Exemple 4

Exemple 4 (Chapitre 9) Tiré du site de Jérôme Giasson
Deux longs fils parallèles sont placés l’un au-dessus de l’autre. Ils portent
des courants i égaux et de même sens. Ils sont espacés d’une distance
2d sur l’axe des « y » de part et d’autres de l’axes des «x» comme
l’indique la figue ci-dessous.
1
d
P
d

B
x
2
A)
Quel est le champ magnétique résultant à une distance x sur un
axe des « x » . L’axe passe à mi-chemin entre les fils et
perpendiculaire au plan formé par les fils ?
B) À quelle distance x le champ magnétique est-il maximal?
1
Exemple (Chapitre 9)
A) Quel est le champ magnétique à une distance x sur un axe des « x
» . L’axe passe à mi-chemin entre les fils et perpendiculaire au plan
formé par les fils
Problème: On cherche B résultat
Solution:
Situation
I sort

B
d
Partant du théorème d’Ampère
 
∫ B • ds = µo I net
P
d
x
On obtient
B=
µ i
B= o
2πr
µ oi
2π x 2 + d 2
Chaque fil produit un champ magnétique au point P. Le champ
résultant est la somme vectorielle de ces champs.
2
Le champ est perpendiculaire à la droite qui joint le fil au point. Les
champs B1 et B2 ont la même intensité.
y
µo i
B=
2π x2 + d 2
1
d
µo i
sin θ
2π x2 + d 2
x
x2 + d 2
où
sin θ =
BR =
µo i ×
x
π x2 + d 2
x2 + d 2
θ
θ
Les composantes en x s’annulent par
symétrie. Le champ résultant est :
BR = 2×
B1
B2
x
d
x
2
Résultat probable

BR =
µo i x
π(x2 + d 2 )

j
Justification: Théorème d’Ampère
et principe de superposition
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B) À quelle distance x le champ magnétique est-il maximal?
y
Solution
B2
1
Le champ est maximal lorsque la
dérivée est nulle
d BR
dx
µo i 
π


d
= 
dx 
d


 =0
π ( x 2 + d 2 ) 
µo i x
d
2
 ( x

2
+ d 2 ) −1 − x ( x 2 + d 2 ) −2 × 2 x  = 0

B1
θ
x
(x2+ d 2 )= 2x2
Résultat probable
( x 2 + d 2 ) −1 − 2 x 2 ( x 2 + d 2 ) −2 = 0
( x 2 + d 2 ) −1 = 2 x 2 ( x 2 + d 2 ) −2 = 0
1= 2 x 2 ( x 2 + d 2 ) −1
x=d
Justification : Utilisation de
la dérivée
Jérôme Giasson
4
C ) Quel est la valeur du champ électrique au point P ?
E = ???
d
P
d
x
Problème : On cherche E au point P
Solution : Puisque les fils ne sont pas chargés, le champ
électrique est nul en n’importe quel point de l’espace entourant les
fils.
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Il faut que le fil soit chargé pour produire un champ
électrique. Dans le cas où nous avons un fil isolé et
chargé, le champ électrique se calcule avec le théorème
de Gauss
E
+ + + + + + + + + + + + + + + +
Mais, dans les conditions normales, un fil dans lequel circule
un courant est neutre. Le courant produit alors un champ
magnétique uniquement.
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