Notes de cours avec exercices corrigés

Agrégation Externe de Mathématiques
Analyse Numérique
Franck Boyer
e-mail : [e-mail]
Aix-Marseille Université
14 octobre 2014

ii
F. BOYER - VERSION DU 14 OCTOBRE 2014

TABLE DES MATIÈRES iii
Table des matières
I Arithmétique de l’ordinateur. Erreurs numériques. Stabilité 1
1 L’ordinateuretlesnombres.......................................... 1
1.1 Lesentiers .............................................. 1
1.2 Lesréels ............................................... 1
1.3 De l’importance de la précision dans les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Opérationssurlesflottants...................................... 3
2 Analyse de la propagation des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Addition ............................................... 5
2.2 Multiplication............................................. 5
2.3 Formulesstablesetinstables..................................... 6
2.4 Evaluationd’unefonction ...................................... 7
2.5 Evaluationd’unpolynôme...................................... 8
3 Sommationdeséries ............................................. 9
3.1 Sommation des séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Théorèmedessériesalternées .................................... 11
II Méthodes itératives de résolution d’équations 13
1 Les théorèmes de base en analyse réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Résolution d’une equation f(x) = 0,f:R→R.............................. 14
2.1 Existence et unicité de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Laméthodegraphique ........................................ 14
2.3 La méthode de dichotomie ou de bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 La méthode de la fausse position : regula falsi ............................ 15
2.5 Méthodesdepointfixe........................................ 16
2.6 MéthodedeNewton ......................................... 21
2.7 Méthode de Newton pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Diversexemplesetremarques .................................... 23
3 Résolution de f(x) = 0 en dimension quelconque (finie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Méthodedepoint-fixe ........................................ 24
3.2 MéthodedeNewton-Raphson .................................... 26
III Interpolation / Approximation 29
1 InterpolationdeLagrange........................................... 29
1.1 Existence et unicité du polynôme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 CalculdupolynômedeLagrange .................................. 31
1.3 Estimation de l’erreur d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 L’opérateur d’interpolation. Choix des points d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 L’interpolationdeHermite .......................................... 36
3 Interpolation polynômiale par morceaux. Splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Interpolation constante par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Interpolation affine par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Lessplinescubiques ......................................... 40
4 Approximationpolynômiale ......................................... 44
4.1 Les fonctions développables en séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Théorème de Weierstrass. Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Le problème de la meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Meilleure approximation L2au sens discret. Moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Complémentsetremarques.......................................... 57
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iv TABLE DES MATIÈRES
IV Intégration numérique 59
1 Méthodes de quadrature élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.1 Généralités .............................................. 59
1.2 Rectanglesàgaucheetàdroite.................................... 60
1.3 FormulesdeNewton-Cotes...................................... 61
1.4 FormulesdeGauss.......................................... 61
2 Formulescomposites ............................................. 63
2.1 Généralités .............................................. 63
2.2 Exemples............................................... 65
2.3 Cas particulier des fonctions périodiques ou à support compact dans ]a, b[. Formule d’Euler-
MacLaurin .............................................. 67
3 Quelques commentaires et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 Sur le calcul des points et des poids des méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Calcul approché d’intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Intégrales2D/3D........................................... 71
V Exercices 73
Bibliographie 107
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TABLE DES MATIÈRES v
Avant-Propos
Ce document a pour vocation de rassembler les éléments d’analyse numérique qui peuvent être utiles pour préparer
les oraux de l’agrégation externe de Mathématiques. Les étudiants préparant l’option B sont les premiers concernés mais
pas seulement. Un certain nombre de chapitres font partie intégrante du programme général du concours et font l’objet de
leçons. Par ailleurs, les éléments contenus dans ces notes fournissent de nombreux exemples et potentiels développements
pour enrichir vos leçons (d’analyse ET d’algèbre).
Le premier chapitre est purement indicatif pour vous sensibiliser aux problèmes naturellement liés à toute méthode de
calcul sur un ordinateur en précision finie (arithmétique flottante).
Le chapitre 2 traite des méthodes de résolution d’équations non-linéaires du type f(x) = 0.
Les chapitres 3 et 4 traitent des problèmes de l’interpolation et de l’approximation polynomiale et de l’intégration
numérique.
N’hésitez surtout pas à me transmettre des commentaires, des questions ou la liste de toutes les coquilles, erreurs qui
émaillent certainement ce texte.
Les points fondamentaux à retenir
Points-fixes, résolution d’équations
– Bien maîtriser les résultats de L1/L2 en analyse réelle (Rolle, TVI, accroissements finis, formules de Taylor, ...)
– Connaitre (principe, mise en oeuvre, convergence) la méthode de dichotomie.
– Connaitre les conditions de convergence d’une suite définie par xn+1 =g(xn)vers un point fixe de g: Théorèmes
II.2.12 en dimension 1 et II.3.20 en dimension quelconque.
– Comprendre pourquoi le rayon spectral est le bon outil en dimension d > 1(i.e. la discussion de la section 3.1).
– Connaître les exemples de méthodes itératives pour résoudre un système linéaire construites à partir de cette idée
(Jacobi, Gauss-Seidel).
– Connaître la construction de la méthode de Newton (plutôt que de retenir par coeur la formule ...) et savoir que
la convergence locale quadratique est garantie dès lors que la racine cherchée est simple (Théorèmes II.2.14 en
dimension 1 et II.3.21 en dimension quelconque ainsi que son corollaire).
Bien comprendre que “racine simple” en dimension d > 1signifie que la différentielle de la fonction au point
considéré est inversible (et non pas : “est non nulle” ! !).
– Savoir que si la racine est multiple, tout peut arriver. La méthode peut diverger ou même converger mais pas de
façon quadratrique (exemple stupide : résoudre xm= 0 par Newton).
Interpolation/approximation
– Connaître le théorème d’existence et unicité du polynôme d’interpolation de Lagrange et savoir le calculer par les
deux méthodes (basique = Vandermonde, sophisitiquée = différences divisées).
– Connaitre le théorème d’estimation de l’erreur (Théorème III.1.9) et savoir le démontrer au moins pour n= 1,2ou
3par exemple.
– Connaître le théorème de Weiestrass (ou Stone-Weierstrass pour les plus courageux) et sa preuve par les polynômes
de Bernstein (au moins savoir qu’elle existe et connaitre un bouquin ou on peut la trouver).
– Savoir démontrer l’existence d’un polynôme de meilleure approximation. Svoir montrer l’unicité dans le cas de la
norme L2.
– Connaitre l’existence des polynômes orthogonaux et savoir montrer qu’il existe une relation de réccurence à deux
termes de la forme Pn+1 = (x−an)Pn−bnPn−1.
– Savoir utiliser la théorie usuelle des bases Hilbertiennes dans ce contexte (Théorème III.4.42 au moins pour des
poids réguliers et bornés auquel cas la difficile Proposition III.4.43 est inutile).
F. BOYER - VERSION DU 14 OCTOBRE 2014