Circuits linéaires Circuits linéaires

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Circuits linéaires
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Circuits linéaires
I. Définition d'un circuit linéaire
1. Dipôles linéaires
Un dipôle est linéaire si u(t) et i(t) sont liés par une équation différentielle linéaire à coef-
ficients constants.
n m
p
k
n m
n m
n 0 m 0
d (u(t)) d (i(t))
a b f(t)
dt dt
= =
+ =
∑ ∑
si f(t) = 0 l'équation différentielle est dite homogène ( sans second membre )
La caractéristique statique des dipôles linéaires est une droite.
Ex : • résistance u(t) – R.i(t) = 0 • bobine
( )
(
)
di t
u t L 0
dt
− =
• condensateur
( )
(
)
du t
i t C 0
dt
− =
2. Définition d’un réseau linéaire
Le réseau est qualifié de linéaire si il est constitué de dipôles linéaires.
II. Exemples de dipôles linéaires passifs
1. Résistor
u
R
i
i
u
Dipôle passif symétrique linéaire
u(t) = R.i(t)
( )
u(t)
i(t) G.u t
R
= = loi d'Ohm
1
G
R
=
( conductance en S ( siemens ))
loi exprimée en convention récepteur
2 2
R.i G.u 0
= = >
P ( puissance dissipée par effet Joule )
les caractéristiques statiques ou dynamiques sont identiques
2. Bobine idéale
Le phénomène d’auto-induction crée aux bornes de la bobine une tension u(t) tel que :
AB
AB
di
u L
dt
= ( en convention récepteur ) L est l’inductance ( H henry )
i
AB
(t)
u
AB
(t)

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La puissance reçue par la bobine est :
2
12
di(t) d L.i (t)
u(t).i(t) i(t).L
dt dt
P= = =
Si P > 0, la bobine emmagasine de l'énergie, si P < 0, la bobine restitue l'énergie.
L'énergie emmagasinée par une bobine a pour expression :
2
L
1
L.i
2
E=
Il n’y a jamais discontinuité de l’intensité dans une branche comportant une bobine ( la
puissance reçue étant toujours finie ).
La caractéristique statique est une droite d’équation : U = 0.
U
I
La caractéristique dynamique est une ellipse dans le cas d’un régime sinusoïdal permanent
( l’excentricité de l’ellipse dépend de la fréquence ).
u f = 200 Hz
f =100 Hz
i
Si la bobine n’est pas idéale ( mais résistive ), l’équation différentielle s’écrit :
u t L
d
i
t
dt
( )
(
)
=
+ r.i(t)
En régime continu une bobine idéale se comporte comme un interrupteur fermé ( ou comme
une résistance r dans le cas non idéal ).
En très haute fréquence, une bobine se comporte comme un interrupteur ouvert.
Inductance.fig
3. Condensateur parfait
Pour un condensateur, u(t) et q(t) sont liés par la relation suivante : q(t) = C.u(t)
cette relation est liée aux orientations ci-dessous
i(t) q(t) -q(t)
u(t)
or
dq(t)
i(t)
dt
= d'où
du(t)
i(t) C
dt
= ( en convention récepteur )
C est la capacité du condensateur ( F farad )

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La puissance reçue par un condensateur est :
2
12
du(t) d C.u (t)
u(t).i(t) u(t).C
dt dt
P= = =
Si P > 0, le condensateur emmagasine de l'énergie, si P < 0, le condensateur restitue
l'énergie.
L’énergie emmagasinée par un condensateur a pour expression :
2
C
1
C.u
2
E=
La tension u(t) aux bornes d’un condensateur ( ainsi que sa charge ) ne présente pas de dis-
continuité ( la puissance reçue étant toujours finie ).
La caractéristique statique est une droite d’équation I = 0.
I
U
La caractéristique dynamique est une ellipse dans le cas d’un régime sinusoïdal permanent
( l’excentricité de l’ellipse dépend de la fréquence ).
i f = 200 Hz
f = 100 Hz
u
En régime continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
En très haute fréquence, un condensateur parfait se comporte comme un interrupteur fermé
Un condensateur non idéal peut être modélisé par un condensateur idéal associé en dériva-
tion avec une résistance ( résistance de fuite ).
Condensateur0.fig
III. Association de deux dipôles passifs
1. Association en série
D
1
D
2
i u
1
u
2
u
u = u
1
+ u
2
( même i )
• Dans le cas de deux résistors on obtient R = R
1
+ R
2
• Dans le cas de deux bobines : L = L
1
+ L
2
et r = r
1
+ r
2
• Dans le cas de deux condensateurs :
1
1
1
1 2
C C C
= +

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Diviseur de tension
u = ( R
1
+ R
2
).i et u
1
= R
1
.i
i
R
2
u
1
11 2
R
u u
R R
=+
R
1
u
1
aucune dérivation ne doit être branchée sur R
1
Diviseur de tension.fig Potentiometre.fig
Un diviseur de tension peut aussi être réalisé à l'aide de deux bobines ou deux condensateurs,
on obtient alors :
1
11 2
L
u u
L L
=+ ou
2
1
11 2
1 2
1C
C
u u u
1 1
C C
C C
= = +
+
2. Association en parallèle
i
1
D
1
i
D
2
i
2
u
i = i
1
+ i
2
( même u )
• Dans le cas de résistors G = G
1
+ G
2
• Dans le cas de deux bobines idéales :
1
1
1
1 2
L L L
= +
• Dans le cas de condensateurs : C = C
1
+ C
2
Diviseur de courant
i
1
= G
1
.u et i = ( G
1
+ G
2
).i
i
i
1
i
2
1
1
1 2
G
i i
G G
=+
u R
1
R
2
Un diviseur de courant peut aussi être réalisé à l'aide de deux bobines ou deux condensateurs,
on obtient alors :
1
1
1 2
C
i i
C C
=+
ou 2
1
1
1 2
1 2
1L
L
i i i
1 1
L L
L L
= = +
+

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IV. Dipôles linéaires actifs
La caractéristique statique modélisée d'un dipôle actif linéaire est la suivante
u
convention générateur
E
I
cc
i
u = E - r.i ou i = I
cc
-
u
r
( convention générateur )
pour i = 0 u = E ( f.e.m. )
pour u = 0 i =
E
r
= I
cc
= I
0
= η = c.e.m (intensité de court-circuit ou courant électromoteur)
r : résistance interne du générateur
1. Source de tension idéale
On appelle source de tension idéale une source de tension telle que u = C
te
= E ∀ i
u
E E
i
i u
convention générateur
P
fournie
= E.i ( en convention générateur )
On peut pas mettre en dérivation deux sources idéales de tension ( avec des E différents ).
2. Source de courant idéale
Une source idéale de courant est telle que i = C
te
= I
0
∀ u I
0
: courant électromoteur
i I
0
i
I
o
u u
P
fournie
= I
0
.u ( en convention générateur )
On peut pas mettre en série deux sources idéales de courant ( avec des I
0
différents ).