Série 7

Série 7
Rafael Guglielmetti
17 novembre 2016
Exercice 4
a) On suppose d’abord que G est un p-groupe abélien d’ordre pm et on va faire une récurrence sur m. Pour
m = 0, 1, le résultat est trivial. Supposons donc que tout groupe d’ordre pk avec k ≤ m possède (au moins)
un sous-groupe d’ordre 1, p, p2 , . . . , pm . On considère maintenant un groupe abélien G d’ordre pm+1 et un
diviseur d = pr de pm+1 et l’on veut montrer que G a (au moins) un sous-groupe d’ordre d. Si r = 1 ou
r = m + 1, l’assertion est triviale. On suppose donc, que 1 ≤ r ≤ m. On distingue maintenant deux cas :
— G est cyclique
Dans ce cas, l’assertion est claire (car tout groupe cyclique d’ordre n possède un sous-groupe d’odre d
pour tout diviseur d de n).
— G n’est pas cyclique
Ainsi, G ∼
= G1 × G2 , avec G1 et G2 des p-groupes d’ordre compris entre p et pm . On peut maintenant
appliquer l’hypothèse de récurrence sur G1 et G2 pour extraire deux sous-groupes H1 ≤ G1 et H2 ≤ G2
et les combiner pour arriver au résultat désiré.
αr
1
b) On considère maintenant le cas plus général d’un groupe abélien G d’ordre n = pα
1 · . . . · pr et d’un diviseur
β1
βr
d = p1 · . . . · pr , c’est-à-dire que l’on a 0 ≤ βi ≤ αi pour 1 ≤ i ≤ r. Par ce que l’on a fait en a), on sait que
l’on peut trouver des sous-groupes Hi ≤ G d’ordre pβi i (formellement, on applique le a) au pi -Sylow Pi ≤ G).
On vérifie ensuite que le sous-groupe
H = H1 · . . . · Hr ≤ G
possède les propriétés voulues.
c) Non, il n’y a pas unicité. Les contre-exemples sont nombreux !
Exercice 5
a) Soient P et P 0 deux p-Sylow de G. Par les théorèmes de Sylow, on sait qu’il existe g ∈ G tel que g·P ·g −1 = P 0 .
On vérifie alors que l’on a l’égalité g · NG (P ) · g −1 = NG (P 0 ).
b) Soit X l’ensemble des p-Sylow de G = Sp . On a une action de G sur X par conjuguaison (qui est transitive,
par les théorèmes de Sylow). Un p-Sylow P de G est d’ordre p, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un groupe cyclique
engendré par un p-cycle. Pour calculer |X|, on va commencer par compter le nombre de p-cycles. Un p-cycle
est donné par une combinaison des entiers 1 à p, mais deux permutations qui sont décalées cycliquement
donnent le même p-cycle. Il y a donc p!
p tels p-cycles dans G. Chaque p-Sylow de G contient p − 1 de ces
p-cycles, ce qui implique que |X| = (p − 2)!. Puisque NG (P ) = StabG (P ) pour l’action considérée, on va
utiliser la formule de l’orbite :
|NG (P )| = |StabG (P )| =
|Sp |
p!
∗ |Sp |
=
=
= p · (p − 1),
|Orb(P )|
|X|
(p − 2)!
où l’on a utilisé le fait que l’action est transitive pour l’égalité ∗.
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