Lycée Viette TSI 1
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Lycée Viette TSI 1 Forces de Laplace II . La force de Laplace 1. Les rails de Laplace 𝑀 𝑁 La tige 𝑀𝑁 ( mobile sur les deux rails ) est parcourue par un courant 𝑖 et est placée dans un ⃗ . ( on néglige le champ créé par le circuit électrique ). champ magnétique uniforme 𝐵 La tige se met en mouvement sous l’action d’une force appelée force de Laplace. 2. La force de Laplace La force de Laplace qui s’exerce sur le conducteur 𝑀𝑁 placé dans un champ magnétique uniforme a pour expression : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗ 𝐹𝐿 = 𝑖. 𝑀𝑁 𝐹𝐿 = 𝑖. 𝐵. 𝑎 avec 𝑎 = 𝑀𝑁 ⃗) Si le champ n’est pas uniforme : 𝐹𝐿 = ∮𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡(𝑖. ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 𝐵 Rabeux Michel Page 1 Lycée Viette TSI 1 3. Puissance de la force de Laplace La tige possède un mouvement de translation rectiligne de vitesse 𝑣. La puissance de la force de Laplace a pour expression : ⃗ ). 𝑣 = 𝑖. 𝐵. 𝑎. 𝑣 𝑃 = 𝐹𝐿 . 𝑣 = (𝑖. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁𝐵 avec 𝑎 = 𝑀𝑁 III . Couple des forces de Laplace pour une spire rectangulaire 1. Actions mécaniques sur une spire rectangulaire Soit une spire rectangulaire ( dimensions 𝑄𝑀 = 𝑎 et 𝑀𝑁 = 𝑏 ) parcourue par un courant 𝑖. Cette spire peut tourner autour d’un axe vertical passant par le milieu de deux côtés. ⃗ Cette spire est placée dans un champ magnétique uniforme 𝐵 𝑦 𝑄 𝐹𝐿 𝑄𝑀 𝑀 𝑖 ⃗ 𝐵 𝑂 𝑥 𝑆 𝑃 𝐹𝐿 𝑁𝑃 𝑁 𝐹𝐿 𝑃𝑄 𝑄 𝛼 ⃗ 𝐵 𝑆 𝑖 𝑀 𝐹𝐿 𝑀𝑁 Rabeux Michel 𝛼 𝑥 𝑧 vue de dessus Page 2 Lycée Viette TSI 1 Le cadre est soumis à 4 forces de Laplace : ⃗ = 𝑖. 𝐵. 𝑎. cos(𝛼) . 𝑒𝑦 𝐹𝐿 𝑄𝑀 = 𝑖. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑀𝐵 ⃗ = −𝑖. 𝐵. 𝑎. cos(𝛼) . 𝑒𝑦 𝐹𝐿 𝑁𝑃 = 𝑖. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝑃 𝐵 Ces deux forces sont de somme nulle et de moment nul par rapport à l’axe de rotation 𝑂𝑦 ⃗ = 𝑖. 𝐵. 𝑏. 𝑒𝑧 𝐹𝐿 𝑀𝑁 = 𝑖. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁𝐵 ⃗ = −𝑖. 𝐵. 𝑏. 𝑒𝑧 𝐹𝐿 𝑃𝑄 = 𝑖. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 𝐵 Ces deux forces sont de somme nulle mais de moment par rapport à l’axe non nul. Ces deux forces constituent un couple de moment par rapport à l’axe 𝑂𝑦 𝑀𝑂𝑦 = 𝑖. 𝐵. 𝑏. 𝑎. sin(𝛼) = 𝑀𝑚𝑎𝑔 . 𝐵. sin(𝛼) ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝐵 ⃗ Le moment vectoriel du couple s’écrit : 𝛤𝐿 = 𝑀 ⃗0 Le torseur résultant est donc T = ( ⃗⃗ ⃗) 𝑀𝑚𝑎𝑔 𝐵 La puissance des forces de Laplace s’écrit : 𝑃𝐿 = 𝑀𝑂𝑦 . 𝜔 = 𝑖. 𝑏. 𝑎. 𝐵. sin(𝛼) . 𝜔 2. Positions d’équilibre Le cadre est en équilibre si 𝛼 = 0 ou 𝜋 ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝑒𝑡 𝐵 ⃗ colinéaires et de même sens Pour 𝛼 = 0 l’équilibre est stable 𝑀 ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝑒𝑡 𝐵 ⃗ colinéaires et de sens contraire. Pour 𝛼 = 𝜋 l’équilibre est instable 𝑀 IIII . Action d’un champ magnétique uniforme extérieur sur un aimant Par analogie à l’action d’un champ magnétique sur un cadre, le champ magnétique exerce ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 ) un couple de moment : sur un aimant ( caractérisé par 𝑀 ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝐵 ⃗ 𝛤𝐿 = 𝑀 Ce couple tend à aligner le vecteur moment magnétique sur le vecteur champ magnétique L’aimant est en équilibre si 𝛼 = 0 ou 𝜋 ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝑒𝑡 𝐵 ⃗ colinéaires et de même sens Pour 𝛼 = 0 l’équilibre est stable 𝑀 ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝑒𝑡 𝐵 ⃗ colinéaires et de sens contraire. Pour 𝛼 = 𝜋 l’équilibre est instable 𝑀 Hors équilibre il y a oscillation de l’aimant ( aiguille aimantée ). Rabeux Michel Page 3 Lycée Viette TSI 1 La boussole ( aiguille aimantée ) s’oriente dans le champ magnétique terrestre. Remarque : c’est au voisinage du pôle Nord géographique que se situe le pôle Sud de l’aimant équivalent IIV . Rotation d’une aiguille aimantée dans un champ tournant 1. Création d’un champ magnétique tournant 𝜋 Soit un ensemble de 2 bobines identiques parcourues par des courants déphasés de 2 𝑖1 (𝑡) = 𝐼. cos(𝜔. 𝑡) 𝜋 𝑖2 (𝑡) = 𝐼. cos (𝜔. 𝑡 − 2 ) = 𝐼. sin(𝜔. 𝑡) 𝑦 ⃗ 𝐵 𝑂 𝜔. 𝑡 ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝑀 𝑥 𝑖1 (𝑡) 𝑖2 (𝑡) ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 En 𝑂 (équidistant des deux bobines) on place une aiguille aimantée caractérisée par 𝑀 Le champ magnétique résultant en 𝑂 créé par les deux bobines s’écrit : ⃗ 𝑂 (𝑡) = 𝐵 ⃗ 𝑂 1 (𝑡) + 𝐵 ⃗ 𝑂 2 (𝑡) = 𝐾. (𝑖1 (𝑡). 𝑒𝑥 + 𝑖2 (𝑡). 𝑒𝑦 ) 𝐵 ⃗ 𝑂 (𝑡) = 𝐾. (𝑖1 (𝑡). 𝑒𝑥 + 𝑖2 (𝑡). 𝑒𝑦 ) = 𝐾. 𝐼. (cos(𝜔. 𝑡) . 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛(𝜔. 𝑡). 𝑒𝑦 ) 𝐵 Ce vecteur tourne autour de l’axe 𝑂𝑧 avec une vitesse angulaire 𝜔 Rabeux Michel Page 4 Lycée Viette TSI 1 2. Rotation de l’aiguille aimantée ⃗⃗ 𝑚𝑎𝑔 𝐵 ⃗𝑂 L’aiguille est soumise à un couple de moment 𝛤𝐿 = 𝑀 L’aiguille tourne à la vitesse angulaire 𝜔, c’est le principe du moteur synchrone. remarque : s’il on utilise trois bobines, les déphasages entre les courants sont de Rabeux Michel 2.𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 Page 5
