oscillations mécaniques forcées
Lycée Viette TSI 1
Rabeux Michel Page 1
Oscillations forcées
Oscillations forcées Oscillations forcées
Oscillations forcées
en mécanique
en mécaniqueen mécanique
en mécanique
I. Oscillateur amorti soumis à une excitation
Lorsque l'oscillateur ( amorti par frottement fluide ) est soumis à une force excitatrice
son équation différentielle s'écrit :
La solution de cette équation est :
•
solution de l'équation homogène ( indépendante de l'excitation ). Cette solution
a été étudiée en première partie de mécanique. Elle s'annule au bout de
quelques temps caractéristique.
•
solution particulière, elle a la même forme que .
Au bout de quelques
seule cette solution subsiste.
Les conditions initiales permettent de déterminer les deux constantes qui apparaissent
dans
s'applique sur et non sur seulement
Si est une constante, la solution
correspond à la position d'équilibre. Ce cas est
l'équivalent d'une réponse à un échelon pour un circuit électrique.
Si est une fonction sinusoïdale de pulsation la solution forcée
sera une
fonction sinusoïdale de même pulsation ( réponse harmonique).
ne pas confondre
et
Si est une fonction périodique ( période ) elle peut être décomposée en somme de
fonctions sinusoïdales de pulsations
la solution forcée
sera une somme
de fonctions sinusoïdales de pulsations
.
II. Oscillations sinusoïdales forcées, résonance
1. Etude des oscillations forcées d'un pendule élastique horizontal
ξ
La solution d'une telle équation est la somme de deux termes :
• sol. de l’éq. homo. ( régime libre ) cette solution s'annule "assez" rapidement
• sol. particulière : c'est la solution dite forcée, elle est de la forme :
est l'amplitude de la réponse à l'excitation forcée est la phase de
Au bout de quelques
, par la suite seule cette solution nous
intéresse.
et se déterminent à l'aide de la résolution complexe ( la méthode de Fresnel peut aussi
être utilisée ).
ℜ
ℜ
ℜ
Lycée Viette TSI 1
Rabeux Michel Page 2
L'équation différentielle devient :
ϕ
varie de 0 à π
La vitesse complexe a pour expression
La phase de vitesse / ) s’obtient en ajoutant
à la phase de
La phase de vitesse / a donc pour expression :
La construction de Fresnel est la suivante ( dans le cas où
)
ω
λ
ϕ
ω
2
0
ω
•
••
• Impédance mécanique
Par analogie avec l’électrocinétique, on définit une impédance mécanique
Lycée Viette TSI 1
Rabeux Michel Page 3
•
••
• Puissance fournie par l'excitateur
La puissance instantanée fournie par la force excitatrice a pour expression :
La valeur moyenne s’écrit :
analogie avec de l’électrocinétique
or
( voir la construction de Fresnel )
Cette puissance est l’opposé de la puissance dissipée par les frottements
Ceci est logique, le régime étant stationnaire la puissance reçue de la part de l’excitateur doit
être dissipée ( par frottement ).
2. Résonance
Etudions en fonction
avec
Cette puissance est maximale pour
avec
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
2
3
4
5
résonance aiguë
résonance floue
Lycée Viette TSI 1
Rabeux Michel Page 4
• Finesse de la résonance ( bande passante à – 3 dB )
Elle est caractérisée par la largeur du pic à mi-hauteur ( bande passante à - 3 dB )
∆
• Etude de l’amplitude de la vitesse
atteint sa valeur maximale pour
avec
pour et
La résonance en vitesse correspond à la résonance en puissance ( même bande passante )
La bande passante se calcule par
• Etude de l'amplitude de l'élongation
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
2
3
4
5
Lycée Viette TSI 1
Rabeux Michel Page 5
passe par un maximum si
pour
avec
pour
• Etude de la phase
est la phase de par rapport à
La phase de par rapport à est :
ψ
• Si
ϕ
et sont en phase
ψ
est en quadrature avance par rapport à
• Si
ϕ
et sont en opposition de phase,
ψ
est en quadrature retard par rapport à
• Si
ϕ
est en quadrature retard par rapport à
ψ
et sont en phase
• Si
ϕ
ψ
• Si
ϕ
ψ
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
2
3
4
5
6
7
1
/
7
100%
