas un
centre commun.
15
#42) Électron dans un sélecteur de vitesse. E , B et v sont perpendiculaires :
q = −e
v = 2 ×106 m i
s
6 m
v+ = −2 ×10
i
s
E = −200 V
j
m
a) On
veut que la force magnétique annule la force électrique
Félectrique = qE = eE j
Donc
e
1 Fmagnétique = −eE j = q v+ × B = − q v B sin 90° j
− eE j = − e vB j
E ⇒ B = − k = −1, 00 ×10−4 T k
v
b) Si on enlève le champ électrique :
r=
mv
= 11, 4cm
qB
Problèmes :
#6) Figure 8.57 : Trouver le champ magnétique :
m = 10 ×10−3 kg
l = 0, 08m i
y0 = −0, 04cm j
y = −0, 03cm j lorsque I = 20 A
•
Sans courant électrique :
=0
∑ F = P + Fressorts
( −mg + 2k y0 ) j = 0
→ k = 1, 23 N
m
16
•
Avec le courant :
∑ F = P + Fressorts + Fmagnétique = 0
( −mg + 2k y + Il B ) j = 0
⇒
B=
( mg − 2k y ) = 15,3 mT
Il
#7) Électron dans un champ magnétique :
q = −e
m = 9,109 ×10−31 kg
v = 3 × 107 m i
s
B=B k
r = 0, 02m
a) Le module du champ magnétique :
B=
mv
= 8,53 mT
qr
b) Pour 1/12 de tour :
t=
T
1 2π m
=
= 0, 349ns
12 12 qB
c) Position à cetinstant : x = r sin 30° i = 1, 00cm i
y = ( r − r cos 30° ) j = 0, 268cm j
17