Energétique du point matériel en référentiel galiléen

Energétique du point matériel en référentiel galiléen I. Théorème de l’énergie cinétique Exercice 1 : Distance d’arrêt Un point matériel M de masse 𝑚 est lâché sans vitesse initiale depuis un point 𝐴! et glisse sans frottements sur un plan incliné jusqu’à un point 𝐴! . Il poursuit ensuite sa course sur un plan horizontal où il subit une force de frottements 𝐹 de norme : 𝐹 = 𝐹 = 𝑓𝑚𝑔 où 𝑓 est un coefficient de frottements constant positif. Finalement, le point M s’immobilise au point 𝐴! . Le référentiel du laboratoire ℛ , associé au repère d’espace cartésien 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! , est supposé galiléen. Calculer la distance d’arrêt 𝐷 = 𝐴! 𝐴! . Exercice 2 : Mouvements de glissement On considère une bille M, de masse 𝑚 , susceptible de glisser : -­‐ soit sans frottement à l’intérieur d’une portion de jante circulaire (quart de cercle de rayon R) -­‐ soit en présence de frottement solide, équivalent à une force de norme 𝑅 ! = 𝑅 ! = −𝑓𝑅! , sur un plan incliné d’angle 𝛼 . Déterminer dans chaque cas la vitesse minimale 𝑣! qu’il faut communiquer à la bille en 𝑀! pour qu’elle atteigne le point 𝑀! . II. Théorème de l’énergie mécanique -­‐ Intégrale première du mouvement Exercice 3 : Intégrale première du mouvement -­‐ Positions d’équilibre Un point matériel M de masse 𝑚 glisse sans frottement sur un axe horizontal 𝑂𝑥 . Ce point matériel est accroché à un ressort de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à vide 𝑙! . L’autre extrémité du ressort est attaché en un point H tel que 𝑂𝐻 = ℎ < 𝑙! . Le référentiel d’étude ℛ associé au repère d’espace cartésien est supposé galiléen. A l’instant initial, on lâche le point M sans vitesse à partir d’un point situé à l’abscisse 𝑥! < 𝑙! . 1) Calculer l’énergie potentielle associée à la résultante des forces qui s’exercent sur M. 2) En appliquant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer l’intégrale première du mouvement de M. 3) Retrouver cette expression à partir du principe fondamental de la dynamique. 4) En utilisant l’expression de l’énergie potentielle, déterminer les positions d’équilibre de M et leur stabilité. Exercice 4 : Bille dans une cuvette Une bille M de masse 𝑚 est accrochée à l’extrémité d’un élastique MBA de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur au repos 𝑙! = 𝐴𝐵. La bille roule dans une cuvette ayant la forme d’un quart de sphère de rayon R. On ne s’intéressera qu’à un mouvement plan de M et on négligera tout frottement en M et en B. Le référentiel d’étude ℛ associé à la cuvette sera supposé galiléen. La force de rappel de l’élastique est de la forme : 𝑓 = −𝑘𝐵𝑀 A l’instant initial, on lâche la bille sans vitesse initiale à partir de la position 𝜃 = 𝜋/2. 1) Calculer l’énergie potentielle associée à la résultante des forces qui s’exercent sur M. 2) En appliquant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer l’intégrale première du mouvement de M. 3) Retrouver cette expression à partir du principe fondamental de la dynamique. 4) En utilisant l’expression de l’énergie potentielle, déterminer les positions d’équilibre de M et leur stabilité.