Circuits linéaires Circuits linéaires

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Circuits linéaires
I. Définition d'un circuit linéaire
1. Dipôles linéaires
Un dipôle est linéaire si u(t) et i(t) sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
k
d n (u(t)) p
d m (i(t))
a
+
b
∑
∑ m dt m = f (t)
n
dt n
n =0
m =0
si f(t) = 0 l'équation différentielle est dite homogène ( sans second membre )
La caractéristique statique des dipôles linéaires est une droite.
di ( t )
Ex : • résistance u(t) – R.i(t) = 0
• bobine u ( t ) − L
=0
dt
du ( t )
=0
• condensateur i ( t ) − C
dt
2. Définition d’un réseau linéaire
Le réseau est qualifié de linéaire si il est constitué de dipôles linéaires.
II. Exemples de dipôles linéaires passifs
1. Résistor
u
R
i
i
u
u(t) = R.i(t)
Dipôle passif symétrique linéaire
u(t)
1
( conductance en S ( siemens ))
i(t) =
= G.u ( t ) loi d'Ohm
G=
R
R
loi exprimée en convention récepteur
P = R.i 2 = G.u 2 > 0 ( puissance dissipée par effet Joule )
les caractéristiques statiques ou dynamiques sont identiques
2. Bobine idéale
Le phénomène d’auto-induction crée aux bornes de la bobine une tension u(t) tel que :
di
L est l’inductance ( H henry )
u AB = L AB ( en convention récepteur )
dt
iAB(t)
uAB(t)
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di(t) d 1 2 L.i 2 (t)
=
dt
dt
Si P > 0, la bobine emmagasine de l'énergie, si P < 0, la bobine restitue l'énergie.
1
L'énergie emmagasinée par une bobine a pour expression : EL = L.i 2
2
Il n’y a jamais discontinuité de l’intensité dans une branche comportant une bobine ( la
puissance reçue étant toujours finie ).
La puissance reçue par la bobine est : P = u(t).i(t) = i(t).L
La caractéristique statique est une droite d’équation : U = 0.
U
I
La caractéristique dynamique est une ellipse dans le cas d’un régime sinusoïdal permanent
( l’excentricité de l’ellipse dépend de la fréquence ).
u
f = 200 Hz
f =100 Hz
i
Si la bobine n’est pas idéale ( mais résistive ), l’équation différentielle s’écrit :
d i( t)
u( t ) = L
+ r.i(t)
dt
En régime continu une bobine idéale se comporte comme un interrupteur fermé ( ou comme
une résistance r dans le cas non idéal ).
En très haute fréquence, une bobine se comporte comme un interrupteur ouvert.
Inductance.fig
3. Condensateur parfait
Pour un condensateur, u(t) et q(t) sont liés par la relation suivante : q(t) = C.u(t)
cette relation est liée aux orientations ci-dessous
i(t) q(t)
or i(t) =
dq(t)
dt
d'où
-q(t)
u(t)
du(t)
( en convention récepteur )
i(t) = C
dt
C est la capacité du condensateur ( F farad )
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du(t) d 1 2 C.u 2 (t)
=
dt
dt
Si P > 0, le condensateur emmagasine de l'énergie, si P < 0, le condensateur restitue
l'énergie.
1
L’énergie emmagasinée par un condensateur a pour expression : EC = C.u 2
2
La tension u(t) aux bornes d’un condensateur ( ainsi que sa charge ) ne présente pas de discontinuité ( la puissance reçue étant toujours finie ).
La caractéristique statique est une droite d’équation I = 0.
I
U
La puissance reçue par un condensateur est : P = u(t).i(t) = u(t).C
La caractéristique dynamique est une ellipse dans le cas d’un régime sinusoïdal permanent
( l’excentricité de l’ellipse dépend de la fréquence ).
i
f = 200 Hz
f = 100 Hz
u
En régime continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
En très haute fréquence, un condensateur parfait se comporte comme un interrupteur fermé
Un condensateur non idéal peut être modélisé par un condensateur idéal associé en dérivation avec une résistance ( résistance de fuite ).
Condensateur0.fig
III. Association de deux dipôles passifs
1. Association en série
i
D1
D2
u1
u2
u
u = u1 + u2 ( même i )
• Dans le cas de deux résistors on obtient R = R1 + R2
• Dans le cas de deux bobines : L = L1 + L2 et r = r1 + r2
1
1
1
+
• Dans le cas de deux condensateurs : =
C C1 C 2
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Diviseur de tension
u = ( R1 + R2 ).i
et
u1 = R1.i
i
R2
u1 =
u
R1
R1
u
R1 + R 2
u1
aucune dérivation ne doit être branchée sur R1
Diviseur de tension.fig
Potentiometre.fig
Un diviseur de tension peut aussi être réalisé à l'aide de deux bobines ou deux condensateurs,
1
C2
C1
L1
u=
u
on obtient alors : u1 =
u ou u1 =
1 + 1
C1 + C2
L1 + L 2
C1
C2
2. Association en parallèle
i1
D1
i
D2
i2
u
i = i1 + i2 ( même u )
• Dans le cas de résistors G = G1 + G2
1
1
1
+
• Dans le cas de deux bobines idéales : =
L L1 L 2
• Dans le cas de condensateurs : C = C1 + C2
Diviseur de courant
i1 = G1.u et
i = ( G1 + G2 ).i
i
i1
i2
i1 =
u
R1
G1
i
G1 + G 2
R2
Un diviseur de courant peut aussi être réalisé à l'aide de deux bobines ou deux condensateurs,
1
L2
L1
C1
i=
i
on obtient alors : i1 =
i ou i1 =
1
1
L1 + L 2
C1 + C 2
+
L1
L2
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IV. Dipôles linéaires actifs
La caractéristique statique modélisée d'un dipôle actif linéaire est la suivante
u
convention générateur
E
Icc
u = E - r.i
ou
i
u
r
i = Icc
( convention générateur )
pour i = 0 u = E ( f.e.m. )
pour u = 0 i =
E
= Icc = I0 = η = c.e.m (intensité de court-circuit ou courant électromoteur)
r
r : résistance interne du générateur
1. Source de tension idéale
On appelle source de tension idéale une source de tension telle que u = Cte = E ∀ i
u
E
E
i
i
u
convention générateur
Pfournie = E.i ( en convention générateur )
On peut pas mettre en dérivation deux sources idéales de tension ( avec des E différents ).
2. Source de courant idéale
Une source idéale de courant est telle que i = Cte = I0 ∀ u
i
I0 : courant électromoteur
I0
i
Io
u
u
Pfournie = I0.u ( en convention générateur )
On peut pas mettre en série deux sources idéales de courant ( avec des I0 différents ).
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3. Sources réelles
a. Modèle de Thévenin
E
r
i
u
u = E - r.i ( convention générateur )
b. Modèle de Norton
i
I0
r
i = I0 −
u
r = rTH = rN et I0 =
Les deux représentations sont équivalentes :
u
r
E
r
c. Extinction d'une source
Eteindre une source c'est annuler sa grandeur caractéristique ( E ou I0 )
éteindre une source de tension idéale revient à la court-circuiter
éteindre une source de courant idéale revient à réaliser un coupe-circuit
r
r
I0
r
r
E
d. Notion de source indépendante et de source liée
Une source est indépendante si elle possède une grandeur caractéristique intrinsèque
( E ou I0) ( grandeur qui ne dépend pas des autres grandeurs électriques du réseau ).
Dans le contraire la source est liée ( générateur commandé ) ( ex : R.I.T. , transistor, A.O. )
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4. Alimentation stabilisée
La caractéristique idéalisée d'une alimentation stabilisée de laboratoire possède l'allure
suivante ( en convention générateur ).
u
e0
pente - r1
pente -1/g2
ic io
i
Si i < ic le dipôle se comporte comme un générateur de tension caractérisé par r1 et e0
Si i > ic le dipôle se comporte comme un générateur de courant caractérisé par g2 et i0
5. Association de deux dipôles actifs
• Association en série
Dans le cas de deux générateurs de Thévenin
u1 = r1.i - E1
u2 = r2.i - E2
n
E = ∑ Ek
u = u1 + u2 = ( r1 + r2 ).i - ( E1 + E2 )
k =1
n
r = ∑ rk
k =1
• Association en dérivation
Dans le cas de deux générateurs de Norton
i = i1 + i2 = ( I01 + I02 ) + u.(
i1 = I01 +
u
r1
i2 = I02 +
n
1 1
+ )
r1 r2
I 0 = ∑ I 0k
k =1
u
r2
n
g = ∑ gk
k =1
V. Association d'un dipôle actif et d'un dipôle passif
1. Cas général
i
u
P
géné
u
D
i
convention
convention
générateur
récepteur
L'intersection des deux caractéristiques permet de déterminer le point de fonctionnement P
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2. Cas de dipôles modélisables
générateur
r
E
i
récepteur
r’
E’
E − E'
i=
( loi de Pouillet )
si E > E'
r + r'
∑i Ei
cas général i =
pour un circuit ne comportant qu’une maille
∑ Ri
i
3. Propriété d'un réseau linéaire
Dans le cas d'un réseau linéaire, les grandeurs électriques ( intensités ou tensions ) sont présentes
dans des équations différentielles linéaires à coefficients constants dont les seconds membres sont
des fonctions linéaires des f.é.m et des intensités de court-circuit des sources libres.
Lineaire.fig
V. Quelques théorèmes
Les théorèmes ci-dessous ne concernent que les dipôles ou réseaux linéaires.
1. Théorème de Thévenin
Tout dipôle linéaire actif AB est équivalent à un générateur de tension de f.e.m. eTH égale à
la tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert et de résistance rTH (ou d’impédance )
obtenue en éteignant toutes les sources indépendantes.
2. Théorème de Norton
Tout dipôle linéaire actif AB est équivalent à un générateur de courant de c.e.m. iN égal au
courant de court-circuit du dipôle et de résistance rN (ou d’impédance ) obtenue en éteignant
toutes les sources indépendantes.
3. Théorème de superposition ( ou théorème de Helmholtz )
En régime permanent, l'intensité qui circule dans un dipôle d'un réseau linéaire et la tension
à ces bornes, sont la somme algébrique de ces grandeurs produites par les différentes sources
libres agissant séparément, toutes les autres sources étant éteintes.
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4. Lois des nœuds en termes de potentiels ou théorème de Millman
Ce théorème est au programme de la deuxième partie de l'année. Il est très pratique mais il
est à utiliser avec précaution.
i1
i1
A2
A
A3
G2
i4
G3
e2
v2
vA
i4
v3
En A la loi des nœuds s’écrit : i1 − i 4 + G 2 .(v 2 + e 2 − v A ) + G 3 .(v3 − v A ) = 0
∑ ε .i + ∑ G
j
j
j
k
(v k + ε k .e k − v A ) = 0 ( loi des nœuds en termes de potentiels )
k
∑ ε .i + ∑ G . ( v
=
∑G
j
vA
j
j
k
k
k
+ ε k .e k )
( théorème de Millman )
k
k
Dans le cas où il n'y a pas de générateurs de tensions et de courants, le potentiel à un nœud
est le barycentre des potentiels des nœuds voisins affectés des conductances correspondantes.
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L’ essentiel et l’indispensable en quelques mots et
formules
relation intensité – tension ( loi d’Ohm ) pour une résistance
relation intensité – tension pour une bobine idéale
uAB = R.iAB
di
u AB = L AB
dt
relation intensité – tension pour une bobine résistive
u AB = r.i AB + L
énergie emmagasinée par une bobine
relation intensité – tension pour un condensateur
énergie emmagasinée par un condensateur
formule du diviseur de tension
formule du diviseur de courant
modèle de Thévenin d’un dipôle linéaire ( convention générateur )
modèle de Norton d’un dipôle linéaire ( convention générateur )
relations entre les deux modèles
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di AB
dt
1 2
L.i
2
du
i AB = C AB
dt
1
EC = C.u 2
2
R1
u1 =
u
R1 + R 2
G1
i1 =
i
G1 + G 2
EL =
u = ETH – rTH.i
i = IN – rN.u
rTH = rN et ETH = r.IN
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