Le groupe multiplicatif d`un corps fini est cyclique.

Le groupe multiplicatif d’un corps fini est
cyclique.
2013 – 2014
Référence : Daniel Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses, 1996, p.74.
Théorème.
Le groupe multiplicatif F∗
qest un groupe cyclique, isomorphe à Z/(q−1)Z.
Lemme.
Soit n∈N∗, on a
n=X
d|n
ϕ(d).
Démonstration. Tout élément de Z/nZa pour ordre un diviseur dde net il y
a exactement ϕ(d)éléments d’ordre dcar ils engendrent l’unique sous-groupe
cyclique d’ordre dde Z/nZ.
Démonstration du théorème. Posons n:= q−1, soit dun diviseur de n.
S’il existe x∈F∗
qd’ordre d, on considère le sous-groupe H:=<x>'Z/dZde
F∗
q. On a |H|=det pour tout y∈H, yd= 1. De plus, le polynôme Yd−1a au
plus dracines dans Fqdonc tout élément d’ordre dde F∗
qest dans H.
Par conséquent, le nombre N(d)d’éléments d’ordre dde F∗
qvaut 0ou ϕ(d)
(nombre de générateurs de Z/dZ), donc N(d)≤ϕ(d). Or tout élément de F∗
qa
pour ordre un diviseur de ndonc
n=|F∗
q|=X
d|n
N(d).
Par le lemme, on en déduit N(d) = ϕ(d)pour tout d, d’où N(n) = ϕ(n)>0
donc F∗
qcontient un élément d’ordre ndonc est cyclique.
Remarque. Cette démonstration permet aussi de montrer que tout sous-groupe
fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique, ce qui permet
par exemple de montrer que tout sous-groupe fini de SO(2) est cyclique.
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