Série 7

Série 7
Rafael Guglielmetti
17 novembre 2016
Exercice 4
a) On suppose d’abord que Gest un p-groupe abélien d’ordre pmet on va faire une récurrence sur m. Pour
m= 0,1, le résultat est trivial. Supposons donc que tout groupe d’ordre pkavec k≤mpossède (au moins)
un sous-groupe d’ordre 1, p, p2, . . . , pm. On considère maintenant un groupe abélien Gd’ordre pm+1 et un
diviseur d=prde pm+1 et l’on veut montrer que Ga (au moins) un sous-groupe d’ordre d. Si r= 1 ou
r=m+ 1, l’assertion est triviale. On suppose donc, que 1≤r≤m. On distingue maintenant deux cas :
—Gest cyclique
Dans ce cas, l’assertion est claire (car tout groupe cyclique d’ordre npossède un sous-groupe d’odre d
pour tout diviseur dde n).
—Gn’est pas cyclique
Ainsi, G∼
=G1×G2, avec G1et G2des p-groupes d’ordre compris entre pet pm. On peut maintenant
appliquer l’hypothèse de récurrence sur G1et G2pour extraire deux sous-groupes H1≤G1et H2≤G2
et les combiner pour arriver au résultat désiré.
b) On considère maintenant le cas plus général d’un groupe abélien Gd’ordre n=pα1
1·. . . ·pαr
ret d’un diviseur
d=pβ1
1·. . . ·pβr
r, c’est-à-dire que l’on a 0≤βi≤αipour 1≤i≤r. Par ce que l’on a fait en a), on sait que
l’on peut trouver des sous-groupes Hi≤Gd’ordre pβi
i(formellement, on applique le a) au pi-Sylow Pi≤G).
On vérifie ensuite que le sous-groupe
H=H1·. . . ·Hr≤G
possède les propriétés voulues.
c) Non, il n’y a pas unicité. Les contre-exemples sont nombreux !
Exercice 5
a) Soient Pet P0deux p-Sylow de G. Par les théorèmes de Sylow, on sait qu’il existe g∈Gtel que g·P·g−1=P0.
On vérifie alors que l’on a l’égalité g·NG(P)·g−1=NG(P0).
b) Soit Xl’ensemble des p-Sylow de G=Sp. On a une action de Gsur Xpar conjuguaison (qui est transitive,
par les théorèmes de Sylow). Un p-Sylow Pde Gest d’ordre p, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un groupe cyclique
engendré par un p-cycle. Pour calculer |X|, on va commencer par compter le nombre de p-cycles. Un p-cycle
est donné par une combinaison des entiers 1àp, mais deux permutations qui sont décalées cycliquement
donnent le même p-cycle. Il y a donc p!
ptels p-cycles dans G. Chaque p-Sylow de Gcontient p−1de ces
p-cycles, ce qui implique que |X|= (p−2)!. Puisque NG(P) = StabG(P)pour l’action considérée, on va
utiliser la formule de l’orbite :
|NG(P)|=|StabG(P)|=|Sp|
|Orb(P)|
∗
=|Sp|
|X|=p! (p−2)! =p·(p−1),
où l’on a utilisé le fait que l’action est transitive pour l’égalité ∗.
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