Cours - Lycées Jean Lurçat

Lycée J. LURÇAT
Cours de Mathématique 1S2
Partie : Géométrie
CHAPITRE N°
TRIGONOMETRIE - Cours
I - Radian et cercle trigonométrique
1) Le radian
Définition :
Soit un cercle C de centre O.
On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc dont la
longueur est égale à son rayon R.
Remarque :
Cette définition ne dépend pas du rayon R de l’arc.
En effet, sur la figure ci-contre le rapport de la longueur de l’arc par le rayon correspondant
est constant :
l1 l2
=
r1 r2
Propriété :
• La longueur d’un arc de cercle intercepté par un angle
par :
α , exprimé en radian, est donné
l = Rα
•
La mesure en radian d’un angle plein (tour complet) est de
2π
radians.
2) Cercle trigonométrique
Définition :
Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire
des aiguilles d’une montre.
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Définition :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; i ; j et orienté dans le sens direct, le cercle
(
)
trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.
3) Enroulement
cercle trigonométrique
Dans un repère
d'une droite autour du
(
)
orthonormé O ; i ; j , on
considère le cercle trigonométrique et une droite (d) tangente au cercle en A et orientée telle
 3π 
que A ; j soit un repère de la droite.
= N

≈ 2, 35
 4 
Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on
associe à tout point N d’abscisse x de la droite
orientée (d) un unique point M du cercle.
(
)
La longueur de l’arc AM est ainsi égale à la
longueur AN.
Exemple :
Sur le schéma ci-contre le point N(x) d’abscisse
3π
sur la droite orientée (d), se retrouve, après
4
enroulement » (d) sur le cercle trigonométrique,
M tel que la longueur de l’arc AM est égale à
AN soit ∼ 2,35 .
«
en
(d)
Propriété :
Un angle plein (tour complet) mesure 2π radians.
Démonstration :
La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2π.
En effet, son rayon est 1 donc P = 2πR = 2π x 1 = 2π.
Or la longueur d'un arc et la mesure de l'angle qui l'intercepte sont proportionnelles.
Comme 1 radian est la mesure de l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle
trigonométrique, on en déduit que la mesure de l'angle plein est égale à 2π radians.
4) Correspondance degrés et radians
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Ainsi, à 2π radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360°.
Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :
Mesure en degrés
0
Mesure en radians
0
30°
45°
60°
90°
π
π
π
π
6
4
3
2
180° 360°
π
2π
Méthode : Passer des degrés aux radians et réciproquement
1) Donner la mesure en radians de l'angle α de mesure 33°.
2) Donner la mesure en degrés de l'angle β de mesure
1) α = 33 ×
2π 11π
=
360 60
2π
?
3π
8
360°
33°
?
2) β =
3π
rad.
8
3π 360
×
= 135°
8
2π
5) Plusieurs enroulements de la droite
A plusieurs points de la droite orientée on peut faire correspondre un même point du cercle.
La droite orientée peut en effet s’enrouler plusieurs fois autour du cercle.
Exemples :
- Ci-contre, les points N et P d’abscisses
3π
5π
et −
4
4
correspondent tous les deux au point M.
En effet :
3π
5π
− 2π = −
4
4
- On pourrait poursuivre le processus dans l'autre sens
en effectuant deux tours successifs.
Ainsi, les points d'abscisses
3π
19π
et
correspondent
4
4
au point M.
En effet :
3π
19π
+ 4π =
.
4
4
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II. Mesure d'un angle orienté et mesure
principale
1) Cas d'angles orientés de vecteur de
norme 1
On munit le plan d’un repère orthonormé
O ; i ; j et orienté dans le sens direct.
(
)
On considère le cercle trigonométrique de centre
O.
Au point d'abscisse x de la droite d'enroulement,
on fait correspondre le point M du cercle.
Au point d'abscisse y de la droite d'enroulement,
on fait correspondre le point N du cercle.
u et v sont les vecteurs de norme 1 tels que
u = OM et v = ON .
( )
Définition : Une mesure de l'angle orienté u ; v est la différence y – x.
( )
Propriété : On note α une mesure de l'angle orienté u ; v .
( )
Toute mesure de l'angle orienté u ; v est de la forme α + 2kπ où k est un entier relatif.
Démonstration :
On fait correspondre le point M du cercle à deux points d'abscisses x et x' de la droite
d'enroulement.
On a : x ' = x + 2k1π où k1 est un entier relatif.
On fait correspondre le point N du cercle à deux points d'abscisses y et y' de la droite
d'enroulement.
On a : y ' = y + 2k2π où k2 est un entier relatif.
( )
Alors y – x et y' – x' sont deux mesures de l'angle orienté u ; v .
Et on a : y '− x ' = y − x + 2 ( k2 − k1 ) π = y − x + 2kπ en posant k = k2 − k1 .
2) Cas d'angle orientés quelconques (et non nuls)
Soit U et V deux vecteurs non nuls.
Soit u et v deux vecteurs unitaires, c'est-à-dire de norme 1, respectivement de U et de V
U
V
Avec u =
et v =
U
V
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(
)
Définition : Une mesure de l'angle orienté U ; V est égale à une mesure de l'angle
( )
orienté u ; v .
3) Mesure principale d'un angle orienté
Définition : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres,
se situe dans l'intervalle  −π ; π  .
Exemple :
Une mesure d'un angle orienté est 5π.
D'autres mesures sont : 5π - 2π ; 5π - 4π ; 5π - 6π ; … soit : 3π ; π ; -π ; …
π est donc la mesure principale de cet angle orienté.
III. Propriété des angles orientés
1) Angle nul, angle plat
Propriétés : Pour tout vecteur u non nul, on a :
(
)
1) u ; u = 0
(
)
2) u ; − u = π
2) Relation de Chasles
(
) (
) (
Propriété : Pour tous vecteurs u , v et w non nuls, on a : u ; v + v ; w = u ; w
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)
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IV. Cosinus et sinus d'un angle
1) Définitions :
Dans le plan muni d’un repère
orthonormé O ; i ; j et orienté dans le
(
)
sens
direct, on considère un cercle
trigonométrique de centre O.
Pour tout nombre réel x, considérons le
de la droite orientée d’abscisse x.
point N
À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique.
On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l’axe des abscisses et à l’axe
des ordonnées passant par M.
Définitions :
- Le cosinus du nombre réel x est l’abscisse de M et on note cos x.
- Le sinus du nombre réel x est l’ordonnée de M et on note sin x.
Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :
x
0
cos x
1
sin x
0
π
π
π
π
6
3
2
1
2
4
2
2
2
2
3
1
2
2
3
2
π
0
-1
1
0
( )
Soit u et v deux vecteurs non nuls et x une mesure de l'angle u ; v .
(
)
(
)
On a : cos u ; v = cos x et sin u ; v = sin x .
Définitions :
( )
Le cosinus (respectivement le sinus) de l'angle orienté u ; v est le cosinus (respectivement
le sinus) d'une de ses mesures.
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2) Propriétés
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Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) −1 ≤ cos x ≤ 1
2) −1 ≤ sin x ≤ 1
4) cos x = cos ( x + 2kπ ) où k entier relatif
3) cos2 x + sin2 x = 1
5) sin x = sin ( x + 2kπ ) où k entier relatif
Démonstrations :
1) 2) 3) Propriétés démontrées en classe de 2nde
4) 5) Aux points de la droite orientée d'abscisses x et x + 2kπ ont fait correspondre le même
point du cercle trigonométrique.
3) Cosinus et sinus d'angles associés
Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou
opposés.
Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) cos(−x) = cos x
et
2) cos (π + x ) = − cos x
3) cos (π − x ) = − cos x
π

4) cos  + x  = − sin x
2

π

5) cos  − x  = sin x
2

et
et
et
et
sin(−x) = − sin x
sin (π + x ) = − sin x
sin (π − x ) = sin x
π

sin  + x  = cos x
2

π

sin  − x  = cos x
2

Démonstrations :
Par symétries, on démontre les résultats :
1)
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2)
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3)
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4)
5)
V. Equations trigonométriques
1) Equation cos x = cos a
Propriété : Soit a un nombre réel.
L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels a + 2kπ et −a + 2kπ où k est un
nombre relatif.
Démonstration :
Par symétrie, on démontre qu'il existe deux points M et N du cercle dont les abscisses sont
égales à cos a.
Ces points sont tels que i ; OM = a + 2kπ et i ; ON = − a + 2kπ avec k un nombre relatif.
(
)
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(
)
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M
N
2) Equation sin x = sin a
Propriété : Soit a un nombre réel.
L'équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels a + 2kπ et π − a + 2kπ où k est un
nombre relatif.
Démonstration :
Par symétrie, on démontre qu'il existe deux points M et N du cercle dont les ordonnées sont
égales à sin a.
Ces points sont tels que i ; OM = a + 2kπ et i ; ON = π − a + 2kπ avec k un nombre relatif.
(
)
(
)
N
M
Méthode : Résoudre une équation trigonométrique
Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a) cos x = cos
a) L'équation cos x = cos
π
6
a pour solution
π
6
+ 2kπ et −
π
6
π
6
b) sin x = −0,5
+ 2kπ où k est un entier relatif.
 π
b) sin x = −0,5 donc sin x = sin  −  .
 6
L'équation a pour solution −
π
6
+ 2kπ et π +
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π
6
+ 2kπ =
7π
+ 2kπ où k est un entier relatif.
6
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Partie : Géométrie
CHAPITRE N°
TRIGONOMETRIE - Exercices
« Il faut essayer de faire ces exercices sans coup d’oeil aux éléments de réponses »
Le radian
Le radian est l’unité du « système international d’unité » (SI) pour la mesure des angles. Le
nom radian vient du mot radius qui signifie « rayon ». Ce terme a été introduit en 1873 par
l’ingénieur James Thomson (1822 – 1892).
Radian et cercle trigonométrie
EXERCICES 1
Convertir en radians les mesures d’angles.
a. α = 30° ; β = 120° ; γ = 135°
b. α = 75° ; β = 170° ; γ = 1°
Convertir en degrés les mesures d’angles.
7π
rad
4
5
18
177
d. α = 1 rad ; β = 3,14 rad ; γ =
rad
144
c. α =
π
rad ; β =
π
rad ; γ =
EXERCICES 2
ABCDE est un pentagone régulier de contre O.
a. Déterminer en radians les mesures d’angles OAB .
b. Déterminer en radians les mesures d’angles ABC .
(On pourra considérer le triangle OCB.)
c. Déterminer en radians les mesures d’angles ABD .
(On pourra considérer le triangle BCD.)
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Mesure d’un angle orienté, mesure principale
EXERCICES 3
A, B, C et D sont des distincts deux à deux.
Simplifier les sommes suivantes :
S1 = AC, AD + AD, AC
(
) (
)
S 2 = ( AD, AB ) + ( AC, AD )
S3 = ( AD, AB ) + ( BA, DA )
EXERCICES 4
(
)
a. Dans le plan orienté muni du repère O, i, j , on donne le point A(1 ; 0).
Représenter les points M1, M2, ....., M6 du cercle trigonométrique tels que les angles
OA, OM i aient comme mesures respectives :
(
)
3π ;
9π 7π 11π
19π
, ,
, 20π ,
2
2
4
3
b. Déterminer la mesure principale de chacun de ces angles orientés de vecteurs.
EXERCICES 5
a. Indiquer, parmi les nombres suivants, ceux qui correspondent aux mesures d’un même
angle de vecteurs.
π 3π
π 7π
3π
7π 5π
;
, − ,
, −
, −
,
2 2
2 2
2
2
2
b. Dans l’intervalle [ 0 ; 8π ] , combien de mesure différentes existe-t-il pour un angle de
vecteurs ayant comme mesure
π
2
? Justifier.
Cosinus et sinus d’un angle
EXERCICES 6
(
)
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O, i, j .
Détermioner :
a. sin (i, j )
b. cos (2i, 3 j )
c. sin (−i, 5 j )
d. cos (i, i + j )
e. cos (−i − j , j )
f.
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cos (42i − 7 j , j − 6i )
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EXERCICES 7
Calculer :
π
2π
3π
4π
5π
+ sin
+ sin
+ sin
3
3
3
3
3
π
2π
3π
4π
5π
B = cos 0 + cos + cos
+ cos
+ cos
+ cos
3
3
3
3
3
A = sin 0 + sin
+ sin
EXERCICES 8
Simplifier les expressions suivantes où
a. cos x + cos ( − x )
x est un nombre réel quelconque.
b. sin (π − x ) + sin x + cos ( π − x ) + cos x
π

π

c. cos  + x  + sin  − x  + sin ( − x ) + cos ( − x )
2

2

d. sin x + sin (π + x ) + sin ( x + 2π ) + sin ( x + 3π ) + sin ( x + 4π ) + sin ( x + 5π )
Equations trigonométriques
EXERCICES 9
Résoudre dans ℝ les équations trigonométriques suivantes :
a. sin x = sin
π
4
b. cos x = cos
π
4
1
c. sin x =
2
d. cos x = −
3
2
EXERCICES 10
a. Montrer que cos
π
5
= sin
3π
.
10
b. Résoudre dans ℝ les équations trigonométriques :
cos x = sin
3π
10
EXERCICES 11
Résoudre dans ℝ les équations d’inconnue x .
a. 2 cos 2 x − 1 = 0
b. 4sin 2 x − 3 = 0
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TRIGONOMETRIE – Eléments de réponses
EXERCICES 1
Rappel : π = 180°
30π π
=
a. α =
180 6
75π 5π
b. α =
=
180 12
c. α =
π
= 45°
4
180°
= 57,3°
d. α =
π
;
;
2π
3
17π
β=
18
β=
;
γ=
;
γ=
;
β = 36°
;
β=
EXERCICES 2
a. Mesure de l’angle OAB :
3π
4
π
180
γ = 70°
;
2826°
= 179,9° ;
5π
γ=
385°
= 30, 6°
4π
2π
(Vérifier les propriétés du pentagone régulier).
5
b. Mesure de l’angle OBC :
2π 

π −

5  3π

=
.
2
10
3π 3π
=
.
10
5
3π 

π −

5  π
c. Mesure de l’angle BDC : 
=
2
5
3π π 2π
Mesure de l’angle ABD :
− =
.
10 5
5
Mesure de l’angle ABC : 2 ×
EXERCICES 3
S1 = AC, AC où tout autre angle de mesure nulle.
(
)
S 2 = ( AC, AD ) + ( AD, AB ) = ( AC, AB ) + 2kπ
S3 = ( AD, AB ) + ( BA, AB ) + ( AB, DA )
= ( AD, DA ) + ( BA, AB )
= ( AD, DA ) + ( DA, AD ) = ( AD, AD )
où tout autre angle de mesure nulle.
EXERCICES 4
a.
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b. π ;
π
2
,
π
2
,
3π
π
, 0,
4
3
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EXERCICES 5
7π π
3π
5π
a. −
= =−
=−
2
2
2
2
π 3π 7π
− =
=
2
2
2
b. 4 - Il faut ici déterminer les valeurs (entier) que peut prendre k
π
1

0 ≤ + 2kπ ≤ 8π ⇔ 0 ≤  + 2k  π ≤ 8π , on divise tout par π
2
2

1
1
1
0 ≤ + 2k ≤ 8 ⇔ 0 − ≤ 2k ≤ 8 − , on divise tout par 2
2
2
2
1
15
− ≤k≤
⇔ − 0, 25 ≤ k ≤ 3, 75
4
4
Comme k entier, il existe donc 4 mesures différentes pour k valant 0, 1,2 ou 3 :
π 5π 9π 13π
,
,
,
.
2 2
2
2
EXERCICES 6
a. sin (i, j ) = sin
π
2
=1
b. cos (2i, 3 j ) = cos
;
 π
c. sin (−i, 5 j ) = sin  −  = −1
;
 2
2
 3π 
e. cos (−i − j , j ) = cos  −  = −
2
 4 
f.
π
2
=0
d. cos (i, i + j ) = cos
π
4
=
2
2
cos (42i − 7 j , j − 6i ) (un peu plus complexe) = cos π = −1 , oui, car si l’on posait u = 6i − j
(
)
(
)
alors (42i − 7 j , j − 6i ) = 7u , − u . Cet angle est le même que pour u , −u c’est à dire π . Et
cos π = −1
EXERCICES 7
A = 0 ; B =1
EXERCICES 8
a. 2 cos x
;
b.
2 sin x
;
c. 2 cos x
;
b.
EXERCICES 9
3π
+ 2k ' π
4
4
π
5π
c. x = + 2kπ ou x=
+ 2k ' π
6
6
a. x =
π
+ 2kπ ou x=
;
x=
π
4
d.
;
d. 0
+ 2kπ ou x= −
x=
π
4
+ 2k ' π
5π
7π
+ 2kπ ou x=
+ 2k ' π
6
6
EXERCICES 10
π
3π
π π 
a. cos = sin  −  = sin
.
4
10
2 5
b. x =
π
5
+ 2kπ ou x = −
π
5
+ 2k ' π
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EXERCICES 11
a. 2 cos 2 x − 1 = 0 ⇔ cos x =
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2
2
π
π
ou cos x = −
⇔ x = + 2kπ ou x = − + 2kπ
2
2
4
4
3π
3π
+ 2kπ ou x = −
+ 2 kπ .
4
4
3
3
π
2π
b. 4 sin 2 x − 3 = 0 ⇔ x =
ou x = −
⇔ x = + 2kπ ou x =
+ 2 kπ
2
2
3
3
π
2π
ou x = − + 2kπ ou x = −
+ 2k π
3
3
ou x =
FIN
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