3.1-3.2 Introduction et définition

Chapitre 3 Théorème de Gauss
3.0 Introduction
Carl F. Gauss ( 1777-1855 )
Philosophe, mathématicien et physicien
très prolifique
Le théorème sert à :
- a) calculer certains champs
électriques par une méthode
géométrique simple.
Hyperphysics
- b) fournir des explications
concernant certaines
propriétés de conducteurs
chargés à l’équilibre.
Tiré de www.bibmath.net/bios
- c) développer des applications.
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3.1 Flux électrique ΦΕ
Exemple :Calcul du flux électrique à travers une demi sphère
produit par le champ qui vient de la charge q.
 
dΦ = E • dA = EdA cos θ = EdA
Pour un élément de surface
dA
cos θ = cos 0 = 1

E
Φ = ∫ EdA
E
2
Φ E = E ∫ dA = Φ E = E 2πR
R
q
+
Φ = E 2πR
2
E
De plus, E = kq
2
R
2
Nm / C
On obtient
Φ = 2πkq
E
Le flux ΦΕ à travers la demi sphère est donné par 2πkq Nm2/C,
On peut donc calculer un flux à partir d’une charge
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Calcul du flux : D) Dans un champ non-uniforme E et à travers
une surface de Gauss (fermée)
Exemples de surface de Gauss (fermée)
Cylindre
A = 2πrh
+ 2πr
2
Sphère
Boîte
A = 4lc + 2bc
A = 4πr
2
l :longueur, b : largeur, c: hauteur
Surface de Gauss imaginaire
(fermée) Surface mathématique
fermée
∫

dA = A
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Calcul du flux : D) Dans un champ non-uniforme E et à travers
une surface de Gauss (fermée)
dΦ E = EdA cos θ
dA
E
Surface de Gauss (fermée)
Ici
ΦE = 0
Φ = ∫ EdA cosθ
E
 
Φ E = ∫ E • dA
Φ E = ????
Étant donné que le même nombre de lignes
entre et sort, le flux total est défini comme étant
nul.
Convention : Lignes entrant flux négatif et lignes sortant positif
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Calcul du flux : E) Dans un champ non-uniforme E et à travers
une surface de Gauss (fermée)
 
Φ E = ∫ E • dA
Φ E = ∫ EdA cos θ
Φ E = ????
Surface de gauss (fermée)
Ici le flux est positif
Pourquoi y a-t-il plus de lignes qui
sortent ?
C’est parce qu’il y a des charges positives enfermées à l’
Intérieur.
Combien de charges « q » positives ?
Le théorème de Gauss nous le dira.
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3.2 Théorème de Gauss
Le théorème stipule que le flux électrique net à travers la surface
fermée est égal à la charge nette à l’intérieure de la surface divisée
par

dA
E
ε0 (epsilon zéro)
Q int érieure
ΦE =
ε0
  Q int érieure
Φ E = E • dA =
ε0
∫
ΦE =
∫
EdA cos θ =
Q int érieure
ε0
Ainsi pour calculer le flux, il suffit de connaître la
charge nette Q (intérieure) enfermée à l’intérieur
de la surface.
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Où
ε0
est la permittivité du vide. Elle représente
les propriétés électriques du milieu en présence
d’un champ électrique
En fait la constante de Coulomb k est donnée par :
k = 9 x10 =
9
1
4πε
o
La permittivité a pour valeur :
1
εo =
4πk
ε o = 8,85 x10


q
Φ E = ∫ E • dA = 4πkq =
εo
−12
C 2 / Nm 2
Nm 2 / C
Hyperphysics
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