principe fondamental de la dynamique

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Principe fondamental
de la dynamique
II . Les quatre interactions fondamentales
1. Les quatre interactions fondamentales
Les interactions entre les systèmes peuvent se présenter sous quatre formes.
les interactions gravitationnelles : forces s’exerçant à distance entre deux masses
Les interactions entre le Soleil et la Terre, entre un objet et le terre sont des interactions
gravitationnelles. Elles sont à portée infinie
les interactions électromagnétiques : forces s’exerçant à distance entre deux charges
Les forces de frottement, la tension d’un fil sont des interactions électromagnétiques.
Elles sont à portée infinie
les interactions fortes : forces d’interactions de courte portée ( qq fm ) entre certaines
particules élémentaires ( par exemple entre protons et neutrons dans un noyau )
Ces interactions sont très intenses.
les interactions faibles : interactions de courtes portées ( qq 10 ) et peu intenses
Elles sont responsables de la radioactivité β
2. Notion de forces
Une force caractérise l’action d’un système matériel sur un point matériel . Cette force
peut dépendre à la fois de la nature physique de et du système, des positions et vitesses de
et du système. Une force peut modifier un mouvement ou déformer un système.
La mécanique newtonienne postule l'invariance de la force vis à vis de tout changement de
référentiel et l’additivité des forces. L'unité de la force est le newton ( N ).
Il existe deux familles de forces : forces à distances ou forces de contact.
Leurs origines sont soit gravitationnelle, soit électrostatique.
3. Exemples de forces
.
.
Force de gravitation = − = − et sont les masses gravitationnelles
Force de pesanteur ( poids ) ( très peu différente de la force de gravitation ) = . .
.
Force coulombienne = .. = .. %
Force électromagnétique de Lorentz = . !
+ #
∧$
Réaction du support avec ou sans frottements
Lorsque le point matériel évolue sur un support solide, ce dernier exerce une force
sur . Cette force s’appelle la réaction du support &
. Elle peut être décomposée en
une composante normale &
' et une composante tangentielle&
(
&
= &
' + &
(
La réaction normale est la force qui empêche le point de traverser le support
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La réaction tangentielle représente la force de frottement exercée par le support sur le
point . Le sens de la réaction tangentielle est toujours opposé au mouvement
potentiel du point par rapport au support. Lorsque l’on néglige les frottements entre
et le support, la réaction tangentielle est nulle.
&
&
(
/
&
'
Il existe des relations entre les normes des deux composantes. Ces relations diffèrent
selon que le point est en mouvement ou immobile par rapport au support : ce sont
les lois de Coulomb.
Si le point est en mouvement par rapport au support : )&
( ) = *. )&
' )
avec * = +,-./01 2 le coefficient de frottement ( sans dimension ) qui dépend de
l’état des surfaces en contact.
Si le point est au repos par rapport au support : )&
( ) < *. )&
' )
Remarque : si le point quitte le support ( liaison unilatérale ) la réaction s’annule.
Forces de frottement fluide
Lorsqu’un corps solide se déplace dans un fluide ( gaz ou liquide ), il est soumis à une
force de frottements de la part du fluide. Cette force de frottement est à chaque instant
colinéaire et de sens opposé au mouvement du point parrapportau:luide.
Pour de faibles vitesses du point , la norme de la force est proportionnelle à la norme
de la vitesse du point *
= −?. #
Pour les vitesses plus élevées, en première approximation, la force varie comme le
carré de la vitesse *
= −@. A. #. #
A est le maître couple @ dépend de la forme de l’objet et du fluide
Remarque : il existe aussi une force perpendiculaire au déplacement appelée la
portance ( qui permet aux avions de voler )
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Tension d’un fil : le fil est fixé en une de ses extrémités à un point O et à l’autre
extrémité est accroché le point matériel M. La force exercée par le fil sur le point M
s’appelle la tension du fil.
I
B
On supposera le fil « idéal » : c’est-à-dire sans masse, sans raideur et inextensible.
Lorsqu’il est tendu, la force exercée par le fil sur le point matériel est : colinéaire au
fil, dirigée du point M vers le point O, sa norme est a priori inconnue, elle dépend des
autres forces auxquelles est soumis le point matériel.
Lorsqu’il n’est pas tendu, le fil n’exerce aucune force.
Une poulie idéale transmet la tension du fil
= −C. D
− D
E % C est la raideur du ressort D est la longueur du
Tension d’un ressort : B
ressort et DE la longueur à vide du ressort. Cette force ( de rappel ) tend à ramener la
longueur du ressort à sa longueur à vide.
D
E
I
I
B
F
ressort détendu
F ressort allongé
D
Forces de pression : G
= −H. GA. -
avec H la pression, GA la surface élémentaire
sur laquelle s’exerce la force, -
la normale à la surface élémentaire dirigée vers
l’extérieur.
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Laa poussée d’Archimède ( résultante de forces de pression ) : c’est l’opposé du poids
du fluide déplacé par l’objet. J
K = −μM0N1OP . Q1PRé . III . Les trois lois de Newton
1. La première loi de Newton : principe de l’inertie
Enoncé Il existe au moins un référentiel ℜ par rapport auquel tout point matériel M,
éloigné de tout autre corps (isolé c’est à dire soumis à aucune force de la part
de l’extérieur ),, possède un mouvement rectiligne uniforme (ou un état de
repos).
Un tel référentiel est dit galiléen.
galiléen. Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par
rapport à un référentiel galiléen est aussi galiléen.
Le référentiel de Copernic ℜC réalise un excellent référentiel galiléen. Ce référentiel a
pour origine le centre de masse du système solaire ( assimilable au centre du soleil ), les trois
axes se dirigent vers trois étoiles très éloignées et considérées comme fixes par rapport
r
à notre
galaxie.
Le référentiel héliocentrique ou de Kepler ℜK a pour origine le centre d’inertie du soleil.
Les trois axes sont identiques aux trois axes du référentiel de Copernic.
Le référentiel géocentrique ℜ0 ( origine : centre de la terre, les trois axes sont identiques
aux axes précédemment définis ) est en translation elliptique ( quasi circulaire par rapport à
ℜC ).
Il n'est donc pas rigoureusement galiléen, mais il sera considéré comme galiléen pour des
expériences
ces dont la durée est faible devant une année ( période de révolution de la terre autour
du soleil ) et dont les déplacements sont faibles devant la dimension de l'orbite terrestre.
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Le référentiel terrestre ( ou référentiel de laboratoire ) ℜT est lié à la terre, il est donc en
rotation autour du référentiel géocentrique. Il sera considéré comme galiléen pour des expériences de faibles durées devant la période de rotation de terre autour d'elle même ( 86164 s )
et pour des déplacements faibles devant le rayon de la terre.
2. La deuxième loi de Newton : principe fondamental de la dynamique
Enoncé Par rapport à tout référentiel galiléen ℜg, l’accélération d’un point matériel T
est proportionnelle à la résultante ∑ V
des forces qui agissent sur T. La
constante de proportionnalité est W la masse d’inertie du point matériel T.
.T2/[
X V
= W. Y
La propriété qu'a la masse d'intervenir dans cette relation s'appelle l'inertie.
Elle caractérise la difficulté à modifier la vitesse d’un point matériel soumis à une action
donnée.
L'unité de la masse est le kilogramme ( C ). La masse est une grandeur additive et
conservative.
La masse d’inertie est identique à la masse gravitationnelle (postulat de la relativité générale)
Par la suite ces deux masses ( d’inertie et gravitationnelle ) seront nommées masses
En mécanique newtonienne, la masse est invariable par changement de référentiel.
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L'accélération est la même dans tous les référentiels galiléens :
• les lois de la dynamique ont la même formulation dans tous les référentiels galiléens
• aucune expérience de mécanique ne permet de distinguer les référentiels galiléens
Si est pseudo isolé ∑ 1 = 0% alors ,
.2/^ 0 le mouvement de est rectiligne
uniforme ( ou est au repos ) par rapport à ℜg.
Le «principe fondamental» de la statique
statiq s’écrit : ∑ 0 ( M étant au repos dans ℜg )
3. La troisièmee loi de Newton : principe des interactions
Enoncé Si un point matériel T\ exerce une force V
\→_ sur un point matériel T_ , T_
exerce sur T\ une force opposée V
_→\ , de plus ces deux forces sont coaxiales.
V
\→
→_ V_→\ et V\→_ ∧T\ T_ `
Cela suppose l'instantanéité de la propagation des interactions.
IIII . La quantité de mouvement
1. Définition
La quantité de mouvement dans ℜ d'un point matériel de masse et de vitesse #
.2/^
est le vecteur : H
.2/^ . #
.2
/^ . Le vecteur quantité de mouvement est définie par
rapport à un référentiel. Son unité est C. . a .
La quantité de mouvement est une grandeur additive.
2. Théorème de la quantité de mouvement
Le théorème de la quantité de mouvement s’écrit : b
Oc
.d2/ef
Og
h
/^R
IIV . Résolution d’un problème de mécanique du point
définir le système étudié et le représenter sur un schéma dans une position quelconque
définir le référentiel
faire le bilan des forces et les représenter sur le schéma précédent
faire le bilan des degrés de liberté ( nombre de coordonnées spatiales indépendantes
indépen
qui
définissent le mouvement du système étudié, il faudra autant d'équations indépendantes
que de degrés de liberté et de forces inconnues ).
appliquer les lois de Newton ou les théorèmes énergétiques ( chapitre suivant )
projeter sur une base appropriée
résoudre les équations différentielles en tenant compte des conditions initiales
( position et vitesse ). La résolution peut être analytique ou numérique ( méthode d'Euler ).
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IV . Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
1. Enoncé du problème
On étudie le mouvement d’un point matériel de masse , lancé dans un champ de
pesanteur uniforme, en un point E avec une vitesse initiale #
E faisant un angle α avec
l'horizontale. On négligera les frottements.
2. Recherche de la trajectoire
Le système est le point matériel Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre ( supposé galiléen ).
Bilan des forces : le poids
Appliquons le principe fondamental de la dynamique
. = . ,
,
= mouvement à vecteur accélération constant
Les coordonnées choisies sont les coordonnées cartésiennes
L’axe Oz et l’axe vertical ascendant
Le vecteur vitesse initiale est situé dans le plan .IF, Ij2
j
E
#
E
H
I
F
,
= par intégration on obtient #
= . + + #
E puis I =
+ #
E . + + IE
F.+2 = #E . cos.?2 . + + FE
m.+2 = 0
. + j.+2 = −
+ #E . sin.?2 . + + jE
2
Le mouvement a lieu dans le plan formé par #
E et R
.g R.g si #E = 0 F.+2 = 0 m.+2 = 0 et j.+2 = − + jE
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré sur la verticale descendante passant
par E
R.g si #E ≠0 et ? = ± F.+2 = 0 m.+2 = 0 et j.+2 = − ± #E + jE
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré ( ou varié ) sur la verticale passant
par E
si #E ≠0 et ? ≠ ± +=s
rr
.tuv.w2
R..rr 2
j.+2 = − .s .xyz.w2 + .F − FE 2. tan.?2 + jE
la trajectoire est une parabole dont la concavité est dirigée vers le bas
Dans le cas où E est en I, on obtient :
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R.r j.+2 = − .s .xyz .w2 + F. tan.?2
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S
0.4
flèche
0.2
P
O
0.5
1
1.5
2
portée
-0.2
La flèche correspond à j{r
La portée et la distance I
Rabeux Michel
j{r =
I =
s
R
s
.R
a|- .?2
a|-.2. ?2
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IVI . Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme avec frottements
fluides (1)
1. Enoncé du problème
On étudie le mouvement d’un point matériel de masse , lancé dans un champ de
pesanteur uniforme de point I avec une vitesse initiale #
E faisant un angle α avec
l'horizontale. On considéra les frottements fluides *
= −}. #
.
2. Recherche de la trajectoire
Le système est le point matériel Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre ( supposé galiléen ).
Bilan des forces : le poids, la force de frottement fluide
Appliquons le principe fondamental de la dynamique
G#
. − }. #
= . ,
= G+
Os
~
+ #
= équation différentielle en#
Og
On pose  =
Os
~
Og
+ € #
= g
solution de l’équation différentielle : #
.+2 = 
. FH b− h + . €

se détermine à l’aide des conditions initiales 
= #
E − . #
.+2 = .#
E − . 2. FH b− €h + . g
#
.∞2 = . g
I.+2 = .. #
E −  . 2. ƒ1 − FH b− €h„ + . . +
j.F2
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.5
1
F
-1
-1.5
-2
Cas où le point est lancé sur la verticale ascendante b? = h
+
j… .+2 = .#E + . 2. FH ƒ− „ − . 
+
j.+2 = .. #E +  . 2. †1 − FH ƒ− „‡ − . . +

La vitesse limite a pour expression : #
= ~ Rabeux Michel
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Le protrait de phase est le suivant :
10
j…
5
-100
-80
-60
-40
j
-20
-5
-10
-15
-20
Résolution numérique par Excel dans le cas d’un mouvement vertical
Mouvement vertical avec frottement en -k.v
dv
+ 1, 2 ⋅ v = −10
dt
15
10
5
vitesse
accélération
ordonnée
2,74
2,54
2,14
2,34
1,74
1,94
1,54
1,14
1,34
0,94
0,54
0,74
-5
0,14
0,34
0
-10
-15
-20
-25
t
1
2
3
4
5
A3=A2+0,02
Rabeux Michel
C2=-B4*1,2-10
A
t
0
0,02
0,04
0,06
B3=C2*0,04+B2
B
v
10
9,56
9,13
8,71
C
a
-22
-21,47
-20,95
-20,45
D3=B2*0,04+D2
D
x
0
0,2
0,39
0,573
∆t est choisi égal à 20 ms
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Résolution avec un logiciel de calcul numérique dans le cas général du mouvement plan
avec une vitesse initiale horizontale
Conditions initiales : j.02 = 2j… .02 = 10. a m.02 = 0m… .02 = 2. a Constantes : = 10. a = 100 } = 0,10a. C
Pas de calcul : ∆+ = 20a
Nombre de points de calcul : - = 1000
~
~
mˆ 1‰ = − m… 1
jˆ1‰ = − j…1 − m… 1‰ = mˆ 1 . ∆+ + m… 1 j…1‰ = jˆ1 . ∆+ + j…1
m1‰ = m… 1 . ∆+ + m1 j1‰ = j…1 . ∆+ + j1
+1‰ = +1 + ∆+
| varie de 0 à -
IVII . Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme avec
frottements fluides (2)
1. Enoncé du problème
On étudie le mouvement d’un point matériel de masse , lancé dans un champ de
pesanteur uniforme de point I avec une vitesse initiale #
E verticale ascendante.
On considéra les frottements fluides *
= −}′. #. #
.
2. Recherche de la trajectoire
Le système est le point matériel Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre ( supposé galiléen ).
Bilan des forces : le poids, la force de frottement fluide
Appliquons le principe fondamental de la dynamique
G#
. − }′. #. #
= . ,
= G+
Os
~‹
+ #. #
= équation différentielle en#
Og
La vitesse limite a pour expression : #
= Œ~ .R Le mouvement a lieu sur l’axe Ij, l’équation précédente devient :
Os
~‹
dans la phase montée : Og + # = −
dans la phase descente :
Rabeux Michel
Os
Og
~‹
− # = −
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La résolution peut se faire par approche numérique à l’aide l’Excel
Mouvement vertical avec frottement en -k.v*v
dv
+ 0,08 ⋅ v. v = −10
dt
15
10
5
-5
0,14
0,34
0,54
0,74
0,94
1,14
1,34
1,54
1,74
1,94
2,14
2,34
2,54
2,74
2,94
0
vitesse
accélération
ordonnée
-10
-15
-20
t
Résolution avec un logiciel de calcul numérique dans le cas général du mouvement plan
avec une vitesse initiale horizontale
Conditions initiales : j.02 = 2j… .02 = 10. a m.02 = 0m… .02 = 2. a Constantes : = 10. a = 100 } = 0,10a. C
Pas de calcul : ∆+ = 20a
Nombre de points de calcul : - = 1000
mˆ 1‰ = − Œm… 1 + j…1 . m… 1
~
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jˆ1‰ = − Œm… 1 + j…1 . j…1 − ~
m… 1‰ = mˆ 1 . ∆+ + m… 1 j…1‰ = jˆ1 . ∆+ + j…1
m1‰ = m… 1 . ∆+ + m1 j1‰ = j…1 . ∆+ + j1
+1‰ = +1 + ∆+
| varie de 0 à -
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IVIII . Pendule simple
Un pendule simple est un objet matériel ponctuel suspendu à un fil.
Le système est le point matériel Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre ( supposé galiléen ).
Bilan des forces : le poids, la tension du fil
= . ,
Appliquons le principe fondamental de la dynamique . + B
Les coordonnées appropriées sont les coordonnées polaires .
, Ž 2
. . cos.2 − B = −. D. … . D . ˆ = −. . D. a|-.2
ˆ + sin.2 0
D
R
 << 1
ˆ + 0  = 0
O
θ
B
R
oscillateur harmonique avec E = Œ 0
Ž
D
BE = 2. J. ‘
.+2 =  . ’“a.E . + + /22
Portrait de phase dans le cadre de l’approximation linéaire.
.+2 =  . ’“a.E . + + /22
….+2 = −.  . a|-.E . + + /22
Ž
Ž…
bŽ h + b•.Ž h = 1
”
”
le portrait de phase est une ellipse
…
40
20
-4
-2
2
4

-20
-40
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Hors de l’approximation linéaire, le portrait de phase est le suivant
IIX . Mouvement de translation d’un solide soumis à des frottements
solide
Soit un solide de déplaçant ( mouvement de translation ) sur un plan incliné.
Ce solide est soumis à des frottements obéissant aux lois de Coulomb
Etude de l’équilibre
/
*
zg{g1NP
&
'
?
+ &
' + *
zg{g1NP = 0
&' = . . cos.?2
*zg{g1NP = . . sin.?2
tan./2 +,-.?2
l’équilibre est possible tant que / < /011gPzg{g1NP
si ? > /011gPzg{g1NP le solide se met à glisser
Rabeux Michel
?/
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Etude de la phase montée
F
&
'
*
O—˜{1NP
?
*O—˜{1NP = &' . tan /O—˜{1NP %
+ &
' + *
O—˜{1NP = . ,
−. . sin.?2 − *O—˜{1NP = . Fˆ
. . cos.?2 = &'
On observe un mouvement rectiligne uniformément décéléré sur l’axe des x
Etude de la phase descente
/
F
&
'
*
O—˜{1NP
?
*O—˜{1NP = &' . tan /O—˜{1NP %
+ &
' + *
O—˜{1NP = . ,
−. . sin.?2 + *O—˜{1NP = . Fˆ
. . cos.?2 = &'
On observe un mouvement rectiligne uniformément accéléré sur l’axe des x
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