Séquence 4 ère 1 partie : Dérivation (1) e 2 partie : Trigonométrie Séquence 4 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne ère 1 partie Dérivation (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Nombre dérivé d’une fonction en un point 3. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence 4. Dérivation : opérations sur les fonctions 5. Premières applications de la dérivation 6. Synthèse de la partie 1 de la séquence 7. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 1 Pré-requis A Les droites Dans les graphiques de cette partie 1 de la Séquence 4, on utilise des droites non parallèles à l’axe des ordonnées. On utilisera les équations réduites des droites (c’est-à-dire de la forme y = mx + p ). Les propriétés concernant le cœfficient directeur m sont très utilisées. Propriété Si une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, passe par les points A et B dont les coordonnées y −y sont A x A ; y A et B x B ; y B , alors le cœfficient directeur de la droite est : m = B A . xB − x A ) ( ) ( Propriété Si une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées) a pour cœfficient directeur m l’un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u de coordonnées : u (1; m . ) Il est très utile de savoir lire graphiquement un cœfficient directeur, de voir s’il est positif ou négatif, et de savoir comparer visuellement deux cœfficients directeurs. Lecture graphique Sur la figure ci-contre, d’après l’inclinaison des droites (D) et (D'), le cœfficient m ' est positif, le cœfficient m est négatif. Et plus précisément m ' = 3 et m = −1. 1 m (D’) Quant à la droite (D") son cœfficient directeur m " est positif et m " < m ' car la droite (D") est « plus horizontale » que la droite (D'). (D) j 0 m’ i Pour trouver le cœfficient directeur m " , on cherche deux points de la droite (D") ayant des coordonnées entières. 1 (D”) B 3 A 5 On trouve les points A et B. On en déduit la lecture des valeurs 5 et 3 comme cela est indiqué sur la figure, le 3 cœfficient directeur est donc m " = (ce résultat vient de 5 yB − y A ). l’égalité : m " = xB − x A Séquence 4 – MA12 3 © Cned - Académie en ligne Équation d’une droite connaissant un point et le cœfficient directeur. Propriété On considère une droite (D) non parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation réduite y = mx + p. Soit A( x A ; y A ) un point de cette droite. On a alors y A = mx A + p , donc p = y A − mx A , et l’équation réduite de la ( ) droite (D) devient y = mx + y A − mx A , c’est-à-dire y = m x − x A + y A . Exemple On considère la droite (D") de la figure précédente, passant par le point 3 A( −2 ; −6 ) et de cœfficient directeur m " = . 5 3 3 24 Son équation réduite est y = ( x − ( −2)) + ( −6 ), soit y = x − . 5 5 5 B Utilisation de GeoGebra Tracé d’une courbe : par exemple, on tape y = x 2 sur la ligne de saisie, et, quand on valide, la courbe s’affiche. Création d’un point dont on connaît les coordonnées : on crée le point A d’abscisse 1,5 et d’ordonnée 1, 52 en entrant (1.5,1.52 ) sur la ligne de saisie : il faut faire attention aux points et à la virgule… ! Agrandissement : pour cela, il suffit d’utiliser la roulette de la souris ou l’agrandissement qui est une des fonctionnalités du bouton situé en haut à droite ou encore en faisant un clic droit et en choisissant le pourcentage du zoom. Création d’un point mobile sur une courbe : il suffit d’approcher la souris de la courbe avant de cliquer pour créer un point B sur la courbe (fonctionnalité du deuxième bouton en haut à gauche). Affichage du cœfficient directeur d’une droite : quand on crée une droite, une équation s’affiche à gauche. S’il ne s’agit pas de la forme réduite celle-ci peut être obtenue en faisant un clic droit sur l’équation affichée. On peut alors lire le cœfficient directeur. y = x2 B 1,52 A j 0 4 © Cned - Académie en ligne i a = 1,5 Séquence 4 – MA12 C Tableau de valeurs Dans une des activités, un tableau de valeurs est demandé mais on ne peut pas utiliser de façon habituelle les calculatrices car les valeurs de x ne sont pas régulièrement espacées, il n’y a pas de « pas ». Prenons l’exemple simple de la fonction carré et du tableau : x 0 0,5 1 2 5 10 x2 Avec un tableur On remplit 6 cellules d’une ligne (ou d’une colonne) par les valeurs de x. On calcule le carré de 0 (en utilisant le nom de la cellule qui contient 0) dans la première cellule de la ligne (ou la colonne) suivante, puis on recopie pour obtenir les autres carrés. Avec une calculatrice TI On rentre la fonction carré dans Y1. Dans TBLSET ( ou def table), on sélectionne Ask (ou Dem ), les calculs de valeurs sont alors faits « à la demande » c’est-à-dire que l’on peut entrer les valeurs de x que l’on veut dans la table. Avec une calculatrice Casio Ces calculatrices, sauf la Graph25+ Pro et la Graph35+, disposent d’un tableur qu’on utilise avec le mode S*SHT. Pour la Graph25+ Pro et la Graph35+, on peut utiliser les listes. On rentre les valeurs de x dans List 1. Pour calculer les carrés dans la colonne suivante, on se déplace avec le curseur et on met en surbrillance List 2 en haut de la deuxième colonne. On rentre ensuite la formule de la fonction dans laquelle on remplace x par List 1 qu’on obtient par OPTN, List, encore List et 1. En validant, on obtient les valeurs attendues. Séquence 4 – MA12 5 © Cned - Académie en ligne 2 Nombre dérivé d’une fonction en un point A Activités 1. Activité 1 Avec une calculatrice ou un logiciel, afficher la courbe représentative de la fonction carré sur l’intervalle −3 ; 3 . Faire ensuite plusieurs agrandissements successifs centrés au point A de la courbe, d’abscisse a = 1, 5. Pour cela, avec une calculatrice, on peut changer la fenêtre ou utiliser un zoom (zoom in pour une calculatrice Casio, zoom+ pour une calculatrice TI). Pour le logiciel GeoGebra, voir les pré-requis. Qu’observe-t-on ? Avec un logiciel de géométrie construire la figure ci-contre. y = x2 Le point A est sur la courbe et son abscisse est 1,5. B 1,52 Le point B est un point mobile de la courbe. Comme on utilise la droite (AB), le point B sera toujours différent de A. A Observer l’évolution du cœfficient directeur de la droite (AB) quand le point B se rapproche du point A (on dit que la droite (AB) est une sécante en A à la courbe). j 0 i a = 1,5 Les coordonnées du point A sont (1, 5 ; 1, 52 ). Les coordonnées du point B sont ( x ; x ) avec x ≠ 1,5. 2 Déterminer le cœfficient directeur de la droite (AB) en fonction de x. Avec un tableur ou une calculatrice, ou même ici en calculant mentalement, déterminer les valeurs de ce cœfficient pour les différentes valeurs de x du tableau. x Cœfficient directeur x Cœfficient directeur 1 1,3 1,4 1,5001 1,5005 1,501 1,45 1,49 1,495 1,499 1,4995 1,4999 1,505 1,51 1,55 1,6 1,7 1,8 Pour mieux indiquer que l’étude faite ici est locale, autour du point A d’abscisse 1,5, on appelle 1, 5 + h l’abscisse du point B avec h ≠ 0, c’est-à-dire qu’on pose x = 1, 5 + h. Comment exprimer que le point B se rapproche du point A ? Quelle est l’ordonnée du point B en fonction de h ? Quelle est l’expression du cœfficient directeur de la droite (AB) en fonction de h ? 6 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 Afficher dans le tableau ci-dessous les valeurs de ce cœfficient directeur lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0 (strictement positives et strictement négatives). h Cœfficient directeur h Cœfficient directeur –1 –0,5 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 Qu’observe-t-on ? Quel semble être le cœfficient directeur de la droite qui est apparue à la question ? Pour terminer cette activité, on peut tracer cette droite sur le graphique (on sait aussi qu’elle passe par le point A). 2. Activité 2 On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = 1 et on choisit a = 1. x2 +1 Reprendre les questions , , en admettant que le taux d’accroissement en −1− 0, 5h fonction de h est égal à , et finir par la question . 2 + 2h + h 2 3. Activité 3 Reprendre la question dans le cas suivant : f est la fonction définie sur par f ( x ) = x 2 − 1 et a = 1(avec le logiciel GeoGebra la valeur absolue s’obtient en saisissant abs( x 2 − 1) ). 4. Activité 4 Reprendre les questions , , dans le cas de la fonction racine carrée avec a = 0. C’est donc l’origine O du repère qui joue le rôle du point A des activités précédentes. On tiendra compte de l’ensemble de définition de la fonction racine carrée, l’abscisse du point B sera donc un nombre h strictement positif. Quelle est ici la droite « limite » des droites sécantes (OB) ? B Cours 1. Introduction Dans cette séquence on introduit un nouvel outil dans le cours de mathématiques : la dérivation. Séquence 4 – MA12 7 © Cned - Académie en ligne Les coordonnées commencent à être utilisées en mathématiques à partir de 1637 grâce à Descartes (d’où l’adjectif « cartésien ») et à Fermat. Vers 1680, Newton et Leibniz créent le calcul différentiel (autre nom de ce qui deviendra la dérivation) qui permet d’étudier les tangentes à une courbe moins simple que le cercle ou la parabole, de travailler avec la notion de vitesse instantanée et d’aborder des calculs avec des différences qui deviennent très proches de 0 (h = x − a dans nos exemples ci-dessus). L’acquisition du concept de dérivée est un point fondamental du programme de première S. Les activités précédentes permettent une approche intuitive de cette notion : une fonction est dérivable en a lorsque sa courbe représentative semble confondue avec une droite non parallèle à l’axe des ordonnées lorsqu’on agrandit suffisamment cette courbe autour de son point d’abscisse a. La mise en forme rigoureuse est très délicate, mais l’essentiel est d’avoir compris l’idée, en particulier d’avoir une image mentale de la « droite limite » des sécantes en un point, la tangente en ce point. Donc, dans le cours de Première S, on se contentera d’un point de vue intuitif en ce qui concerne la définition de la dérivabilité et de la limite qui intervient dans cette définition. Ce premier chapitre est essentiellement formé des définitions fondamentales et d’exemples. 2. Définitions fondamentales Les activités ont montré dans plusieurs cas l’existence d’une « droite limite » des sécantes (AB) en un point A à une courbe quand le point B se rapproche du point A, en restant distinct de A. Cette droite est définie par le point A et son cœfficient directeur. C’est l’existence et la valeur de ce cœfficient directeur qui vont être à la base de la notion de dérivabilité. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I. B A a 8 © Cned - Académie en ligne y = f(x) j a+h 0 Le point A est le point de la courbe d’abscisse a, ses coordonnées sont (a ; f (a )). Le point B est le point de la courbe d’abscisse a + h , ses coordonnées sont (a + h ; f (a + h )). Le point B est distinct du point A, donc h ≠ 0. i Séquence 4 – MA12 Le cœfficient directeur de la droite (AB) est égal au quotient yB − y A f (a + h ) − f (a ) , c’est-à-dire . xB − x A h Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a + h (h ≠ 0 ) deux éléments de l’intervalle I. f (a + h ) − f (a ) est appelé taux d’accroissement de la fonction h f entre a et a + h. Le quotient Définition 2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I. f (a + h ) − f (a ) Si le taux d’accroissement tend vers un nombre réel quand h h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a. Le nombre réel qui est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0 est appelé le nombre dérivé de la fonction f en a, on le note f '(a ) et on écrit : f (a + h ) − f (a ) = f '(a ). h h →0 lim Lecture Le nombre f '(a ) se lit « f prime de a ». La quantité lim h →0 vers 0 ». Commentaire f (a + h ) − f (a ) f (a + h ) − f (a ) se lit « limite de quand h tend h h Il ne faut pas se laisser impressionner par cette définition qui est nécessaire pour savoir de quoi on parle. On l’utilisera pour quelques exemples. Puis les résultats obtenus dans les chapitres 3 et 4 permettront d’éviter au maximum les calculs utilisant la limite du taux d’accroissement de la définition 2. Exemple 1 Montrer que la fonction carré est dérivable en a = 1, 5 et déterminer le nombre dérivé correspondant. Solution Notons f la fonction carré. On étudie la dérivabilité en a = 1, 5 : on étudie donc le 2 2 f (a + h ) − f (a ) (1, 5 + h − 1, 5 taux d’accroissement quand h ≠ 0. = h h Comme on étudie ce qui se passe quand h tend vers 0, c’est-à-dire quand le dénominateur tend vers 0, le quotient sous cette forme ne nous donne aucun renseignement. On va donc le transformer en développant puis en simplifiant. ) 2 1, 5 + h ) − 1, 52 (1, 5 ( On a : = 2 h ) + 3h + h 2 − 1, 52 h = h( 3 + h ) = 3 + h avec h ≠ 0. h Séquence 4 – MA12 9 © Cned - Académie en ligne Comme le taux d’accroissement est égal à 3 + h , il a pour limite 3 quand h tend vers 0. La fonction f, c’est-à-dire la fonction carré, est donc dérivable en 1,5 et f '(1, 5) = 3. On retrouve heureusement le résultat conjecturé d’après les tableaux de valeurs dans l’activité 1. Exemple 2 Montrer que la fonction racine carrée est dérivable en a = 1 et déterminer le nombre dérivé correspondant. Solution Notons f la fonction racine carrée. On étudie la dérivabilité en a = 1, on étudie f (a + h ) − f (a ) 1+ h − 1 = quand la racine h h existe et que h n’est pas nul, c’est-à-dire pour h ≥ −1et h ≠ 0. donc le taux d’accroissement Comme on étudie ce qui se passe quand h tend vers 0, c’est-à-dire quand le dénominateur tend vers 0, le quotient sous cette forme ne nous donne aucun renseignement. On va donc le transformer en utilisant la quantité conjuguée du numérateur (voir la Partie 1 de la Séquence 1). On a : 1+ h − 1 = h ( )( 1+ h − 1 h car on a pu simplifier par h. ( )= 1+ h + 1 ) 1+ h + 1 h ( (1+ h ) − 1 ) 1+ h + 1 = 1 1+ h + 1 Sous cette forme, quand h tend vers 0, on obtient intuitivement que 1+ h a pour limite 1, que 1+ h a pour limite 1 , c’est-à-dire 1, que le dénominateur a pour 1 limite 2 et que le taux d’accroissement a donc pour limite . 2 On peut donc conclure que la fonction racine carrée est dérivable en 1 et que 1 f '(1) = . 2 Là encore, on retrouve bien le résultat conjecturé d’après les tableaux de valeurs dans l’activité 4. Exemple 3 Comme on l’a vu dans l’activité 4 la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. Comme on l’a vu dans l’activité 3, la fonction f définie sur par f ( x ) = x 2 − 1 n’est pas dérivable en 1, il en est de même pour la fonction valeur absolue en 0. Remarque L’exemple de l’exercice I du chapitre 7 (approfondissement) ci-après, permet de voir à quoi peut ressembler la courbe d’une fonction non dérivable en une valeur a. Ces exemples sont donnés seulement pour mieux comprendre, par comparaison, ce qu’est une fonction dérivable en un point. Toutes les fonctions étudiées dans les exercices seront « régulières », c’est-àdire dérivables en chaque valeur de leur ensemble de définition, sauf la fonction racine et la fonction valeur absolue en 0. 10 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 Définition 3 Soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a. La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point de la courbe de coordonnées (a ; f (a )) et ayant pour cœfficient directeur f '(a ), le nombre dérivé en a. Commentaire La définition 3 permet de lire des nombres dérivés sur des graphiques. En effet, si la courbe représentative d’une fonction f est dessinée ainsi que la tangente en un point A d’abscisse a de la courbe, on peut lire le nombre dérivé en a puisque c’est le cœfficient directeur de la tangente en A. A 4 puisque l’abscisse 3 du point A est égale à 9 et que le cœfficient 4 directeur de la tangente est égal à (voir les 3 pré-requis). Ci-contre, on lit f '(9 ) = j 0 i Remarque Il se peut que la fonction ne soit pas dérivable en a et qu’il existe néanmoins une tangente à la courbe représentative au point d’abscisse a. C’est le cas de la fonction racine en a = 0 et de sa courbe à l’origine O : c’est l’axe des ordonnées qui est la tangente et cet axe n’a pas de cœfficient directeur. Propriété 1 Soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a. La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite qui a pour équation y = f '(a )( x − a ) + f (a ). Démonstration Remarque On a simplement appliqué la propriété rappelée dans les pré-requis. La notion de dérivabilité et la notion tangente sont des notions locales. Dans les activités, on a zoomé autour d’un point de la courbe en ne voyant plus le reste de la courbe. Et, quand on observe les tangentes dessinées à la fin des activités 1 et 2, on constate bien que, en dehors du voisinage du point de tangence, la tangente n’a pas de rôle particulier par rapport à la courbe. Séquence 4 – MA12 11 © Cned - Académie en ligne Exemple 4 Dans l’activité 1, la tangente à la courbe représentative de la fonction carré au point A d’abscisse 1,5 est la droite passant par le point A et dont le cœfficient directeur est égal à 3. A D’après la propriété 1, cette tangente a pour équation y = f '(1, 5)( x − 1, 5) + f (1, 5), soit y = 3( x − 1, 5) + 2, 25 c’est-à-dire y = 3x − 2, 25. j 0 i Comme il s’agit d’une notion locale, autour du point A, on a tracé seulement une partie de la droite au voisinage de point A. Exemple 5 Dans l’activité 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction définie sur 1 au point A d’abscisse 1 est la droite par f ( x ) = x2 +1 passant par le point A et dont le cœfficient directeur est égal à A −0, 5. Cette tangente a pour équation : j 0 y = f '(1)( x − 1) + f (1), soit y = −0, 5( x − 1) + 0, 5 c’est-à-dire i y = −0, 5x + 1. Les définitions de la dérivabilité d’une fonction f en a et de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse a donnent un moyen pour calculer des valeurs approchées de f ( x ) lorsque x est proche de la valeur a. En effet, comme la courbe d’équation y = f ( x ) est presque confondue avec sa tangente au voisinage du point A, les valeurs f ( x ) seront très proches des valeurs obtenues à partir de la fonction affine représentée par la droite tangente d’équation y = f '(a )( x − a ) + f (a ). Définition 4 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I. Si la fonction f est dérivable en a, on dit que la fonction affine x → f '(a )( x − a ) + f (a ) est l’approximation affine de f en a. Commentaire Au voisinage du point A, la courbe et la tangente en A sont presque confondues, on peut donc écrire que f '(a )( x − a ) + f (a ) est une valeur approchée de f ( x ) : f ( x ) ≈ f '(a )( x − a ) + f (a ). y=f(a)(x–a)+f(a) f(x) f ’(a)(x–a)+f(a) j 0 12 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 A f(a) i a x Remarque Toute droite passant par A permettrait aussi de donner un moyen d’approcher les valeurs f ( x ) de façon affine mais moins précise. Etant donnée la position exceptionnelle de la tangente en A par rapport à la courbe, on utilise seulement la fonction affine x → f '(a )( x − a ) + f (a ). Exemple 6 On rappelle que, dans l’exemple 4, on a vu que la tangente à la courbe représentative de la fonction carré au point A d’abscisse 1,5 est la droite d’équation y = f '(1, 5)( x − 1, 5) + f (1, 5), soit y = 3x − 2, 25. x 3x − 2, 25 x2 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 2,1 2,13 2,16 2,19 2,22 2,25 2,28 2,31 2,34 2,37 2,4 2,1025 2,1316 2,1609 2,1904 2,2201 2,25 2,2801 2,3104 2,3409 2,3716 2,4025 On obtient donc f ( x ) ≈ 3x − 2, 25 c’est-à-dire x 2 ≈ 3x − 2, 25 lorsque x est proche de 1,5. Ainsi, on trouve 1, 50022 ≈ 3 × 1, 5002 − 2, 25 soit 1, 50022 ≈ 2, 2506, alors que la valeur exacte est 1, 50022 = 2, 25060004. Dans le tableau de valeurs ci-contre, on a aussi indiqué les valeurs exactes dans la troisième colonne pour montrer la précision des approximations. Remarque f(a+h) f(a)+f ’(a) h f ’(a) h A f(a) h y=f(x) j 0 i a a+h Le cœfficient directeur est f’(a) En posant x = a + h l’approximation f ( x ) ≈ f '(a )( x − a ) + f (a ) devient f (a + h ) ≈ f '(a ) × h + f (a ) qu’on écrit plutôt sous la forme f (a + h ) ≈ f (a ) + f '(a ) × h. Cette nouvelle expression montre mieux comment les valeurs approchées sont construites à partir de f (a ) comme on l’observe sur la figure. Quand la variable augmente de la valeur h, on obtient une valeur approchée de l’image f (a + h ) en ajoutant le produit f '(a ) × h à l’image f (a ). Séquence 4 – MA12 13 © Cned - Académie en ligne Exemple 7 C’est toujours le même exemple mais avec ce nouveau point de vue. 2, 25 + 3h (1, 5 + h )2 h -0,005 -0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 2,235 2,238 2,241 2,244 2,247 2,25 2,253 2,256 2,259 2,262 2,265 C 2,235025 2,238016 2,241009 2,244004 2,247001 2,25 2,253001 2,256004 2,259009 2,262016 2,265025 Il s’agit donc de la fonction carré et a = 1, 5, f (a ) = 2, 25, f '(a ) = 3. Dans ce cas, l’approximation f (a + h ) ≈ f '(a ) × h + f (a ) devient donc (1, 5 + h )2 ≈ 2, 25 + 3h le nombre h étant proche de 0. Ainsi, en reprenant le calcul de l’exemple 6 : 1, 50022 = (1, 5 + 0, 0002)2 d’où : (1, 5 + 0, 0002)2 ≈ 2, 25 + 3 × 0, 0002 soit 1, 50022 ≈ 2, 2506. Pour ce tableau de valeurs, on a choisi de partir de la valeur a + h = 1, 5 − 0, 005, soit h = −0, 005 et d’utiliser 0,001 pour le pas. On a encore indiqué les valeurs exactes pour montrer la précision des approximations. Exercices d’apprentissage Exercice 1 On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur . Parmi les réponses proposées, cocher celles qui sont correctes. A Une valeur approchée de f '( 4 ) est : 5/4 –5/4 9/5 5/9 9/5 4/5 –5/9 –9/5 B La droite (D) est tangente à courbe : j 0 oui non i La droite (AB) est tangente à la courbe (D) au point A : oui non au point B : oui non Combien y a-t-il de nombres dérivés nuls : y=f(x) 01 23 Exercice 2 On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction f définie sur . Tracer les tangentes aux points A, B, C, D de la courbe représentative de f, d’abscisses respectives −2, − 1, 0 et 1. Donner des valeurs approchées des nombres dérivés de la fonction f en −2, − 1, 0 et 1. 14 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 j 0 Exercice 3 i Soit une fonction f définie sur . En utilisant le tableau suivant, placer six points de la courbe (Cf ) représentative de f et tracer la tangente à la courbe (Cf ) en chacun de ces points. x –3 –2 0 0,5 2 3 f (x) 1 0,75 1,75 2 –– 2 2 f’ (x) – 0,5 0 1 0 0 8 On donne aussi le tableau de variation, tracer alors l’allure de la courbe (C ). f x −∞ −2 2 +∞ 2 f (x ) 0,75 Exercice 4 0,5 –2 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 3x 2 − 5x + 8. Démontrer que la fonction f est dérivable en a = 2 et donner la valeur de f '(2). On note g la fonction inverse. Démontrer que la fonction inverse est dérivable en a = 2 et donner la valeur de g '(2). Exercice 5 Soit f une fonction dérivable en un réel a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf , représentant la fonction f, au point A d’abscisse a sachant que : a = 2, f '(a ) = −4 et f (a ) = 3. Même question pour la fonction g avec a = 1, g '(a ) = −3 et la tangente passe par l’origine du repère. Même question pour la fonction h avec h '(a ) = 0 et h (a ) = 5. Exercice 6 On a démontré dans le cours que la fonction racine carrée est dérivable en 1 1 et que son nombre dérivé en 1 est égal à . Donner une valeur approchée de 2 1, 000002 et de 0, 999999999 . Séquence 4 – MA12 15 © Cned - Académie en ligne Exercice 7 Représenter la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée dans un même repère orthonormé. Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 et m le nombre dérivée en a d’une de ces fonctions. Le nombre m est donc le cœfficient directeur de la tangente à l’une des courbes, au point d’abscisse a, a > 1. En utilisant les représentations graphiques, cocher dans chaque cas la bonne réponse parmi les 4 : Valeur de m C’est impossible Il s’agit de la fonction carré inverse racine carrée m=3 m=1 m = 0,4 m=0 m = –0,5 m = –4 Quelles conjectures, exprimées par des inégalités, peut-on faire sur les nombres dérivés en a, avec a > 1, pour chacune des trois fonctions ? 16 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 3 A Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence Activités 1. Activité 1 On a étudié la dérivabilité de la fonction carré en a = 1, 5 dans l’exemple 1 dans le chapitre précédent. On demande ici d’étudier la dérivabilité en a, a étant un nombre réel fixé. 2. Activité 2 Étudier la dérivabilité de la fonction cube en a = 2. On utilisera l’identité remarquable : (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (ce qui se démontre en développant (a + b )3 = (a + b )2 × (a + b ) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b ) = ...). Soit a un nombre réel, étudier la dérivabilité de la fonction cube en a. 3. Activité 3 Dans l’exercice 4, on a étudié la dérivabilité de la fonction inverse en a = 2. On demande ici d’étudier la dérivabilité de la fonction inverse en a, a étant un nombre réel non nul. B Cours 1. Définition Exemple 8 Notation Dans l’activité 1, on a montré que la fonction carré est dérivable en a quelque soit le nombre réel a et que, si on note f la fonction carré, on a f '(a ) = 2a. On peut donc considérer la nouvelle fonction définie sur par a → 2a , ou encore a → f '(a ). Puisque, dans la ligne précédente, a est une variable, on peut utiliser le nom habituel d’une variable et on obtient la fonction définie sur par : x → f '( x ) avec f '( x ) = 2x . Définition 5 On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I si f est définie sur I et dérivable en tout point de l’intervalle I. La fonction, définie sur l’intervalle I et à valeurs dans , qui à tout réel x de l’intervalle I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f ; cette fonction dérivée est notée f '. Séquence 4 – MA12 17 © Cned - Académie en ligne Exemple 9 Dans l’activité 2, on a montré que la fonction cube est dérivable sur et, en notant f la fonction cube, la fonction dérivée de la fonction cube est définie sur par f '( x ) = 3x 2. De même, dans l’activité 3, on a montré que la fonction inverse est dérivable sur −∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ et, en notant f la fonction inverse, la fonction dérivée de −1 la fonction inverse est définie sur −∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ par f '( x ) = . x2 2. Fonctions dérivées des fonctions de référence Propriété 2 : Résultats à connaître parfaitement Fonctions Fonctions dérivées Les fonctions constantes f :→ x →k Les fonctions constantes sont définies et f ': → dérivables sur . x →0 Les fonctions affines f :→ x → mx + p Les fonctions affines sont définies et f ': → dérivables sur . x →m La fonction carré La fonction carré est définie et dérivable f ': → sur . x → 2x f :→ x → x2 Les fonctions puissances : Les fonctions puissances sont définies et f ': → soit n un entier naturel dérivables sur . x → nx n −1 non nul f :→ x → xn La fonction inverse f : * → x→ 1 x La fonction racine carrée f : 0 ; + ∞ → x→ x 18 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 La fonction inverse est définie et dérivable f ': ∗ → sur −∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ . −1 x→ x2 La fonction racine carrée est définie f ': 0 ; + ∞ → sur 0 ; + ∞ et dérivable seulement sur 1 x→ 0 ; + ∞ . 2 x Attention : la fonction racine carrée est définie en 0 mais n’est pas dérivable en 0. Remarque 1 La fonction valeur absolue n’apparaît pas dans ce tableau. On a vu que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0, et d’ailleurs, si on rencontre une valeur absolue, il est souvent plus commode de travailler sans la valeur absolue en distinguant les deux cas suivant que la quantité dont on prend la valeur absolue est positive ou négative. En Première S, pour la dérivation, on restera dans des situations simples, sans valeur absolue. Remarque 2 On a expliqué plus haut le changement de notation du nom de la variable. Mais ici, dans les démonstrations qui suivent, on utilise la définition 2 et on revient à la notation a pour retrouver, dans ces calculs un peu désagréables, les quantités familières a+h, f(a+h)… dans le taux d’accroissement. Démonstration Les fonctions constantes Voir ci-dessous, car les fonctions constantes sont des cas particuliers des fonctions affines, avec m = 0. Les fonctions affines Soit f une fonction affine, elle est définie sur , et on a f ( x ) = mx + p , où m et p sont des constantes. On sait que la courbe Cf représentative de la fonction f est une droite, donc, bien sûr, cette courbe Cf admet une tangente en tout point d’abscisse a, quelque soit le nombre réel a : elle est sa propre tangente ! Et comme le cœfficient directeur de la droite Cf d’équation y = mx + p est le nombre m on peut en déduire que la fonction affine f est dérivable en a, quel que soit le nombre réel a, et que f '(a ) = m. Autre point de vue : on peut raisonner en utilisant le taux d’accroissement et la définition 2. Pour la fonction affine f, on a donc pour tout h ≠ 0 : f (a + h ) − f (a ) m(a + h ) + p − (ma + p ) mh = = = m et donc, bien sûr, puisque ce h h h quotient est égal au nombre constant m, on a aussi : f (a + h ) − f (a ) lim = lim m = m. h h →0 h →0 Donc la fonction affine f est dérivable en a pour tout réel a, et f '(a ) = m. La fonction carré Le résultat est démontré dans le corrigé de l’activité 1. Les fonctions puissances Le résultat a été démontré pour n = 2 et n = 3 dans les activités 1 et 2. En Première S, on admet le résultat pour les autres valeurs de n. La fonction inverse Le résultat est démontré dans le corrigé de l’activité 3. Séquence 4 – MA12 19 © Cned - Académie en ligne La fonction racine carrée Soit g la fonction racine carrée, définie sur 0 ; + ∞ par g ( x ) = x . Soit a un nombre réel strictement positif. On écrit le taux d’accroissement et on le transforme en utilisant la quantité conjuguée du numérateur (voir dans la partie 1 de la Séquence 1). Pour tout h ≠ 0 on a : g (a + h ) − g (a ) a +h − a = = h h = h ( (a + h ) − a a +h + a ( a +h − a h ) = ( )( a +h + a a +h + a 1 a +h + a ) ) . C’est ici que la condition a ≠ 0 doit être réalisée car elle est indispensable pour obtenir un nombre réel en prenant la limite quand h tend vers 0. f (a + h ) − f (a ) 1 1 . = lim = h h →0 h →0 a + h + a 2 a Donc la fonction racine est dérivable en a quelque soit a réel strictement positif 1 f '(a ) = . 2 a Donc : lim Exemple 10 La fonction affine f définie sur par f ( x ) = 3x − 8 est dérivable sur et sa fonction dérivée f ' est définie sur par f '( x ) = 3. La fonction affine f définie sur par f ( x ) = −5x + 3 est dérivable sur et sa fonction dérivée f ' est définie sur par f '( x ) = −5. fonction puissance 5, notée f, définie sur par f ( x ) = x 5 est dérivable sur et sa fonction dérivée f ' est définie sur par f '( x ) = 5x 4 . La Commentaire C Exercice 8 Dans le chapitre suivant, les théorèmes sur les opérations permettront de déterminer les fonctions dérivées de très nombreuses fonctions fabriquées à partir des fonctions de référence. Exercices d’apprentissage On considère la fonction puissance 7, définie et dérivable sur . Quel est son nombre dérivé en 1 ? en 3 ? en 0 ? en −1? On considère la fonction inverse, définie et dérivable sur −∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ . Quel est son nombre dérivé en 1 ? en 3 ? en −1? en −5 ? 20 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 On considère la fonction racine carrée définie sur 0 ; + ∞ et dérivable sur 0 ; + ∞ . Quel est son nombre dérivé en 1 ? en 3 ? en 0,25 ? en 0,49 ? Exercice 9 Démontrer la propriété obtenue avec les représentations graphiques dans la question de l’exercice 7 du chapitre 2. Exercice 10 Soit (C) la courbe représentative de la fonction carré dans un repère orthogonal. Déterminer le(s) point(s) où la tangente (T) à la courbe (C) est parallèle à la droite (D) d’équation y = 4 x + 5. Même question avec la droite (∆) d’équation y = − x + 3. Faire une figure où l’on placera la courbe (C), les droites (D) et ( ∆ ), et les tangentes trouvées aux questions précédentes. Exercice 11 Soit (C) la courbe représentative de la fonction inverse dans un repère orthogonal. Déterminer le(s) point(s) où la tangente (T) à la courbe (C) est parallèle à la droite (D) d’équation y = −0, 25x + 3. Même question en remplaçant (D) par la droite ()) tangente à la parabole d’équation y = x 2 au point d’abscisse −1. Faire une figure où l’on placera la courbe (C), les droites (D) et ()), et les tangentes trouvées aux questions précédentes. Séquence 4 – MA12 21 © Cned - Académie en ligne 4 A Dérivation : opérations sur les fonctions Activités 1. Activité 1 On considère les fonction u et v définies sur par u ( x ) = 5x + 1 et v ( x ) = x 2. On a vu précédemment que les fonctions u et v sont dérivables sur . Donner les valeurs de u '( 3) et v '( 3). On appelle f la fonction, définie sur , égale à la somme des deux fonctions u et v : f = u + v . En utilisant le taux d’accroissement de la fonction f en a et la définition 2, démontrer que la fonction f est dérivable en a = 3. Quelle est la valeur de f '( 3) ? Qu’observe-t-on ? Généralisation : démontrer, en utilisant la définition 2, que la propriété observée à la question est vraie pour toute fonction f telle que f = u + v , quelles que soient les fonctions u et v, et quelque soit le nombre réel a où les deux fonctions u et v sont dérivables. 2. Activité 2 On considère les fonctions u et v définies sur par u ( x ) = 5x et v ( x ) = 0, 2x . On a vu précédemment que les fonctions affines u et v sont dérivables sur . Donner les valeurs de u '( 3) et v '( 3). On appelle f la fonction, définie sur 0 ; + ∞ , égale au produit des deux fonctions u et v : f = uv . Quelle est la valeur de f '( 3) ? Qu’observe-t-on ? B Cours 1. Opérations On connaît depuis le chapitre précédent les fonctions dérivées des fonctions de référence. À partir des fonctions de référence on peut fabriquer d’autres fonctions par addition, multiplication, quotient comme on l’a vu dans partie 2 de la Séquence 2. 22 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 Dans l’activité 1, on a vu que pour un exemple de fonction définie par une addition tout se passe simplement, on a même démontré que cette propriété est générale. L’activité 2 a montré que, malheureusement, ce n’est pas aussi simple pour les produits. Et, de même, la fonction dérivée de la fonction inverse montre que les inverses, et donc les quotients, ne se dériveront pas aussi aisément que les sommes. Nous allons donner ici, puis démontrer, les formules qui permettent d’obtenir les fonctions dérivées lorsqu’on utilise des opérations. Propriété 3 : Résultats à connaître parfaitement Ces résultats sont établis, bien sûr, là où les fonctions u et v sont définies et dérivables, et là où le dénominateur ne s’annule pas pour les deux derniers cas. Démonstration Somme Fonction Fonction dérivée u +v (u + v )' = u '+ v ' ku , k constante réelle (ku )' = ku ' uv (uv )' = u 'v + uv ' u2 (u 2 )' = 2u 'u 1 u 1 −u ' u = 2 u u v u u 'v − uv ' v = v2 ' ' : voir le corrigé de l’activité1. Produit d’une fonction par un réel constant On considère une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I et soit a un nombre de l’intervalle I. Soit k un nombre réel. On appelle f la fonction, définie sur I, égale au produit ku : f = ku . Pour étudier la dérivabilité de la fonction f en a on calcule le taux f (a + h ) − f (a ) d’accroissement et on en cherche la limite éventuelle quand h h tend vers 0. Séquence 4 – MA12 23 © Cned - Académie en ligne On a : f (a + h ) − f (a ) (ku )(a + h ) − (ku )(a ) = h h k (u (a + h ) − u (a )) = h u (a + h ) − u (a ) =k . h ) ) Attention, l’écriture (ku (a + h n’est pas l’écriture d’un produit. C’est l’écriture de l’image du nombre (a + h par la fonction (ku . ) ) u (a + h ) − u (a ) f (a + h ) − f (a ) = u '(a ), donc lim = ku '(a ). h h h →0 h →0 Donc la fonction f = ku est dérivable en a et f '(a ) = ku '(a ). On sait que lim Cette propriété est vraie pour tout a de l’intervalle I et f = ku , on obtient donc : (ku ' = ku '. ) Produit de deux fonctions On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I et soit a un nombre de l’intervalle I. On appelle f la fonction, définie sur I, égale au produit des deux fonctions u et v : f = uv . Pour étudier la dérivabilité de la fonction f en a on calcule le taux d’accroissement f (a + h ) − f (a ) et on en cherche la limite éventuelle quand h tend vers 0. h f (a + h ) − f (a ) (uv )(a + h ) − (uv )(a ) = h h u (a + h ) × v (a + h ) − u (a ) × v (a ) = . h u (a + h ) − u (a ) v (a + h ) − v (a ) = u '(a ) et que lim = v '(a ). On sait que lim h h h →0 h →0 On a : f (a + h ) − f (a ) h on soustrait et on ajoute la quantité u (a ) × v (a + h ) au numérateur, ce qui n’en change pas la valeur. On obtient : Pour pouvoir faire intervenir ces deux quotients dans le calcul de f (a + h ) − f (a ) u (a + h ) × v (a + h ) − u (a ) × v (a + h ) + u (a ) × v (a + h ) − u (a ) × v (a ) = h h u (a + h ) − u (a ) v (a + h ) − v (a ) v (a + h ) + u (a ) = . h h On connaît la limite de chaque quotient et on a aussi lim v (a + h ) = v (a ), donc h →0 f (a + h ) − f (a ) lim = u '(a )v (a ) + u (a )v '(a ). h h →0 Donc la fonction f est dérivable en a et f '(a ) = u '(a )v (a ) + u (a )v '(a ). Cette propriété est vraie pour tout a de l’intervalle I et f = uv , on obtient donc : (uv )' = u 'v + uv '. 24 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 Carré d’une fonction On utilise le résultat précédent lorsque les fonctions u et v sont les mêmes, on 2 obtient (u )‘= 2u 'u . Inverse On considère une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I et soit a un nombre de l’intervalle I, on suppose de plus que u (a ) ≠ 0. 1 On appelle f la fonction, définie en a, égale à l’inverse de u : f = . u Pour étudier la dérivabilité de la fonction f en a, on calcule le taux d’accroissement f (a + h ) − f (a ) et on en cherche la limite éventuelle quand h tend vers 0. h 1 1 − On a : f (a + h ) − f (a ) u (a + h ) u (a ) = h h u (a ) − u (a + h ) u (a + h ) × u (a ) = h u (a ) − u (a + h ) 1 = × u (a + h ) × u (a ) h u (a ) − u (a + h ) 1 = × . h u (a + h ) × u (a ) u (a + h ) − u (a ) u (a ) − u (a + h ) = u '(a ), on a lim = −u '(a ) ; et, h h h →0 h →0 2 pour le deuxième quotient, on a lim u (a + h ) × u (a ) = (u (a )) . On obtient donc Comme lim f (a + h ) − f (a ) −u '(a ) lim . = 2 h h →0 (u (a )) h →0 Donc la fonction f est dérivable en a et f '(a ) = −u '(a ) (u (a )) 2 . Cette propriété est vraie pour tout a de l’intervalle I où u est dérivable et à valeurs ‘ 1 −u ' 1 non nulles, or f = , on obtient donc : = . u u u2 Quotient On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I, la fonction v ne s’annulant pas. On appelle f la fonction, définie sur I, égale au quotient des deux fonctions u et u v:f = . v Pour étudier la fonction dérivée de la fonction f, on utilise les résultats précédents. 1 En effet, la fonction f peut s’écrire sous la forme d’un produit : f = u × . v Séquence 4 – MA12 25 © Cned - Académie en ligne ' 1 1 Comme on sait maintenant dériver un produit, on obtient f ' = u '× + u . v v 1 -v' On sait aussi dériver une fonction inverse donc : f ' = u '× + u × . v v2 u 'v − uv ' . Et finalement : f ' = v2 Exemple 11 Voici six fonctions pour commencer à utiliser ces formules. Pour chaque fonction suivante, donner l’ensemble de définition de la fonction dérivée et son expression. La fonction f est définie sur par f ( x ) = −5x 8 . La fonction g est définie sur par g ( x ) = −5x 8 + 3x 2 − 2. La fonction h est définie sur par h ( x ) = 1 . x2 + x +1 La fonction k est définie sur l’intervalle I = 2 ; + ∞ par k ( x ) = 2x + 1 . 3x − 6 La fonction m est définie sur 0 ; + ∞ par m (x ) = ( 2x + 1) x . La fonction p est définie sur par p (x ) = (3x + 1)4 . Solution On considère la fonction f définie sur par f (x ) = −5x 8 . On peut écrire la fonction f sous la forme f = ku , k étant égal à −5 et u étant la fonction puissance 8, dérivable sur telle que u '(x ) = 8x 7 . La fonction f est donc dérivable sur ) et (ku ' = ku ', donc f '(x ) = − 5 × 8x 7 , f '(x ) = −40x 7 . Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = −5x 8 + 3x 2 − 2. Cette fonction g est la somme de trois fonctions dérivables sur : la fonction f, la fonction définie par x → 3x 2 qui a pour fonction dérivée x → 3 × 2x et une fonction constante dont la dérivée est nulle. La fonction g est donc dérivable sur et on obtient g '( x ) en faisant la somme des dérivées g '( x ) = −40 x 7 + 3 × 2x + 0, soit g '( x ) = −40 x 7 + 6 x . Soit h la fonction définie sur par h ( x ) = 1 (on peut définir la x + x +1 fonction h sur car le polynôme x 2 + x + 1 ne s’annule jamais, son discriminant 2 valant −3). 1 On peut écrire la fonction h sous la forme h = , la fonction u étant définie u sur par u ( x ) = x 2 + x + 1. Comme la fonction g précédente, la fonction u est 26 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 dérivable sur et u '( x ) = 2x + 1. La fonction h, qui est l’inverse de la fonction u, est dérivable lorsque la fonction u ne s’annule pas et est dérivable, donc la −u '( x ) −(2x + 1) fonction h est dérivable sur et h '( x ) = , soit h '( x ) = . 2 2 2 u ( x ) x + x +1 ) ( Soit k la fonction définie sur l’intervalle I = 2 ; + ∞ par k ( x ) = 2x + 1 . 3x − 6 u On peut écrire la fonction k sous la forme k = , u et v étant les fonctions affines v définies sur l’intervalle I par u ( x ) = 2x + 1et v ( x ) = 3x − 6. Ces fonctions u et v sont dérivables sur leur intervalle de définition et on a : u '( x ) = 2 et v '( x ) = 3. La fonction v ne s’annule pas sur I. u 'v − uv ' , La fonction k est donc dérivable sur l’intervalle I et k ' = 2 v u '( x )v ( x ) − u ( x )v '( x ) , c’est-à-dire donc, pour tout x de I, on a : k '( x ) = 2 v ( x ) k '( x ) = 2( 3x − 6 ) − 3(2x + 1) 2 ( 3x − 6 ) , donc k '( x ) = −15 ( 3x − 6 )2 . Soit m la fonction définie sur 0 ; + ∞ par m( x ) = ( 2x + 1) x . On peut écrire la fonction m sous la forme m = uv , où u est la fonction affine définie sur 0 ; + ∞ par u ( x ) = 2x + 1et v est la fonction racine carrée. La fonction u est dérivable partout et u '( x ) = 2, la fonction racine carrée n’est 1 . dérivable que sur 0 ; + ∞ et sa dérivée est telle que v '( x ) = 2 x ) Donc la fonction produit m est dérivable sur 0 ; + ∞ et m ' = (uv ' = u 'v + uv '. Pour tout réel x de 0 ; + ∞ , on a m '( x ) = u '( x )v ( x ) + u ( x )v '( x ), 2x + 1 m '( x ) = 2 x + . 2 x soit Soit p la fonction définie sur par p ( x ) = ( 3x + 1)4 . On peut écrire la fonction p sous la forme p = u 2 , où u est la fonction définie sur )2 par u ( x ) = ( 3x + 1 . La fonction u est dérivable sur comme carré d’une fonction et on a u '( x ) = 2 × 3 × ( 3x + 1 . ) Donc la fonction p est dérivable sur et p '( x ) = 2 × 6( 3x + 1) × ( 3x + 1)2 , soit p '( x ) = 12( 3x + 1)3 . Séquence 4 – MA12 27 © Cned - Académie en ligne Remarque On a très peu transformé les expressions qui ont été obtenues par les formules des dérivées. En effet, il n’y a pas de raison de transformer une expression lorsqu’on ne sait pas à quoi elle va servir (ici il s’agit simplement de s’entraîner à appliquer les formules des opérations sur les dérivées). 2. Polynômes et fonctions rationnelles Les fonctions polynômes sont construites par additions et multiplications à partir des fonctions puissances et des constantes. Les fonctions rationnelles sont les fonctions obtenues en faisant des quotients de fonctions polynômes. Tous les résultats résumés dans le tableau précédent prouvent la propriété 4. Propriété 4 Toute fonction polynôme est dérivable sur . Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. Exemple 13 Les fonctions f , g et p de l’exemple 11 sont des fonctions polynômes, elles sont dérivables sur . Les fonctions h et k sont des fonctions rationnelles, elles sont dérivables chacune sur son ensemble de définition. Remarque C Remarque 1 Les résultats sur les opérations permettent de calculer les fonctions dérivées de toutes les fonctions polynômes et de toutes les fonctions rationnelles. Exercices d’apprentissage Il s’agit ici d’exercices d’apprentissage des formules de dérivation. Il est inutile pour l’instant de transformer l’expression obtenue pour une fonction dérivée. Des transformations seront souvent nécessaires quand on utilisera la fonction dérivée et ces transformations dépendront du but recherché (pour l’étude d’un signe par exemple, factoriser est souvent plus efficace que développer). Remarque 2 28 © Cned - Académie en ligne Des calculatrices et des logiciels peuvent calculer des nombres dérivés et certain(e)s donnent même l’expression des fonctions dérivées. Il est cependant indispensable de savoir faire ces calculs en utilisant les fonctions de référence et les théorèmes sur les opérations. Séquence 4 – MA12 Exercice 12 Dans chaque cas, on donne une fonction f définie sur un intervalle I. Dans chaque cas, dire si la fonction f est dérivable sur I et donner l’expression de f '( x ). f (x ) = 7 2 , I = − ; + ∞ 3x + 7 3 f ( x ) = −3x 5 + 4 x 4 − 7x 2 + 3, I = . f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 4 , I = 0 ; + ∞ . x f ( x ) = 3 x + 2x , I = 0 ; + ∞ . f ( x ) = x x + 2x , I = 0 ; + ∞ . f (x ) = f (x ) = Exercice 13 x3 −1 x2 +1 , I = . x 5 − , I = 0 ; + ∞ . 5 x Mêmes questions qu’à l’exercice 12. f (x ) = 1 −3 , I = ; + ∞ . 2x − 1 2 f (x ) = 1 + x − 2, I = 0 ; + ∞ . x f (x ) = 1 − 3 , I = 0 ; + ∞ . 2x f (x ) = 2x − 1 , I = −3 ; + ∞ . x +3 f ( x ) = ( 3x − 1)2 , I = . 2 1 f ( x ) = 1+ , I = 0 ; + ∞ . x Exercice 14 Dans chaque cas, on donne l’expression d’une fonction f et son ensemble de définition. Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe Cf , représentant la fonction f, au point d’abscisse a. f ( x ) = x 2 − 2x sur , a = 1. Séquence 4 – MA12 29 © Cned - Académie en ligne f (x ) = 1 sur −1; + ∞ , a = 0. x +1 f ( x ) = x 3 sur , a = 5. f (x ) = x sur 0 ; +∞ , a = 3. f ( x ) = ( 3x − 1)2 sur , a = 0. f (x ) = 30 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 x2 + x +1 sur 2 ; + ∞ , a = 4. x −2 5 Premières applications de la dérivation Dans ces premières applications, il va s’agir d’un exemple d’utilisation des approximations affines, et d’un exemple d’application en physique. A Activités 1. Activité 1 Dans cette activité, on va utiliser une méthode qui permet de trouver des valeurs approchées pour une fonction f dont on ne connaît pas l’expression, mais pour laquelle on a seulement une valeur et des informations sur sa fonction dérivée. Avec un tableur, on va déterminer des valeurs approchées de f ( x ) de proche en proche en utilisant systématiquement l’approximation f (a + h ) ≈ f (a ) + f '(a ) × h. On admet l’existence d’une fonction f définie sur [1 ; 4] telle que f (1) = 0 et f '( x ) = x . Entrer la lettre x dans la cellule A1 puis 1, la première valeur de x, dans la cellule A2. Faire apparaître, dans les cellules de la colonne A, les valeurs 1 à 4 avec le pas h tel que h = 0, 5. Entrer « valeur approchée de f (x) » dans la cellule B1, puis 0, c’est-à-dire f (1) dans la cellule B2. La formule d’approximation affine donne ici : f (1+ 0, 5) ≈ f (1) + f '(1) × 0, 5 ou f (1+ 0, 5) ≈ f (1) + 0, 5 × 1. Dans la cellule B3, où on veut obtenir une valeur approchée de f (1,5), on rentre donc B2+0,5*RACINE(A2). Compléter la colonne B en recopiant la formule de la cellule B3 pour avoir les autres valeurs approchées. Le diagramme suivant a été fait avec le tableur OpenOffice. Pour cela, après avoir sélectionné la plage des huit cellules qui apparaissent ici, on a choisi Diagramme, puis successivement : Le type de diagramme : Ligne, puis le deuxième choix qui s’appelle Points et Lignes, puis après « suivant » on a coché : Première colonne comme étiquette et enfin on a cliqué sur Terminer. On obtient ainsi des points ayant pour abscisses (étiquette) les nombres de la première colonne, la colonne A, et pour ordonnées les valeurs correspondantes de la colonne B. Le choix Points et Lignes permet de voir les points obtenus et les segments de droites qui les joignent. Séquence 4 – MA12 31 © Cned - Académie en ligne Faire le diagramme complet en sélectionnant la plage des cellules à partir de A2 jusqu’à la dernière cellule remplie de la colonne B et faire un diagramme analogue au diagramme ci-contre, en choisissant Lignes au lieu de Points et Lignes pour une meilleure lisibilité. On admet que la fonction f est la fonction définie sur [0 ; 4] par 2 f ( x ) = ( x x − 1) (on peut vérifier la valeur de f (1) et l’expression de f '( x )). 3 2 Sur la feuille de calcul, écrire « valeur de ( x x − 1) » dans la cellule C1, dans 3 C2 calculer la valeur donnée par cette formule pour x = 1(1 est dans la cellule A2), puis compléter la colonne C en recopiant. Faire un diagramme analogue au précédent en sélectionnant toutes les cellules remplies des colonnes A, B et C. Deux courbes doivent s’afficher : la courbe obtenue en joignant les points correspondants aux valeurs approchées et 2 la courbe obtenue avec les valeurs données par la formule f ( x ) = ( x x − 1). 3 Qu’observe-ton ? 2. Activité 2 Cette activité montre comment la dérivation peut intervenir en sciences physiques. Une pie (oiseau réputé pour être voleur) est perchée sur un pont et laisse tomber bêtement un objet qu’elle vient de dérober. La chute de l’objet est verticale. La courbe (C) ci-dessous représente, en fonction du temps t (en secondes) écoulé depuis le début de la chute, la distance d (t ) (en mètres) parcourue par l’objet. L’objet est lâché à l’instant t = 0 et la courbe correspond au déroulement de la chute jusqu’au moment où l’objet atteint la rivière. d(t) 100 m 20 m O 32 © Cned - Académie en ligne 0,5 s Séquence 4 – MA12 1s 2s 3s 4s 5 s (t) Quelle est la durée de la chute ? De quelle hauteur par rapport à la rivière l’oiseau a-t-il lâché l’objet ? À quelle vitesse moyenne l’objet tombe-t-il ? La courbe (C) est en fait la représentation graphique de la fonction d définie par d (t ) = 4 , 9t 2 sur [0 ; 5]. Quelle est la vitesse moyenne de l’objet entre les instants t = 2 et t = 2,1 ? entre t = 2 et t = 2, 01 ? entre t = 2 et t = 2, 001 ? Comment peut-on définir la vitesse instantanée de l’objet à l’instant t = 2 ? Quelle est la vitesse instantanée de l’objet quand il atteint la rivière ? B Cours 1. Approximations affines : méthode d’Euler La méthode qui a été utilisée dans l’activité 1, s’appelle la méthode d’Euler (mathématicien suisse 1707-1783). On applique cette méthode pour déterminer des valeurs approchées d’une fonction f pour laquelle on connaît seulement l’image d’un nombre et l’expression de la fonction dérivée en fonction de la variable. Graphiquement, cela correspond à remplacer la courbe représentative de la fonction f par des segments de droites (tangentes ou parallèles à des tangentes) et pour les calculs à utiliser l’approximation f (a + h ) ≈ f (a ) + f '(a ) × h. On a repris l’exemple de l’activité 1 pour illustrer cette méthode, le repère n’est pas orthonormé pour mieux voir et comprendre les approximations. Première étape On calcule l’ordonnée du point de la tangente en A qui a pour abscisse a + h. f(1)=0 O y= f(x) B f(1,5) y1= f(1)+f’(1) 0,5 M1 On appelle ce point M1, son ordonnée y 1 est donc une valeur approchée de f (a + h ). Le point M1 est un point approché du point B de la courbe, d’abscisse a + h. A a=1 a+h=1,5 2 tangente en A Séquence 4 – MA12 33 © Cned - Académie en ligne Deuxième étape À partir du point M1 on trace une droite parallèle à la tangente en B (B est le vrai point de la courbe, on ne le connaît pas mais on connaît le cœfficient directeur de la tangente en B, c’est f '(1, 5), soit f '(a + h )) . Pour notre exemple, cette droite passe par le point M1 (d’abscisse 1,5) et son cœfficient directeur est f '(1, 5), donc le point M2 d’abscisse 2 a pour ordonnée y 2 avec y 2 = y 1 + f '(1, 5) × (2 − 1, 5), d’où y 2 = y 1 + f '(1, 5) × 0, 5. y= f(x) C f(2) y2= y1+f’(1,5)x0,5 M2 1 Droite (M1M2) cœfficient directeur égal à celui de la tangente en B : f’(1,5) f’(1,5)x0,5 B f(1,5) y1= f(1)+f’(1)x0,5 M1 f’(1)x0,5 f(1)=0 O A a=1 a+h=1,5 a+2h=2 tangente en A cœfficient directeur : f’(1) Le nombre y 2 est une valeur approchée de f (2), soit f (a + 2h ). On continue de la même façon (c’est pourquoi on a utilisé la fonctionnalité de recopie dans le tableur). La ligne polygonale AM1M2M3… est une courbe approchée de la courbe représentative de f. La figure suivante est la même que la précédente, mais les légendes concernent uniquement le cas général. y= f(x) C f(a+2h) y2= y1+f’(a+h)xh M2 1 Droite (M1M2) cœfficient directeur égal à celui de la tangente en B : f’(a+h) f’(a+h)xh B f(a+h) y1= f(a)+f’(a)xh h M1 f ’(a)xh f(1)=0 O A a a+h a+2h tangente en A cœfficient directeur : f’(a) Commentaire 34 © Cned - Académie en ligne Cette méthode sera revue plus loin dans le cours, une autre notion en permettant alors une présentation plus complète. Vous pourrez donc l’assimiler petit à petit. Séquence 4 – MA12 2. Vitesse instantanée Si d (t ) est la distance parcourue par un mobile de l’instant 0 à l’instant t, alors la vitesse moyenne de celui-ci, entre les instants t et t + h , est égale à : vmoyenne = distance parcourue d (t + h ) − d (t ) = . durée du parcours h On a retrouvé le taux d’accroissement de la fonction d entre t et t + h , ce qui permet de passer à la définition suivante. Définition 6 Si d (t ) est la distance parcourue par un mobile de l’instant 0 à l’instant t, alors la vitesse instantanée de celui-ci à l’instant t est le nombre v (t ) d (t + h ) − d (t ) , soit v (t ) = d '(t ). h h →0 défini par : v (t ) = lim Généralisation Tout phénomène physique où une grandeur varie en fonction du temps peut amener à considérer des vitesses moyennes, des vitesses instantanées et donc à introduire des fonctions dérivées. On peut généraliser encore à des phénomènes physiques où une grandeur dépend d’une autre (qui n’est plus le temps). Là encore on peut étudier les variations moyennes d’une grandeur en fonction des variations de l’autre, et on aboutit à des « variations instantanées » qui sont des dérivées. C Exercice 15 Exercices d’apprentissage On admet qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur 0 ; + ∞ telle que 1 f (1) = 0 et f '( x ) = pour tout réel x strictement positif. x Sur un tableur, appliquer la méthode d’Euler en utilisant le pas h tel que h = 0,1 et donner une valeur approchée de f (2). Modifier la feuille de calcul pour pouvoir choisir la valeur de h. Donner de nouveau une valeur approchée de f ( 2), en utilisant h = 0, 01 puis h = 0, 001. Exercice 16 Une voiture se déplace sur une route. Elle démarre à l’instant t = 0 et la distance d (t ) (en km) parcourue par le véhicule à l’instant t (en heure) est telle que d (t ) = −120t 3 + 180t 2 avec t ∈0 ; 1 . Séquence 4 – MA12 35 © Cned - Académie en ligne Déterminer la distance parcourue au bout d’une heure, d’une demi-heure, de 10 minutes. Exprimer, en fonction de t, la vitesse instantanée v (t ) du véhicule à l’instant t. Déterminer la vitesse instantanée du véhicule à l’instant du départ, au bout de 1 heure, 30 minutes, 10 minutes ? Quelle est la vitesse maximum atteinte par le véhicule ? 36 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 6 Synthèse de la partie 1 de la séquence Définitions et propriétés fondamentales A Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a + h (h ≠ 0 ) deux éléments de l’intervalle I. Le quotient f (a + h ) − f (a ) est appelé taux d’accroissement de la fonction f entre a et a + h. h Définition 2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I. f (a + h ) − f (a ) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 on dit h que la fonction f est dérivable en a. Si le taux d’accroissement Le nombre réel qui est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0 est appelé le f (a + h ) − f (a ) nombre dérivé de la fonction f en a, on le note f '(a ) : lim = f '(a ). h h →0 Définition 3 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a, a étant un nombre réel appartenant à l’intervalle I. La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point de la courbe de coordonnées (a ; f (a )) et ayant pour cœfficient directeur f '(a ), le nombre dérivé en a. Propriété 1 A j 0 i a Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a, a étant un nombre réel appartenant à l’intervalle I. La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite qui a pour équation y = f '(a )( x − a ) + f (a ). Séquence 4 – MA12 37 © Cned - Académie en ligne Définition 4 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I. Si la fonction f est dérivable en a, on dit que la fonction affine x → f '(a )( x − a ) + f (a ) est l’approximation affine de f en a. Remarque B On a ainsi un moyen pour calculer des valeurs approchées de certaines images : f ( x ) ≈ f '(a )( x − a ) + f (a ) ou, en posant x = a + h , f (a + h ) f (a ) + f '(a ) × h. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence Définition 5 On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I si f est définie sur I et dérivable en tout point de l’intervalle I. La fonction, définie sur l’intervalle I et à valeurs dans , qui à tout réel x de l’intervalle I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f ; cette fonction dérivée est notée f '. Propriété 2 : Résultats à connaître parfaitement Fonctions Les fonctions constantes f :→ x →k Les fonctions constantes sont définies et f ': → dérivables sur . x →0 Les fonctions affines f :→ x → mx + p Les fonctions affines sont définies et f ': → dérivables sur . x →m La fonction carré La fonction carré est définie et dérivable f ': → sur . x → 2x f :→ x → x2 38 © Cned - Académie en ligne Fonctions dérivées Séquence 4 – MA12 Propriété 2 : Résultats à connaître parfaitement (suite) Fonctions Fonctions dérivées Les fonctions puissances : Les fonctions puissances sont définies et f ': → soit n un entier naturel dérivables sur . x → nx n −1 non nul f :→ x → xn La fonction inverse est définie et dérivable f ': ∗ → sur −∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ . −1 x→ x2 La fonction inverse f : * → x→ 1 x La fonction racine carrée f : 0 ; + ∞ → x→ x C La fonction racine carrée est définie sur f ': 0 ; + ∞ → 0 ; + ∞ et dérivable seulement sur 1 x→ 0 ; + ∞ . 2 x Attention : la fonction racine carrée est définie en 0 mais n’est pas dérivable en 0. Dérivation : opérations sur les fonctions Propriété 3 : Résultats à connaître parfaitement Ces résultats sont établis, bien sûr, là où les fonctions u et v sont définies et dérivables, et là où le dénominateur ne s’annule pas pour les deux derniers cas. Fonction Fonction dérivée u +v (u + v )' = u '+ v ' ku , k constante réelle (ku )' = ku ' uv (uv )' = u 'v + uv ' u2 (u 2 )' = 2u 'u 1 u 1 −u ' u = 2 u u v u u 'v − uv ' v = v2 ' ' Séquence 4 – MA12 39 © Cned - Académie en ligne Propriété 4 Toute fonction polynôme est dérivable sur . Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. D Premières applications de la dérivation Approximations affines : méthode d’Euler On applique cette méthode pour déterminer des valeurs approchées d’une fonction f pour laquelle on connaît seulement l’image d’un nombre et l’expression de la fonction dérivée en fonction de la variable. Graphiquement, cela correspond à remplacer la courbe représentative de la fonction f par des segments de droites (parallèles à des tangentes) et pour les calculs à utiliser l’approximation f (a + h ) ≈ f (a ) + f '(a ) × h. Vitesse instantanée Définition 6 Si d (t ) est la distance parcourue par un mobile à l’instant t, alors la vitesse instantanée de celui-ci à l’instant t est le nombre v (t ) défini par : d (t + h ) − d (t ) v (t ) = lim , soit v (t ) = d '(t ). h h →0 40 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 7 Exercice I Première étape Exercices d’approfondissement On considère la fonction f, définie sur l’intervalle −16 ; 16 de la façon suivante : f (0 ) = 0 et sa représentation graphique, symétrique par rapport à l’axe (Oy), est expliquée ci-dessous. Voici la représentation graphique sur l’intervalle [8 ; 16]. y y=x j 0 Deuxième étape 8 i 12 16 x On a construit de façon semblable la courbe représentative sur l’intervalle [4 ; 8] (dont l’amplitude est égale à la moitié de l’amplitude de l’intervalle [8 ; 16]) et on a complété par symétrie par rapport à (Oy). y y=–x y=x j -6 -4 0 i 4 6 8 12 16 x Séquence 4 – MA12 41 © Cned - Académie en ligne Construire, de façon semblable, la courbe sur les intervalles [2 ; 4] et [–4 ; –2]. On continue ainsi et la fonction est définie sur −16 ; 16 . Que se passe-t-il pour la courbe si on fait des zooms-agrandissements centrés à l’origine ? Que peut-on alors conjecturer ? Exercice II Dans cet exercice, il s’agit de faire des pliages ! Sur une feuille de papier, dessiner un segment d’une droite (D) et placer un point F, comme dans la figure ci-contre. Choisir un point H sur la droite (D). F (D) H Plier la feuille en superposant le point F et le point H et bien marquer la droite du pliage. Recommencer avec d’autres points H sur la droite (D). Qu’observe-t-on ? Si vous faites cette activité avec un logiciel de géométrie dynamique, que se passe-t-il quand on éloigne le point F de la droite (D) ? Exercice III Soit f la fonction définie sur −1; 1 par f ( x ) = 1− x 2 , et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé. En utilisant la définition, montrer que la fonction f est dérivable en a = 0, 5. Quelle est la valeur de f '(0, 5) ? Soit A le point de la courbe C d’abscisse 0,5. Ecrire l’équation de la tangente f (T) à la courbe Cf au point M. Cette question est un peu différente des autres dans sa forme. On dit qu’elle est « avec prise d’initiative », c’est-à-dire que la démarche de résolution ne vous est pas donnée et que vous devez avoir l’initiative des différentes étapes. Montrer que la courbe Cf est un demi-cercle. Or, pour un cercle, on a déjà employé le mot tangente dans les classes de collège. Montrer que la droite (T) est tangente au demi-cercle au point M, le mot « tangente » étant utilisé ici avec la signification qu’il a en collège. Exercice IV On cherche à construire un toboggan. Son « profil » en coupe doit être une courbe définie sur un intervalle a ; b , la tangente au point d’abscisse a et la tangente au point d’abscisse b étant horizontales. On va former le toboggan en « collant » des parties de deux courbes. On modélise cette situation de la façon suivante. On considère une fonction f définie sur 0 ; 10 par f ( x ) = kx 3 , k étant un nombre réel constant. On considère aussi une fonction g du second degré, définie sur 0 ; 10 et dont le sommet est le point de coordonnées (10 ; 8). 42 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 Écrire l’expression de g ( x ) dans laquelle un des cœfficients reste indéterminé pour l’instant (on choisira la forme la plus adapté : voir la partie 1 de la séquence 3). On pourra « recoller » les courbes si elles ont un point commun et la même tangente en ce point. On souhaite que ce point commun ait pour abscisse 5. Écrire le système de deux équations à deux inconnues traduisant ces conditions (les inconnues sont k et le cœfficient encore indéterminé de la fonction g). Résoudre le système. Faire une figure en traçant seulement la courbe de la fonction f sur 0 ; 5 et la courbe de g sur 5 ; 10 . Séquence 4 – MA12 43 © Cned - Académie en ligne e 2 partie Trigonométrie Sommaire 1. Pré-requis 2. Trigonométrie 3. Synthèse de la partie 2 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 44 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 1 2 Pré-requis A Trigonométrie dans un triangle rectangle 1. Sinus et cosinus d’un angle dans un triangle rectangle C On considère un triangle ABC rectangle en A et on s’intéresse à l’un des angles en B ou en C. et ACB Remarquons tout d’abord que ces deux angles ABC sont nécessairement aigus (et non nuls). Vous avez vu en collège les définitions suivantes. B A Définition est aigu et, on définit le Dans le triangle ABC rectangle en A, l’angle ABC = AC , et le cosinus de cet angle par : sinus de cet angle par : sin ABC BC AB cos ABC = . BC ( ) ( ) Remarques ( ) C’ B ( ) et cos ABC ne dépendent que de l’angle ABC a) Ces deux nombres, sin ABC et non pas du triangle dans lequel on observe cet angle. C et A'BC' qui sont Dans la figure ci-contre, les angles ABC A’ égaux ont même sinus et même cosinus (conséquence du théorème de Thalès). et cos ABC b) Chacun de ces deux nombres, sin ABC caractérise l’angle ABC. A Autrement dit si l’on connaît connaît l’angle ABC. ( ) ( ) ou cos ABC sin( ABC ) ( ) on Vous avez déjà utilisé cette caractéristique en collège ou en seconde lorsque vous avez cherché, à la calculatrice, une valeur approchée d’un angle dont vous aviez calculé le sinus ou le cosinus. Séquence 4 – MA12 45 © Cned - Académie en ligne 왘 Exemple ( ) = 0, 9. A la calculatrice, vous allez calculer une Vous avez calculé que cos ABC en utilisant la fonction « réciproque » de la fonction valeur approchée de ABC cosinus, notée cos−1 sur les TI et Acs sur les Casio, en ayant pris soin de vérifier que la calculatrice est bien réglée en degrés. ) vaut environ 25,842°. On obtient : cos−1( 0, 9 ≈ 25, 842. Donc l’angle ABC ( ) ( ) 2 2 on a toujours : sin ABC + cos ABC = 1. c) Quel que soit l’angle ABC En effet, le triangle ABC étant rectangle en A on a : AB2 + AC2 = BC2 (théorème de Pythagore). 2 2 AB AC AB2 AC2 + = 1, que l’on peut écrire + = 1. Ce qui nous donne : BC BC BC2 BC2 2 2 + sin ABC = 1. On retrouve bien : cos ABC ( ) ( ) 2. Tangente d’un angle dans un triangle rectangle Dans les mêmes conditions que ci-dessus, on a aussi. Définition est aigu et, on définit la Dans le triangle ABC rectangle en A, l’angle ABC = AC . tangente de cet angle par : tan ABC AB ( ) Remarques B ( ) que les remarques a) a) et b) On a les mêmes remarques à propos de tan ABC et cos ABC . et b) à propos de sin ABC ( ) ( ) sin( ABC ) = . c) On a : tan( ABC ) cos( ABC ) Cercle trigonométrique 1. Cercle trigonométrique Ꮿ Définition Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J . ) On appelle cercle trigonométrique le cercle Ꮿ de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. 46 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 I’ J 0 J’ + I Remarques a) Le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé sens positif, l’autre, sens négatif (on dit aussi sens direct et sens indirect). b) Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, il passe par les points I et J. c) Sur le cercle trigonométrique, le trajet le plus court pour aller de I à J est d’y aller dans le sens positif. C’est pour cela que l’on dit que le repère (O, I, J est orthonormé direct. ) 2. Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique Etant donné le cercle trigonométrique Ꮿ de centre O, dans le repère orthonormé direct (O, I, J , on considère la droite (IK tangente à Ꮿ passant par I, K étant le point de coordonnées K (1; 1 . 2 Ꮿ I’ J +K ) x 1 ) –1 Voir graphique ci-contre. ) Ensuite, on « enroule » cette droite réelle (IK sur le cercle trigonométrique (voir graphiques ci-dessous). –2 2 J x M Ꮿ I’ ) La droite (IK représente donc l’ensemble R des nombres réels. y J’ ) Sur cette droite, on considère le repère (I, K , ce qui permet d’établir une graduation. A chaque point de cette droite correspond un nombre réel, et à chaque nombre réel correspond un point de la droite (0 correspond au point I, 1 au point K). 0 I 0 ) 0 K 1 + 2 M Ꮿ 0 I I’ –1 K 1 + 0 N y J’ x J 0 I y –1 J’ –2 Chaque graduation positive de la droite (par exemple x sur les graphiques ci dessus) correspond à un point M du cercle tel que la longueur de l’arc IM, parcouru dans le sens positif, soit égale à x. Séquence 4 – MA12 47 © Cned - Académie en ligne De même, chaque graduation négative (par exemple y sur les graphiques cidessus) correspond à un point N du cercle tel que la longueur de l’arc IN, parcouru dans le sens négatif, soit égale à y (valeur absolue). Bien entendu, lorsque l’on continue à « enrouler » la droite réelle (IK sur le cercle trigonométrique, plusieurs graduations, aussi bien positives que négatives, correspondent au même point. ) N –2 ) 0 I y 0 I’ Par exemple, sur le graphique cicontre, le point P correspondant à la graduation 2 correspond aussi à la graduation ( 2 − 2π . K 1 + M 2–2π Ꮿ x J 2 P –1 J’ En effet, le cercle trigonométrique étant de rayon 1, son périmètre mesure 2π. Puisque P correspond à la graduation 2, l’arc IP, parcouru dans le sens positif, a pour longueur 2. Donc, l’arc IP, parcouru dans le sens négatif, a pour longueur ( 2π − 2 . Le point P correspond donc à la graduation négative ( 2 − 2π , dont ( 2π − 2 est la valeur absolue. ) ) ) Propriété ) Lorsque l’on « enroule » la droite réelle (IK sur le cercle trigonométrique, chaque nombre réel correspond à un seul point du cercle. Par contre chaque point du cercle correspond à une infinité de nombres réels. Remarque Puisqu’il faut faire un tour de cercle complet (dans le sens positif ou dans le sens négatif) pour retomber sur le même point, et puisque le périmètre du cercle est 2π, un point du cercle (par exemple M sur le graphique ci-dessus) correspondra à des réels dont la différence est un nombre entier de fois 2π. Ainsi, si l’on parcourt le cercle dans le sens positif, le point M correspond aux réels x, ( x + 2π , ( x + 4π , ( x + 6π , … etc. ) ) ) Si l’on parcourt le cercle dans le sens négatif, le point M correspond aussi aux réels ( x − 2π , ( x − 4π , ( x − 6π , … etc. ) ) ) ) ) De la même façon, le point P correspond aux réels 2, ( 2 + 2π , ( 2 + 4 π , (2 + 6π , … etc. et (2 − 2π , (2 − 4 π , (2 − 6π , … etc. ) 48 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ) ) C Cosinus et sinus d’un nombre réel 1. Cosinus et sinus d’un nombre réel Après avoir « enroulé » la droite réelle sur le cercle trigonométrique, on sait que chaque nombre réel x correspond à un point M du cercle (voir graphique cidessous). Définition 2 ) On appelle cosinus du nombre x, et on note cos ( x , l’abscisse du point M dans le repère (O, I, J . ) sin(x) Ꮿ De même, on appelle sinus du nombre x, et on note sin( x , l’ordonnée du point M dans le repère (O, I, J . ) K Mx + J I’ ) 0 cos(x) (Voir graphique ci-contre). 0 I –1 J’ Remarques a) Puisqu’une infinité de nombres réels correspondent au même point M, tous ces nombres ont le même cosinus et le même sinus. On a par exemple : ) ) ) ) ) sin( x ) = sin( x + 2π ) = sin( x + 18 π ) = sin( x − 2π ) = sin( x − 6 π ). cos ( x = cos ( x + 2π = cos ( x + 18 π = cos ( x − 2π = cos ( x − 6 π . 2P sin(2) Ꮿ I’ K J x + 0 I cos(2) 0 –1 5π — 6 π R I’ 2 ) ) ) Et bien sûr, cos ( 2 + 2π < 0, cos ( 2 + 18 π < 0, ) cos ( 2 − 2π < 0. ) ) Et bien sûr, sin( 2 + 2π > 0, sin( 2 + 18 π > 0, ) π — π J 2 — 3 π — T Q 4π — 6 S 0 0 I J’ ) sin( 2 − 2π > 0. J’ Ꮿ b) Comme certains points du cercle ont des abscisses négatives, ou des ordonnées négatives, certains nombres réels ont des cosinus ou des sinus négatifs. Sur le graphique ci-contre, on voit que cos ( 2 < 0 et sin( 2 > 0. 2. Angles particuliers et réels particuliers Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, son périmètre mesure 2π. Donc le demi-périmètre, c’est-à-dire la longueur de l’arc II', mesure π. Par conséquent le nombre π correspond au point I’ et l’angle vaut 180° (voir ci-contre). IOI' De même, la longueur de l’arc I J (obtenu en se déplaçant dans le sens positif), le quart du périmètre du cercle, mesure –1 π π . Par conséquent le nombre correspond au point J et 2 2 vaut 90°. l’angle IOJ π π π On peut faire de même avec les nombres , ou en divisant le demi3 4 6 Séquence 4 – MA12 49 © Cned - Académie en ligne périmètre par 3, par 4 ou par 6. π vaut 60°. Le nombre correspond au point T et l’angle IOT 3 π vaut 45°. Le nombre correspond au point Q et l’angle IOQ 4 π vaut 30°. Le nombre correspond au point S et l’angle IOS 6 En étendant cette idée on peut aussi associer des angles particuliers aux nombres 2π 3π 5π , ou (point R sur le graphique). 3 4 6 Remarque π 6 Nombre réel x 0 (en degré) Angle IOM 0° π 4 30° 45° π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 60° 90° 120° 135° 150° 180° Plus généralement, si M est un point du cercle trigonométrique, la longueur de est proportionnelle à l’angle IOM. l’arc IM Comme π correspond à un angle de 180°, un nombre positif x compris entre 0 ° 180 et π correspondra à l’angle x . π Réciproquement, un angle de a° compris entre 0° et 180° correspondra au π a. nombre réel 180 3. Cosinus et sinus des nombres compris entre 0 et π 2 2 J Mx sin(x) Ꮿ a° I’ 0 H cos(x) 0 I –1 J’ © Cned - Académie en ligne ) ) ) Appelons H le projeté orthogonal de M sur la droite (OI (voir graphique ci-contre), et notons a la valeur en degré de l’angle IOM. Dans le triangle HOM, rectangle en H, on a : = sin(a ) = HM . = cos(a ) = OH et sin HOM cos HOM OM OM Or OM = 1 puisque c’est le rayon du cercle trigonométrique et OH = cos ( x puisque c’est l’abscisse du point M (abscisse qui est positive). On obtient donc : = cos(a ) = cos ( x = cos x . cos HOM ( 1 ( ) ( ) ( ) 50 π Pour un nombre réel x compris entre 0 et , donc 2 correspondant à un point M situé sur l’arc I J précisé page précédente, regardons à quoi correspondent cos ( x et sin( x . Séquence 4 – MA12 ) ) ) ) De même HM = sin( x puisque c’est l’ordonnée du point M (ordonnée qui est positive). On obtient donc : = sin(a ) = sin( x = sin x . sin HOM ( 1 ) ( ) ) Propriété π Les cosinus et sinus d’un nombre x compris entre 0 et , sont les 2 correspondant. cosinus et sinus de l’angle IOM On a, entre autres, les valeurs suivantes : Nombre réel x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 (en degré) Angle IOM 0° 30° 45° 60° 90° cos ( x = cos IOM ) ( ) 1 3 2 2 2 1 2 0 ) ( ) 0 1 2 2 2 3 2 1 sin( x = sin IOM De plus, pour tout réel x, on a : cos2(x ) + sin2(x ) = 1 Séquence 4 – MA12 51 © Cned - Académie en ligne 1 2 Trigonométrie A Activités 1. De quel côté ? = BDA = 30°. � Construire un triangle équilatéral ABC, et un point D tel que BAD � Que peut-on dire du triangle ACD ? 2. Bissectrice ? = 45° et un point D tel que BAD = 45°. � Construire un triangle ABC tel que BAC ( ) � Que peut-on dire de la droite AB ? Des points A, C et D ? B Cours 1. Cercle trigonométrique et angles orientés. Radian On a vu dans l’activité 1 que, pour éviter certaines ambiguïtés dans les repérages angulaires, il était intéressant, voire indispensable d’orienter les angles. Pour cela, il est nécessaire, lorsque l’on définit un angle, de préciser quel est le premier côté de l’angle, quel est le second côté. Pour ce faire, à l’aide du cercle trigonométrique, nous allons définir des angles orientés dont le premier côté sera le vecteur OI et le second le vecteur OM, M étant un point du cercle. Par exemple, pour les points P et S tels = IOS = 30° on définit les que IOP angles orientés OI, OP et OI, OS (voir graphique ci-contre). ) ( ( 52 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) P ) Si l’on va, sur le cercle trigonométrique, de I à P par le plus court chemin, on voit que l’on tourne dans le sens direct, en décrivant un angle de 30° : on mesurera l’angle OI, OP avec une valeur positive (30°). ( J 0 I’ I S 330° J’ 30° 690° –30° Si l’on va, sur le cercle trigonométrique, de I à S par le plus court chemin, on voit que l’on tourne dans le sens indirect, en décrivant un angle de 30° : on mesurera l’angle OI, OS avec une valeur négative (–30°), ce qui le distingue du précédent. ) ( Mais on peut aussi aller de I à S en tournant dansle sens direct, en décrivant alors un angle de 330° : on mesurera alors l’angle OI, OS avec une valeur positive (330°). ( ) On peut même aller de I à S en tournant dans le sens direct et en décrivant plus d’un tour complet ; on décrit alors un angle de 690° : on mesurera l’angle OI, OS avec une valeur positive (690°). ( ) Et ainsi de suite … On va pouvoir, tout en faisant la distinction entre les angles orientés voit que l’on OI, OP et OI, OS , mesurer chacun d’entre eux avec plusieurs valeurs, positives et négatives. ( ) ( ) En fait on peut même énoncer la propriété suivante. Propriété 1 Chaque angle orienté OI, OM a une infinité de mesures positives (quand on va du premier côté au second en tournant dans le sens direct, et en faisant un certain nombre de tours complets avant de s’arrêter), et une infinité de mesures négatives (de la même façon en tournant dans le sens indirect). ) ( On retrouve, pour les angles orientés OI, OM , une situation analogue à celle que l’on a vue pour le point M lorsque l’on « enroule » la droite réelle sur le cercle trigonométrique : M correspond à une infinité de nombre réels. ) ( Cette analogie fait que l’on peut considérer que les nombres réels sur le cercle trigonométrique mesurent directement les angles orientés de la forme OI, OM : π mesure l’angle plat, OI, OI' , que l’on peut aussi mesurer par 180°, π π mesure l’angle droit direct, OI, OJ , de 90°, − mesure l’angle OI, OS , de 6 2 –30°, etc. ( ) ( ( ) ) ( ) On a ainsi défini une nouvelle unité de mesure des angles orientés que l’on appelle le radian. Définition 1 Le radian est l’unité de mesure des angles orientés telle qu’un angle plat direct mesure π radians. On le note rad. π Par exemple on notera : OI, OJ = 90° = rad. 2 ( ) Séquence 4 – MA12 53 © Cned - Académie en ligne La proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians, due à l’enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, fait que l’on a la propriété suivante. Propriété 2 π Comme π rad = 180 , on a l’égalité 1 = rad, et donc : 180 π a = a rad. 180 ° ° 180 180 x . Réciproquement, 1 rad = , et donc : x rad = π π J Comme on l’a vu en définissant la façon de mesurer les angles orientés, chaque angle orienté OI, OM a une ( M α ) infinité de mesures positives, et une 0 I’ infinité de mesures négatives. Cela reste vrai lorsque l’on mesure les angles en radians. I α+2π α–2π J’ Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté OI, OM est α, on a une ) ( infinité d’autres valeurs possibles pour le mesurer : α + 2π , α + 4 π , α + 6 π , … etc. α − 2π , α − 4 π , α − 6 π , … etc. Lorsque l’on veut donner la mesure en radians d’un angle orienté, en règle générale, on donne la mesure (il n’y en a qu’une) appartenant à l’intervalle − π ; π . On dit que c’est la mesure principale de l’angle. Propriété 3 Un angle orienté de la forme OI, OM a une infinité de mesures en radians. Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté OI, OM est α, les autres mesures sont tous les nombres de la forme α + k 2π avec k ∈. ( Remarques ) ( ) � Lorsqu’on écrit la mesure en radians d’un angle orienté, on omet souvent de préciser « k ∈ » ; il est sous entendu, car « évident », que k est un entier relatif. � De même, on écrit α + 2k π plutôt que α + k 2π , car cela se prononce plus facilement : « deux k pi » au lieu de « k fois deux pi ». � Nous conserverons, la plupart du temps ces notations, mais on trouve aussi d’autres façons d’écrire. 54 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 Au lieu d’écrire OI, OM = α + 2k π avec k ∈, on écrit souvent OI, OM = α (2π ) ou OI, OM = α (mod 2π ), que l’on lit « OI, OM = α à un multiple de 2π près », ou « OI, OM = α à 2π près », ou « OI, OM = α modulo 2π ». Toutes ces écritures veulent dire la même chose : il y a une infinité de mesures d’un angle orienté, et elles diffèrent toutes d’un nombre entier de tours. Ce qui est important c’est de bien se souvenir qu’un angle orienté a une infinité de mesures en radians. Il arrive aussi que l’on omette d’écrire +2k π ou (2π) ou (mod 2π). C’est alors toujours sous-entendu. ( ( ) ( ( ) ) ) ( Définition 2 ( ) ) Parmi toutes les mesures en radians de l’angle orienté OI, OM , on appelle ) ( mesure principale de l’angle celle qui appartient à l’intervalle − π ; π . 2. Angle orienté de vecteurs non nuls. Mesure principale Regardons maintenant comment l’on va étendre cette notion d’angle orienté à deux vecteurs non nuls quelconques du plan. Siles deux vecteurs sont construits à partir du même point, prenons les vecteurs AB et AC, il est assez simple de voir comment l’on va mesurer l’angle qu’ils font. On va « superposer » un cercle trigonométrique sur les deux vecteurs, en faisant coïnciderle centre du cercle et le point commun A, et en faisant en sorte que le vecteur OI du cercle trigonométrique soit colinéaire et de même sens que le premier vecteur de l’angle. Ceci implique, bien entendu, que l’on ait décidé si c’est l’angle AB, AC ou l’angle AC, AB que l’on veut étudier. C’est d’ailleurs l’intérêt de la notion d’angle orienté. Ensuite on détermine le point M du cercle trigonométrique tel que les vecteurs AC et OM soient colinéaires et de même sens (voir figure ci-dessous). On définit alors l’angle orienté AB, AC par l’égalité AB, AC = OI, OM . C’est la même procédure que ce que vous avez déjà fait avec un rapporteur, mais en tenant compte de l’orientation. ) ( ) ( ( ) C C ) ( ( M ) J α B I B A0 A I’ J’ Séquence 4 – MA12 55 © Cned - Académie en ligne Si les deux vecteurs ne sont pas construits à partir du même point, par exemple vecteurs EF et GH, ou s’ils sont définis sans référence à des points, par exemple vecteurs u et v , on construit d’abord, à partir de la même origine, deux vecteurs égaux aux précédents, et on procède comme dans le premier cas (voir le graphique ci-dessous pour mesurer l’angle u , v où AB = u et AC = v ). ( ) C C u M J α v B I B A0 A I’ J’ Bien entendu, comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, une fois déterminée une valeur α de l’angle, on a une infinité d’autres valeurs possibles pour le mesurer : α + 2π , α + 4 π , α + 6 π , … etc. α − 2π , α − 4 π , α − 6 π , … etc. Définition 3 La donnée de deux vecteurs non nuls u et v , dans cet ordre, détermine un angle orienté u , v . On définit les mesures en radians de l’angle orienté u , v en référence au cercle trigonométrique. ( ) ( ) Propriété 4 Un angle orienté u , v a une infinité de mesures en radians. Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté u , v est α, les autres ( ) ( ) mesures sont tous les nombres de la forme α + 2k π avec k ∈. Parmi toutes les mesures en radians de l’angle orienté u , v on appelle mesure principale de l’angle celle qui appartient à l’intervalle − π ; π . ( ) Remarques � Bien souvent, il arrive que l’on confonde une mesure d’un angle orienté et l’angle orienté lui-même. Ce n’est en général pas trop gênant. � Pour mesurer l’angle AB, AC , on admettra que, au lieu de faire pivoter le cercle trigonométrique de façon que le vecteur OI soit colinéaire et de même sens que AB, on peut garder lecercle trigonométrique dans sa position « standard », mesurer l’angle orienté OI, AC , mesurer l’angle orienté OI, AB et le retrancher de l’angle précédent. ( ) ( 56 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ( ) C M I’ Sur le graphique ci-contre, on a OI, AC = β, OI, AB = γ , et AB, AC = β − γ = α. Ceci« marche » quelle que soit la position des vecteurs AB et AC. C’est une conséquence directe de l’orientation des angles, et l’une des raisons pour lesquelles on a introduit cette notion. J α β A 0 ) ( B γ I ( ) ( ) Nous admettrons les propriétés suivantes sur les angles orientés, propriétés faciles à vérifier sur des exemples. J’ Propriété 5 Quels que soient les vecteurs non nuls u , v et w on a : a. u , u = 0 + 2k π et u , − u = π + 2k π ; ( ) ( ) b. (v , u ) = − (u , v ) + 2k π ; c. (u , v ) + (v , w ) = (u , w ) + 2k π ; c’est ce que l’on appelle la relation de Chasles pour les angles orientés ; d. u , − v = −u , v = u , v + π + 2k π. ( Démonstration ) ( ) ( ) a. C’est évident. b. C’est une conséquence immédiate de la notion d’orientation. c. On admettra cette propriété (relation de Chasles) très utile pour les calculs angulaires. d. Cette propriété se démontre facilement avec les précédentes. En effet on a : u , − v = u , v + v , − v d’après la relation de Chasles, et donc u , − v = u , v + π d’après la première propriété. ( ( ) ( )( ) ( ) ) Vous démontrerez vous-même la deuxième égalité. 3. Angle orienté de vecteurs et configurations de base Quelques configurations élémentaires s’expriment facilement à l’aide des angles orientés de vecteurs. Séquence 4 – MA12 57 © Cned - Académie en ligne a. Alignement, parallélisme Propriété 6 Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si : CA , CB = 0 + 2k π ou CA , CB = π + 2k π. ) ( C Remarque ) ( A B On a même une propriété plus précise. A C Les points A et B étant distincts, on a : C ∈ AB ⇔ CA, CB = π + 2k π. ( B π ) Propriété 7 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si : AB, CD = 0 + 2k π ou AB, CD = π + 2k π. ) ( ) ( A B D C b. Orthogonalité Propriété 8 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si : π AB, CD = + 2k π 2 π ou AB, CD = − + 2k π. 2 ( 58 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ( ) ) C D A B c. Bissectrice Propriété 9 ) Étant donnés trois points distincts A, B et C, la droite ( AK est bissectrice de si et seulement si : AB, AK = AK , AC + 2k π. BAC ) ( ( ) C K C A K A B B d. Somme des angles d’un triangle Propriété 10 Etant donnés trois points distincts A, B et C, on a : AB, AC + BC, BA + CA , CB = π + 2k π. )( ( Démonstrations )( ) � Construisons les points D et E tels que BC = AD et BA = AE. D On a : BC, BA = AD, AE + 2k π et CA , CB = CA , DA + 2k π. C ( ( ) ( ) ) ( ) Or, d’après les propriétés vues au paragraphe précédent, on a : −u , − v = −u , v + π + 2k π. E ( A ) ( ) B Donc −u , − v = u , v + π + π = u , v + 2k π. On obtient donc : CA , CB = CA , DA = −CA , − DA = AC , AD + 2k π. ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) Et par conséquent : AB, AC + BC, BA + CA , CB = AB , AC + AD, AE + AC, AD + 2k π.. ( )( )( ) ( )( )( ) La relation de Chasles, appliquée deux fois, nous permet de simplifier cette somme : AB, AC + BC, BA + CA , CB = AB , AD + AD, AE = AB, AE + 2k π.. ( )( )( ) ( )( ) ( ) Séquence 4 – MA12 59 © Cned - Académie en ligne Comme les vecteurs AB et AE sont opposés, on obtient finalement : AB, AC + BC, BA + CA , CB = AB , AE = π + 2k π. )( ( )( ) ( ) � Proposons une autre démonstration où l’on voit l’efficacité des propriétés de calcul avec les angles orientés et en particulier de la relation de Chasles. On a : AB, AC = AB, CA + π + 2k π puisque CA = − AC et BC, BA = CB, BA + π + 2k π puisque CB = −BC. ( ( ) ( ) ( ) ) Donc on a : AB, AC + BC, BA + CA , CB = AB , CA + π + CB, BA + π + CA , CB + 2k π. )( ( )( ) ( ) ) ) ( ( Soit : AB, AC + BC, BA + CA , CB = AB , CA + CA , CB + CB, BA +2π + 2k π. )( ( )( ) ( )( )( ) En appliquant la relation de Chasles on obtient : AB, AC + BC, BA + CA , CB = AB , BA + 2π + 2k π. Soit : AB, AC + BC, BA + CA , CB = 3π + 2k π. Et donc : AB, AC + BC, BA + CA , CB = π + 2k π. Normalement, on devrait noter « = π + 2k ' π » car ce n’est pas le même coefficient multiplicateur qu’à la ligne précédente (on sait même que k ' = k + 1). ( )( ( ( )( )( )( )( ) ( )( ) ) ) En fait, on fait souvent cet « abus de notation », car la signification de l’écriture +2k π est que k prend toutes les valeurs de , or dans ce cas, k’ prend aussi toutes les valeurs de . Remarques 1. Pour cette propriété, il est très important de prendre les trois angles du triangle avec des mesures principales de même signe (toutes les trois positives sur le dessin de gauche ci-dessous, toutes les trois négatives sur le dessin de droite). C C A A B B 2. Lorsque l’on passe successivement de A à B puis à C en tournant dans le sens direct sur le cercle circonscrit au triangle, on dit que le triangle ABC est direct. 60 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 e. Angle inscrit, angle au centre Propriété 11 M Soit deux points distincts A et B d’un cercle de centre O. Pour tout point M du cercle, distinct de A et B, on a : OA , OB = 2 × MA , MB + 2k π. ) ( 0 ) ( B A Démonstration Cette démonstration sera faite dans l’exercice 11. 4. Cosinus et sinus d’un angle orienté quelconque On peut maintenant revenir surlatrigonométrie, et définir les cosinus et sinus de n’importe quel angle orienté u , v , en le mesurant en radians. ( ) Définition 4 Le cosinus et le sinus d’un angle orienté u , v dont une mesure en ( ) radians est x, sont le cosinus et le sinus du nombre x, c’est-à-dire l’abscisse et l’ordonnée du point M du cercle trigonométrique correspondant à x. La connaissance des cosinus et sinus des angles particuliers compris entre 0 π radian et radian (c’est-à-dire entre 0° et 90°), et les symétries présentes dans 2 le cercle trigonométrique, font que l’on connaît les cosinus et sinus d’une infinité d’angles particuliers. On a par exemple les valeurs suivantes : x (mesure en radians de l’angle) − Point du cercle 6 =− π 6 = ( ) sin 2π 1 2 3 3 2 π 3 − cos π 3 − sin π 2π 17 π 4 3 6 F G R − E π 6 − cos sin x − R ( ) cos x 7π =− =− 1 2 3 2 π 4 = π 4 =− cos − sin π 3 2 − cos 2 2 2 π 3 sin = =− 1 2 3 2 π − cos 6 π 6 sin =− = 3 2 1 2 Séquence 4 – MA12 61 © Cned - Académie en ligne En effet, on peut voir sur le graphique ci-dessous que : 2π — 3 G 17π —& — – 7π 6 6 π R I’ —E – 2π 3 π — J 2 0 π — π T3 — Q4 π S— 6 0 I π — – F 4 J’ ) tMFQPJOU3FTUMFTZNÏUSJRVFEF4QBSrapport à la droite (OJ ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées égales ; tMF QPJOU & FTU MF TZNÏUSJRVF EF5 QBS SBQQPSU BV QPJOU 0 JMT POU EPOD EFT abscisses opposées et des ordonnées opposées ; ) tMFQPJOU'FTUMFTZNÏUSJRVFEF2QBSSBQQPSUËMBESPJUF (OI ; ils ont donc des abscisses égales et des ordonnées opposées ; ) tMFQPJOU(FTUMFTZNÏUSJRVFEF5QBSSBQQPSUËMBESPJUF (OJ ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées égales. De façon plus générale on a les résultats suivants. Propriété 12 Pour tout réel quelconque x : Mesure en radians de l’angle −x π−x cos ( − x = cos ( x ) ) sin( − x ) = − sin( x ) cos ( π − x = − cos ( x Mesure en radians de l’angle x +π π −x 2 Cosinus cos ( x + π = − cos ( x Sinus sin( x + π = − sin( x Cosinus Sinus 62 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ) sin( π − x ) = sin( x ) ) ) π cos − x = sin( x 2 ) ) ) π sin − x = cos ( x 2 ) J Q π I’ R S En effet, on peut voir sur le graphique cicontre que : d π 2 x π–x tMFQPJOU1FTUMFTZNÏUSJRVFEF.QBSSBQQPSU à la droite (OI ; ils ont donc des abscisses égales et des ordonnées opposées ; ) M x 0 –x I P π–x 0 tMFQPJOU2FTUMFTZNÏUSJRVFEF.QBSSBQQPSU à la droite (OJ ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées égales ; ) tMF QPJOU 3 FTU MF TZNÏUSJRVF EF . QBS BV point O ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées opposées ; J’ tRVBOUBVQPJOU4DFTUMFTZNÏUSJRVFEF.QBSSBQQPSUËMBESPJUF d (que l’on appelle première bissectrice du repère), dont l’équation est y = x ; l’abscisse de S est égale à l’ordonnée de M et l’ordonnée de S est égale à l’abscisse de M. Conséquence 왘 Exemple 1 Cette connaissance des liens entre les sinus et les cosinus de différents angles va nous permettre de résoudre certaines équations dans lesquelles l’inconnue figure dans un sinus ou un cosinus. Résoudre les équations suivantes : ) a. cos ( x = 0, 5. ) c. cos ( x = Solution 5 . 2 ) b. sin( x = −1. 2 d. sin( x = − . 3 ) π . 3 Mais on sait que ce n’est pas la seule, puisqu’un point du cercle trigonométrique correspond à une infinité de réels. π Tous ces réels qui correspondent au même point que conviennent, à savoir : 3 π π π π π π + 2π , + 4 π , + 6 π , … etc. − 2π , − 4 π , − 6 π , … etc. 3 3 3 3 3 3 Mais il y a encore d’autres solutions ! a. Une solution de cette équation, que l’on doit connaitre par cœur, est x = En effet on a vu précédemment que x et − x ont le même cosinus. π π π π π π π Donc − , − + 2π , − + 4 π , − + 6 π , … etc. − − 2π , − − 4 π , − − 6 π , 3 3 3 3 3 3 3 … etc, sont aussi des solutions. On peut maintenant constater que l’on a toutes les solutions, car il n’y a que deux points du cercle trigonométrique qui ont la même abscisse. On résume ces résultats en disant que les solutions sont tous les nombres réels de la forme : π π + k 2π ou − + k 2π avec k ∈. 3 3 Séquence 4 – MA12 63 © Cned - Académie en ligne π b. Une solution de cette équation, que l’on doit connaître par cœur, est x = − . 2 Mais on sait que ce n’est pas la seule, puisqu’un point du cercle trigonométrique correspond à une infinité de réels. π Tous ces réels qui correspondent au même point que − conviennent, à savoir : 2 π π π π π π − + 2π , − + 4 π , − + 6 π , … etc. − − 2π , − − 4 π , − − 6 π , … etc. 2 2 2 2 2 2 On peut maintenant constater que l’on a toutes les solutions, car il n’y a qu’un point du cercle trigonométrique dont l’ordonnée soit égale à −1. On résume ces résultats en disant que les solutions sont tous les nombres réels de la forme : π − + k 2π avec k ∈. 2 5 ne fait pas partie des valeurs « remarquables » des sinus ou 2 cosinus, que l’on doit connaître. c. La valeur Pour chercher une solution de cette équation, il faut tout d’abord que l’on ait une 5 , pour savoir si ce nombre est l’abscisse d’un idée d’une valeur approchée de 2 point du cercle trigonométrique. Si ce n’est pas le cas il n’y aura pas des solution. 5 ≈ 1,12. 2 On constate que ce nombre est strictement supérieur à 1. Ça ne peut donc pas être l’abscisse d’un point du cercle trigonométrique. On a : ) Donc l’équation cos ( x = 5 n’a pas de solution. 2 2 d. La valeur − ≈ −0, 67 ne fait pas partie des valeurs « remarquables » des 3 sinus ou cosinus, que l’on doit connaître. J π I’ π−α N 0 α 2 –— 3 J’ 0 I 2 Comme −1 < − < 1 on sait que l’on va trouver deux 3 2 points du cercle trigonométrique dont l’ordonnée est − . 3 Appelons M et N ces points, et F une valeur en radian de l’angle OI, OM (voir graphique ci-contre). ( ) 2 Cette valeur F est une solution de l’équation sin( x = − . 3 M On peut, à l’aide de la calculatrice par exemple, trouver une 2 valeur approchée de cette solution : α = sin−1 − ≈ −0, 73. 3 Mais on sait que ce n’est pas la seule solution, puisqu’un point du cercle trigonométrique correspond à une infinité de réels. Tous ces réels qui correspondent au même point que F conviennent, à savoir : α + 2π , α + 4 π , α + 6 π , … etc. α − 2π , α − 4 π , α − 6 π , … etc. 64 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) Mais il y a encore d’autres solutions. En effet on a vu précédemment que x et π − x ont le même sinus. Donc π − α , π − α + 2π , π − α + 4 π , π − α + 6 π , … etc, π − α − 2π , π − α − 4 π , π − α − 6 π , … etc, sont aussi des solutions. On peut maintenant constater que l’on a toutes les solutions, car il n’y a que deux points du cercle trigonométrique qui ont même ordonnée. On résume ces résultats en disant que les solutions sont tous les nombres réels de la forme : α + k 2π ou π − α + k 2π avec k ∈. En généralisant les résultats de l’exemple ci-dessus, on peut énoncer la propriété suivante. Propriété 13 ) ) Pour résoudre dans une équation de la forme cos ( x = a ou sin( x = a il faut d’abord vérifier si −1 ≤ a ≤ 1. Si ce n’est pas le cas, l’équation n’a pas de solution. Si c’est le cas, il y a des solutions. Pour les trouver toutes, on cherche d’abord une solution particulière α. ) ) ) ) L’équation peut alors s’écrire : cos ( x = cos ( α ou sin( x = sin( α et l’on a : ) ) ⇔ x = α + 2k π ou x = −α + 2k π ; sin( x ) = sin( α ) ⇔ x = α + 2k π ou x = π − α + 2k π. cos ( x = cos ( α C Exercice 1 Exercices d’apprentissage Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses ; justifier votre réponse. 2π π 5π 5π � sin = 2sin 3 3 � cos = sin 4 4 5π 3 � sin = 2 3 7π π � sin = − sin − 6 6 V F V F V F V F Séquence 4 – MA12 65 © Cned - Académie en ligne ( ) ( ) � Pour tout réel x, sin( 5π − x ) = sin( x ) � Pour tout réel x, cos x + 5π = cos x ( ) ( ) � Pour tout réel x, cos ( 2π − x ) = − cos ( x ) � Pour tout réel x, sin x − π = − sin x V F V F V F V F Pour les deux affirmations suivantes, A, B et C sont trois points distincts. � BA, CA = − AB, AC + 2k π V F 쐅 AB, CA = AB, AC + π + 2k π V F Pour les deux affirmations suivantes, u et v sont deux vecteurs non nuls. 쐈 u , − v = −u , v + 2k π V F 쐉 π − u , v = −v , u + 2k π V F ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) Exercice 2 Soit x un réel. Écrire chacune des expressions suivantes uniquement en fonction de cos ( x ou sin( x . Exercice 3 � Conversion degrés-radians ; compléter le tableau suivant : ) ) � cos ( π − x ) + cos ( x + 3π ). � sin( − x ) − sin( 3π + x ). � cos ( − π − x ) − sin( x − 3π ) + sin( 4 π − x ). 9π 2 Mesures en radians Mesures en degrés − 13 π 6 −47 π 8 225 −144 50 100 � Donner la mesure principale des angles orientés suivants : 21π 19 π 37 π − 6 2 4 Mesures − 29 π 5 100 π 3 −47 π 8 Mesures principales Exercice 4 π 3 et que α ∈ , π . Calculer cos ( α . 5 2 1 � On sait que cos (β = − et que β ∈ − π , 0 . Calculer sin(β . 3 ( ) � On sait que sin α = ) 66 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ) 50 Exercice 5 Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. ( ) 2 � 2sin2 ( x ) = − sin( x ). Remarque : la notation sin2 ( x ) signifie ( sin( x )) . � 2 cos ( 2x ) = −1. � 2cos x + 3 = 0. Exercice 6 3π 3π + 2k π. On donne u , v = − + 2k π et u , w = 5 4 Déterminer les mesures principales des angles suivants. ( ) ( ) ( � v,w . Exercice 7 ( ) ) ( � −u , v . ) � u,−w . On considère une figure où ABC est un triangle rectangle isocèle en A, ACE un triangle rectangle isocèle en E et BCD un triangle équilatéral. Les triangles ABC, ACE et BDC sont directs. � Faire une figure correspondant à l’énoncé. � Donner les mesures principales des angles orientés suivants : a. BC, BA d. CD, CE ( ( Exercice 8 ) ) b. AC, AB e. CA, DC c. AB, AE f. AB, CE ) ) ( ( ( ( ) ) 5π + 2k π. ABCD est un parallélogramme tel que AB, AD = 8 � Faire une figure correspondant à l’énoncé et donner une mesure des angles orientés suivants : b. BC, BA a. BC, DC ) ( ( ) ( ) On suppose en plus que ABCD est un losange. � Faire une nouvelle figure correspondant à l’énoncé et donner une mesure des angles orientés suivants : a. CA, CD ( Exercice 9 ) b. DC, BD ( c. CA, AD ) ( ) 3π + 2k π A, B et C sont trois points du plan tels que BC, BA = 7 2π et CA, CB = + 2k π. 9 ( ( ) ) � Faire une figure correspondant à l’énoncé et donner les mesures principales des angles orientés suivants : b. CA, BC a. AB, AC ( ) ( ) c. BC, AB ( ) Séquence 4 – MA12 67 © Cned - Académie en ligne Exercice 10 ABCD et AMCN sont deux parallélogrammes. Faire une figure correspondant à l’énoncé et comparer les angles orientés MA, MB et NC, ND . ( Exercice 11 ) ( ) Démonstration de la propriété 11 du cours : angle inscrit, angle au centre. Soit deux points distincts A et B d’un cercle de centre O. Soit M un point du cercle, distinct de A et B, et N le point diamétralement opposé à M sur ce cercle. � Quelle est la nature du triangle AOM ? En déduire que : 2 × MA, MO = π − OM, OA + 2k π. Puis que : 2 × MA, MO = OA, ON + 2k π. � De façon analogue, montrer que : 2 × MB, MO = OB, ON + 2k π. � En déduire que : 2 × MA, MB = OA, OB + 2k π , ce qui démontre la propriété du cours. ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ( ) ( ) � Question complémentaire, pour aller un peu plus loin. ) 1 Peut-on en déduire que : MA, MB = OA, OB + 2k π ? 2 Quelle propriété peut-on en déduire pour tous les points de l’un des arcs de cercle ? AB ( 68 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ( ) 3 2 A Synthèse de la partie 2 de la séquence Cercle trigonométrique et angles orientés. Radian Définition 1 Le radian est l’unité de mesure des angles orientés telle qu’un angle plat direct mesure π radians. On le note rad. Propriété 2 π Comme π rad = 180 , on a l’égalité 1 = rad, et donc : 180 π a = a rad. 180 ° ° 180 180 x . Réciproquement, 1 rad = , et donc : x rad = π π B Angle orienté de vecteurs non nuls. Mesure principale Définition 3 La donnée de deux vecteurs non nuls u v et , dans cet ordre, détermine un angle orienté u , v . On définit les mesures en radians de l’angle orienté u , v en référence au cercle trigonométrique. ( ) ( ) Propriété 4 Un angle orienté u , v a une infinité de mesures en radians. Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté u , v est α, les autres ( ) ( ) mesures sont tous les nombres de la forme α + 2k π avec k ∈. Parmi toutes les mesures en radians de l’angle orienté u , v on appelle mesure principale de l’angle celle qui appartient à l’intervalle − π ; π . ( ) Séquence 4 – MA12 69 © Cned - Académie en ligne Propriétés 5 Quels que soient les vecteurs non nuls u , v et w on a : a. u , u = 0 + 2k π et u , − u = π + 2k π ; ( ) ( ) b. (v , u ) = − (u , v ) + 2k π ; c. (u , v ) + (v , w ) = (u , w ) + 2k π ; c’est ce que l’on appelle la relation de Chasles pour les angles orientés ; d. u , − v = −u , v = u , v + π + 2k π. ) ( ( C ) ( ) Angle orienté de vecteurs et configurations de base Propriété 6 Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si : CA , CB = 0 + 2k π ou CA , CB = π + 2k π. ( ) ) ( Propriété 7 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si : AB, CD = 0 + 2k π ou AB, CD = π + 2k π. ( ) ) ( Propriété 8 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et π (CD) sont orthogonales si et seulement si : AB, CD = + 2k π ou 2 π AB, CD = − + 2k π. 2 ( ) ( ) Propriété 9 ) Etant donnés trois points distincts A, B et C, la droite ( AK est bissectrice de si et seulement si : AB, AK = AK , AC + 2k π. BAC ( 70 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ( ) Propriété 10 Etant donnés trois points distincts A, B et C, on a : AB, AC + BC, BA + CA , CB = π + 2k π. ( )( )( ) Propriété 11 Soit deux points distincts A et B d’un cercle de centre O. Pour distincts de A et B, on a : tout point Mdu cercle, OA , OB = 2 × MA , MB + 2k π. ( D ) ( ) Cosinus et sinus d’un angle orienté quelconque Définition 4 Le cosinus et le sinus d’un angle orienté u , v dont une mesure en radians est x, sont le cosinus et le sinus du nombre x, c’est-à-dire l’abscisse et l’ordonnée du point M du cercle trigonométrique correspondant à x. ( ) Propriété 12 Pour tout réel quelconque x : Mesure en radians de l’angle −x π−x cos ( − x = cos ( x ) ) sin( − x ) = − sin( x ) cos ( π − x = − cos ( x Mesure en radians de l’angle x +π Cosinus cos ( x + π = − cos ( x ) Sinus sin( x + π = − sin( x ) Cosinus Sinus ) ) sin( π − x ) = sin( x ) ) ) π −x 2 π cos − x = sin( x 2 ) ) π sin − x = cos ( x 2 Séquence 4 – MA12 71 © Cned - Académie en ligne Propriété 13 ) ) Pour résoudre dans une équation de la forme cos ( x = a ou sin( x = a il faut d’abord vérifier si −1 ≤ a ≤ 1. Si ce n’est pas le cas, l’équation n’a pas de solution. Si c’est le cas, il y a des solutions. Pour les trouver toutes, on cherche d’abord une solution particulière α. L’équation peut alors s’écrire : cos ( x = cos ( α ou sin( x = sin( α et l’on a : ) ) ) ) ⇔ x = α + 2k π ou x = −α + 2k π ; sin( x ) = sin( α ) ⇔ x = α + 2k π ou x = π − α + 2k π. cos ( x = cos ( α 72 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ) 4 Exercices d’approfondissement Exercice I Sans utiliser la calculatrice, calculer les nombres suivants. π 3π 5π 7π A = cos + cos + cos + cos . 8 8 8 8 9π 11π π 2π 3π B = cos + sin + cos + sin + cos 100 10 10 5 5 7π 8π 19 π + sin + cos + sin . 5 5 10 2π 4π 6π 8π C = sin + sin + sin + sin . 5 5 5 5 π 3π 5π 7π D = cos2 + cos2 + cos2 + cos2 . On rappelle que cos2 ( x 8 8 8 8 ( signifie cos ( x Exercice II ))2 . Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. � ( ) ) 2 sin( x − 1 = 0. ( ) � 2cos2 x + 3cos x + 1 = 0. ( ) ( ) ( ) � 2sin2 x + cos x = 2. � cos 3x = 0. Exercice III ) π 6+ 2 . On admet que cos = 4 12 � Calculer : π a. cos − 12 11 π b. cos 12 π � Montrer que : sin = 12 � Calculer : π a. sin − 12 13 π c. cos 12 35 π d. cos 12 6− 2 . 4 11 π b. sin 12 13 π c. sin 12 35 π d. sin 12 Séquence 4 – MA12 73 © Cned - Académie en ligne Exercice IV π On considère un carré ABCD direct, c’est-à-dire tel que AB, AD = + 2k π. On 2 construit les triangles ABE et BFC équilatéraux et directs. ) ( � Faire une figure correspondant à l’énoncé et donner les mesures principales des angles orientés suivants : a. AE, AD b. BC, BE ) ( ( c. CD, CF ) ( ) � En déduire les mesures principales des angles orientés des triangles ADE, BCE et CDF. ( ) � a. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté EC, ED . b. En déduire la mesure principale de l’angle orienté DE, DC . � a. Comparer cette mesure avec celle de l’angle orienté DF, DC trouvée au �. b. Qu’en déduit-on pour les points D, E et F ? ( Exercice V ( ) ) Propriété établie en fin de l’exercice 11 : soit deux points distincts A et B d’un cercle de centre O. Pour tout point M de l’un des arcs de cercle AB, distinct de A et B, l’angle orienté MA, MB est constant. ) ( Dans cet exercice, nous allons établir la propriété réciproque, à savoir : deux points distincts A et B du plan, et un réel non nul α tel que α ∈ − π ; π étant donnés, l’ensemble des points M du plan tels que MA, MB = α est un arc de cercle AB. ( ) On considère donc deux points distincts A et B du plan, et un réel non nul α tel que α ∈ − π ; π . On considère un point M du plan tel que MA, MB = α. ) ( � a. Construire le centre K du cercle circonscrit au triangle ABM. b. En déduire que ce centre est indépendant du choix du point M. � En déduire que tout point N tel que NA, NB = α est nécessairement sur le cercle de centre K passant par A. � Montrer que sur ce cercle seuls les points d’un des deux arcs de cercle AB ( ) conviennent. Exercice VI Au cours d’une méharée dans le désert, un aventurier égaré et dont le GPS est en panne ne dispose que d’un instrument lui permettant de mesurer les angles suivant lesquels il voit deux points. Il reconnaît autour de lui deux pics rocheux, notés P et R sur sa carte, et un arbre mythique noté M. � Déterminer le point A où se trouve l’aventurier, sachant qu’il a mesuré que : π π AR, AP = + 2k π et AM, AR = + 2k π. 3 4 � Construire ce point A sur la figure ci-après représentant la carte de notre aventurier. ( 74 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12 ) ( ) P M R ■ Séquence 4 – MA12 75 © Cned - Académie en ligne