(Partie 1) - Trigonométrie

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Séquence 4 – MA12
Séquence 4
1ère partie :
Dérivation (1)
2e partie :
Trigonométrie
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Séquence 4 – MA12
Dérivation (1)
1ère partie
Sommaire
1. Pré-requis
2. Nombre dérivé d’une fonction en un point
3. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence
4. Dérivation : opérations sur les fonctions
5. Premières applications de la dérivation
6. Synthèse de la partie 1 de la séquence
7. Exercices d’approfondissement
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Séquence 4 – MA12
1Pré-requis
Les droites
Dans les graphiques de cette partie 1 de la Séquence 4, on utilise des droites non
parallèles à l’axe des ordonnées. On utilisera les équations réduites des droites
(c’est-à-dire de la forme
ymxp =+).
Les propriétés concernant le cœfficient directeur
m sont très utilisées.
Si une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, passe par les points A et B dont les coordonnées
sont AetB
AA BB
xy xy ;;,
(
)
(
)
alors le cœfficient directeur de la droite est : myy
xx
=−
−
BA
BA
.
Propriété
Si une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées) a pour cœfficient directeur m l’un de ses
vecteurs directeurs est le vecteur u
de coordonnées :
um
1;
( )
.
Propriété
Il est très utile de savoir lire graphiquement un cœfficient directeur, de voir
s’il est positif ou négatif, et de savoir comparer visuellement deux cœfficients
directeurs.
Sur la figure ci-contre, d’après l’inclinaison des droites (D) et
('),Dle cœfficient
m 'est positif, le cœfficient m est négatif.
Et plus précisément m '=3 et m =−1.
Quant à la droite (D") son cœfficient directeur
m "est
positif et mm "'<car la droite (D") est « plus horizontale »
que la droite (').D
Pour trouver le cœfficient directeur
m ", on cherche deux
points de la droite (D") ayant des coordonnées entières.
On trouve les points A et B. On en déduit la lecture des
valeurs 5 et 3 comme cela est indiqué sur la figure, le
cœfficient directeur est donc
m "=3
5(ce résultat vient de
l’égalité :
myy
xx
").=−
−
BA
BA
A
Lecture
graphique
i
j
B(D”)
(D’)
(D)
A
0
m’
m
1
1
3
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Séquence 4 – MA12
Équation d’une droite connaissant un point et le cœfficient directeur.
On considère une droite (D) non parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation
réduite
ymxp =+.
Soit A AA
(;) xy un point de cette droite.
On a alors
ymxp
AA
=+, donc py mx =−
AA
,et l’équation réduite de la
droite (D) devient ymxy mx =+−
AA
,c’est-à-dire
ymxx y =−
(
)
+
AA
.
Propriété
On considère la droite (D") de la figure précédente, passant par le point
A( ; )−−26et de cœfficient directeur
m ".=3
5
Son équation réduite est
yx yx =−−+− =−
3
526 3 5
24
5
(())(), .soit
Utilisation de GeoGebra
 Tracé d’une courbe : par exemple, on tape
yx =2sur la ligne de saisie, et,
quand on valide, la courbe s’affiche.
 Création d’un point dont on connaît les coordonnées : on crée le point A
d’abscisse 1,5 et d’ordonnée 15
2
,en entrant (.,. )1515
2sur la ligne de saisie : il
faut faire attention aux points et à la virgule… !
 Agrandissement : pour cela, il suffit d’utiliser la roulette de la souris ou
l’agrandissement qui est une des fonctionnalités du bouton situé en haut à
droite ou encore en faisant un clic droit et en choisissant le pourcentage du
zoom.
 Création d’un point mobile sur une courbe : il suffit d’approcher
la souris de la courbe avant de cliquer pour créer un point B
sur la courbe (fonctionnalité du deuxième bouton en haut à
gauche).
 Affichage du cœfficient directeur d’une droite : quand on crée
une droite, une équation s’affiche à gauche. S’il ne s’agit pas
de la forme réduite celle-ci peut être obtenue en faisant un clic
droit sur l’équation affichée. On peut alors lire le cœfficient
directeur.
Exemple
B
i
j
B
A
0
1,52
a = 1,5
y = x2
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Séquence 4 – MA12
Tableau de valeurs
Dans une des activités, un tableau de valeurs est demandé mais on ne peut
pas utiliser de façon habituelle les calculatrices car les valeurs de
x ne sont pas
régulièrement espacées, il n’y a pas de « pas ».
Prenons l’exemple simple de la fonction carré et du tableau :
x 0 0,5 1 2 5 10
x
2
 Avec un tableur
On remplit 6 cellules d’une ligne (ou d’une colonne) par les valeurs de
x .
On calcule le carré de 0 (en utilisant le nom de la cellule qui contient 0) dans
la première cellule de la ligne (ou la colonne) suivante, puis on recopie pour
obtenir les autres carrés.
 Avec une calculatrice TI
On rentre la fonction carré dans Y1.
Dans TBLSET ( ou def table), on sélectionne Ask (ou Dem ), les calculs de
valeurs sont alors faits « à la demande » c’est-à-dire que l’on peut entrer les
valeurs de
x que l’on veut dans la table.
 Avec une calculatrice Casio
Ces calculatrices, sauf la Graph25+
Pro et la Graph35+, disposent d’un
tableur qu’on utilise avec le mode
S*SHT.
Pour la Graph25+ Pro et la Graph35+,
on peut utiliser les listes.
On rentre les valeurs de
x dans List 1.
Pour calculer les carrés dans la colonne suivante, on se déplace avec le curseur et
on met en surbrillance List 2 en haut de la deuxième colonne. On rentre ensuite
la formule de la fonction dans laquelle on remplace x par List 1 qu’on obtient par
OPTN, List, encore List et 1. En validant, on obtient les valeurs attendues.
C
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