EXEMPLES DE LOIS À DENSITÉ
Il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d'un intervalle de
. (borné ou non).
Exemples : Le temps d'attente à un arrêt de bus ; la durée de vie d'un transistor ; la distance du point d'impact au centre d'une cible …
On s’intéresse alors à des événements du type : "
prend ses valeurs dans l'intervalle
" .
1 ) LOI UNIFORME SUR [ a ; b ]
Définition :
Soit
si :
● pour tout intervalle
, la probabilité de l'événement «
» est l'aire du domaine
{
est la fonction constante définie sur
, la probabilité de l'événement «
» est nulle.
On appelle fonction de densité de
, la fonction définie sur
f
x
=
{
1
b−asi x ∈
[
a;b
]
0si x ∉
[
a;b
]
P
cXd
=P
X∈
[
c;d
]
=∫
c
d1
b−adt
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
Cette formule est à rapprocher de la formule :
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
vue dans les situations d'équiprobabilité en nombre fini.
Remarques :
● La probabilité
est proportionnelle à l'amplitude de l'intervalle
correspond à l'univers)
● Pour tout
prenne une valeur isolée de
est nulle.
● On en déduit que pour tous réels
P
X∈
[
c;d
]
=P
X∈
[
c;d
[
=P
X∈
]
c;d
]
=P
X∈
]
c;d
[
, etc …
Exemple : On considère
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
P
X∈
[
1 ; 2
]
=P
X∈
]
4 ; 5
[
=1
4
Définition : Fonction de répartition
Soit
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
.
On appelle fonction de répartition de
, la fonction définie sur
F
x
=P
Xx
=
{
0si x a
x−a
b−asi axb
1si bx
- Exemples de lois à densité - auteur : Pierre Lux - cours prof - page 1 / 3 -