Résumé de cours - Physapchim.org

Mécanique newtonienne
Définitions vectorielles Vitesse : −→ v=d−−→
OM
dt
(dérivée première) ; Accélération : −→ a=d−→
v
dt =
d2−−→
OM
dt2(dérivée seconde).
Dérivée numérique : dX
dt =Xi+1 −Xi−1 ti+1 −ti−1
Référentiel galiléen = inertiel C’est un ré-
férentiel dans lequel le principe d’inertie se vé-
rifie. Les référentiels galiléens sont en transla-
tion rectiligne uniforme les uns par rapport
aux autres.
Lois de newton, dans un référentiel gali-
léen Pour un point matériel :
1. Principe d’inertie : −→ v=−→ cte ⇔P−→
F=−→ 0
2. d−→
p
dt =P−→
Favec −→ p=m·−→ vquantité de
mouvement. Si mconstante, m−→ a=P−→
F
3. Principe action/réaction : −→ FA/B =−−→ FB/A.
Conservation de quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen, tout système isolé
conserve sa quantité de mouvement car
d−→ p
dt =P−→
F=−→ 0donc −→ pest constante.
Réacteur, fusée, lanceur+projectile,...
Particule dans un champ uniforme
• Dans un champ de pesanteur −→ g: Force
appliquée : le poids −→ P=m·−→ g
• Dans un champ électrique −→ E: Force appli-
quée sur une particule de charge électrique
q:−→ Fe=q·−→ E. On rappelle que le champ
−→
E"descend" les potentiels (V).
• si q > 0alors −→ Fede même sens que −→ E
• si q < 0alors −→ Fede sens opposé à −→ E
E(V.m−1ou N.C−1) et : U=E·doù d(m).
Repère de Frenet, trajectoires curvilignes
Repère qui suit le mobile M, vecteurs unitaires
−→
uttangentiel dans le sens de la courbe et −→ un
normal, vers le centre de courbure.
Dans ce repère :
•−→ v=v−→ ut
•−→ a=dv
dt
−→
ut+v2
r
−→
un
Dans un mouvement circulaire uniforme :
−→
a=v2
R
−→
un
Lois de Kepler
1. Un corps en orbite gravite sur une trajec-
toire elliptique dont l’un des foyers est l’at-
tracteur. Dans une ellipse,
2a=dSatellite−Attracteur +dSatellite−F oyer
b : demi petit axe
a : demi grand axe
Astre F
O
Perigée
Apogée
Satellite −→
v
2. Loi des aires : pendant des durées égales,
les aires balayées sont identiques.
3. La période de révolution Test liée au demi-
grand axe apar la relation : T2
a3=4π2 G · MO
avec G= 6,67.10−11 S.I. constante de gra-
vitation universelle et MOmasse du corps
attracteur.
Démonstration à connaître Dans le cas d’une
orbite circulaire et mouvement à force centrale
d’attraction :
• Seconde loi de Newton :
m·(dv
dt
−→
ut+v2
R
−→
un) = G · MO·m
R2
−→
un
• donc dv
dt = 0 et le mouvement est circulaire
uniforme
• et v2
R=G · M0 R2d’où v2=G · MO R
• La période Test telle que T=2πR
v
• Donc : 2πR
T2
=G · MO
Rce qui conduit
rapidement à : T2
R3=4π2 G · MO
en accord
avec la 3`eme loi de Kepler.
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