oscillations mécaniques forcées

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Oscillations forcées en mécanique
I. Oscillateur amorti soumis à une excitation
Lorsque l'oscillateur ( amorti par frottement fluide ) est soumis à une force excitatrice ()
()
son équation différentielle s'écrit : () + () + . () =
La solution de cette équation est : () = () + é ()
• () solution de l'équation homogène ( indépendante de l'excitation ). Cette solution
a été étudiée en première partie de mécanique. Elle s'annule au bout de
quelques temps caractéristique.
• é () solution particulière, elle a la même forme que ().
Au bout de quelques . seule cette solution subsiste.
Les conditions initiales permettent de déterminer les deux constantes qui apparaissent
dans () s'applique sur () et non sur seulement ()
Si () est une constante, la solution é correspond à la position d'équilibre. Ce cas est
l'équivalent d'une réponse à un échelon pour un circuit électrique.
Si () est une fonction sinusoïdale de pulsation , la solution forcée é () sera une
fonction sinusoïdale de même pulsation ( réponse harmonique).
ne pas confondre et Si () est une fonction périodique ( période ) elle peut être décomposée en somme de
. .
fonctions sinusoïdales de pulsations = ! , la solution forcée é () sera une somme
de fonctions sinusoïdales de pulsations =
. .
!
.
II. Oscillations sinusoïdales forcées, résonance
1. Etude des oscillations forcées d'un pendule élastique horizontal
". # () = −%. () − &. () + . cos (. )
,
= +
= 2. ξ. = # +
+
,
# + + =
+ . =
cos (. )
cos (. )
La solution d'une telle équation est la somme de deux termes :
• sol. de l’éq. homo. ( régime libre ) cette solution s'annule "assez" rapidement
• sol. particulière : c'est la solution dite forcée, elle est de la forme :
é () = / . cos (. − 0)
/ est l'amplitude de la réponse à l'excitation forcée −0 est la phase de ()/()
Au bout de quelques . () = é (), par la suite seule cette solution nous
intéresse.
/ et 0 se déterminent à l'aide de la résolution complexe ( la méthode de Fresnel peut aussi
être utilisée ).
() = ℜ2()3
() = ℜ2
()3 # () = ℜ2# ()3
() = / . exp27. (. − 0)3
() = 7. . ()
# () = − . ()
() = . exp(7. . )
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() + . () =
exp(7. . )
8
"
.
/ . 9( − ) + 7 : = - exp(7. 0)
L'équation différentielle devient :
− . () + 7. 7. / . D
/ =
;= =
<2= > 3 [email protected] C
B
=
. + 7. ( − )E =
exp(7. 0)
8
"
0 = + FG>H @
= >=
.
8C
ϕ varie de 0 à π
La vitesse complexe a pour expression () = 7. . ()
8 ".
"
"
I = =
=
. . @ − C
<
<( − ) + @
1
+
8
C
JK − L + @ C
8
8
La phase de vitesse / () s’obtient en ajoutant à la phase – 0 de ()
La phase de vitesse / () a donc pour expression : −FG>H @
La construction de Fresnel est la suivante ( dans le cas où < )
()
= >=
.
8C
ω. λ. /
ϕ
". ω . /
". ω . /
2
0
()
• Impédance mécanique
Par analogie avec l’électrocinétique, on définit une impédance mécanique
P = Q-
-
-
P = Q = Q RS K7. @0 − CL
-
-
1
P = ". . J + K − L
8
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• Puissance fournie par l'excitateur
La puissance instantanée fournie par la force excitatrice a pour expression :
W
T() = U (). VU() = . cos(. ) . I . cos @. − 0 + C
2
. I
W
W
T() =
9cos @0 − C + cos @2. . − 0 + C:
2
2
2
La valeur moyenne s’écrit :
. I
W
. I
⟨T()⟩ =
cos @0 − C =
sin(0)
2
2
2
analogie avec T = \. ]. cos (0) de l’électrocinétique
.+.^+.Q
or sin(0) =
= - ( voir la construction de Fresnel )
-
-
&. I ⟨T()⟩ =
2
Cette puissance est l’opposé de la puissance dissipée par les frottements
Ceci est logique, le régime étant stationnaire la puissance reçue de la part de l’excitateur doit
être dissipée ( par frottement ).
2. Résonance
Etudions en fonction ⟨T()⟩()
⟨T()⟩() =
+.Q- =
H
=
⟨T()⟩() =
5
-.A
A
A =
H?= .@ > C
A A
+.Q- =
.- =
Cette puissance est maximale pour = ⟨T()⟩_
=
;
+.@ - C
= ..
avec
H
+
=
=
H? = .@A > A C
A A
8. = ⟨T()⟩( ) =
2. ". 8 = 5 résonance aiguë
4
3
2
8 = 1 résonance floue
1
0.5
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1
⟨T()⟩(`)
1.5
2
avec ` = 2.5
3
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• Finesse de la résonance ( bande passante à – 3 dB )
Elle est caractérisée par la largeur du pic à mi-hauteur ( bande passante à - 3 dB )
⟨T()⟩( )
⟨T()⟩() =
2
1 + 8 .K − L = 2
H =
@−1 + b1 + 4. 8 C
= @1 + b1 + 4. 8 C
.
∆ = − H =
• Etude de l’amplitude de la vitesse
I () =
5
.
H . = 8 ".
<1 + 8 . @
− C
I () atteint sa valeur maximale pour = 4
3
2
1
0.5
1
1.5
I (`) avec ` = 2
2.5
3
pour 8 = 5 et 8 = 1
La résonance en vitesse correspond à la résonance en puissance ( même bande passante )
Q ( )
La bande passante se calcule par I () = - √
• Etude de l'amplitude de l'élongation
/ () =
Rabeux Michel
"
<( − ) + @
. 8 C
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/ () passe par un maximum si 8 >
H
√
pour = . <1 −
H
. =
5
4
3
2
1
0.5
1
1.5
/ (`) avec ` = • Etude de la phase
pour 8 = 5
2
8=
2.5
H
√
W
+ FG>H g8. K − Lh
2
−0 est la phase de () par rapport à ()
8 = 0,2
0=
La phase de V() par rapport à () est : ψ = −FG>H i8. @ −
• Si → 0 −ϕ → 0 () et () sont en phase
ψ → V() est en quadrature avance par rapport à ()
• Si → ∞ −ϕ → −W
ψ → −
• Si = −ϕ → − ψ→0
• Si = H −ϕ → − m
ψ→m
• Si = −ϕ → −
3
Cj
() et () sont en opposition de phase,
V() est en quadrature retard par rapport à ()
() est en quadrature retard par rapport à ()
V() et () sont en phase
n.
m
ψ → −m
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0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
−0(`) avec ` =
pour 8 = 5
8=1
3. Réalisation expérimentale
O’
ℜ0
moteur ( ω )
O0’
O
x
• Etude statique
Le moteur ne tourne pas O’ est fixe / ℜ0 la masse est immobile / ℜ0.
O0’ repère alors la position de O’ et O la position de M ( O0’ et O points fixes de ℜ0 ).
• Système { le mobile M de masse m }
• Référentiel : ℜ0 supposé galiléen
pUq parfois il y a aussi la poussée d’Archimède
• Bilan des forces : oTpU R pU = pU
TpU + 0 ⇒ -%. 2rés − r 3 + ". t = 0
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• Etude dynamique ( le moteur ne tournant pas )
• Système { le mobile M de masse m }
• Référentiel : ℜ0 supposé galiléen
ppppppU
pU R uUq
• Bilan des forces : oTpU, vw = . RU_
pU + uU = ". FU
⇒ -%. 2rés + − r 3 + ". t − &. = ". #
TpU + -%. − &. = ". #
+
,
# + + = 0
# + + . = 0
Suivant les valeurs de λ, on obtient l’un des trois régimes ( pseudo-périodique, critique, et
apériodique ). Ces régimes s’annulent assez rapidement.
• Etude dynamique ( le moteur tourne )
O’ est en mouvement de translation / ℜ0
pppppppppU
vx vx = x . RU_ = y . z{|(. ). RU_
Système { le mobile M de masse m }
Référentiel : ℜ0 supposé galiléen
pU R uUq
Bilan des forces : : oTpU, pU + uU = ". FU
⇒ -%. 2rés + − ′ − r 3 + ". t − &. = ". #
TpU + -%. ( − ′) − &. = ". #
+
,
,
# + + = ′
# + + . = . y . cos (. )
tout se passe comme si on ajoutait une force supplémentaire : %. x . RU_
• Etude énergétique ( le moteur tourne )
Appliquons le théorème de la puissance cinétique à M
~z
pU. VU
= ". tU. VU + uU. VU + ~
". . # = ". t. − &. − %. 2rés + − x − r 3. ". # = −&. − %. ( − x )
". # + &. + %. = %. ′
idem étude dynamique
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