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1 Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet
On va présenter dans cette sous-partie un cas particulier du théorème de Dirichlet.
Pour ce faire, on prouvera avant quelques propriétés des polynômes cyclotomiques.
1.1 Polynômes cyclotomiques
Définition 1 Pour n∈N∗, on appelle n-ième polynôme cyclotomique, que l’on note Φn,
Φn=Y
0≤k≤n
k∧n=1
X−e2ikπ/n=Y
z∈C∗/ ω(z)=n
(X−z).
Proposition 1
Xn−1 = Y
d|n
Φd.
Démonstration :
Xn−1 = Y
z∈C∗/ zn=1
(X−z) = Y
d|n
Y
z∈C∗/ ω(z)=d
(X−z)
=Y
d|n
Φd.
Proposition 2 Φn∈Z[X]. En particulier, le terme constant de Φn, qui est le produit de ses racines, au signe près,
vaut ±1.
Démonstration : On raisonne par récurrence sur n.
n= 1 : c’est clair car Φ1=X−1.
HRn−1=⇒HRn: D’après la proposition précédente, on peut écrire Φn=Xn−1
Qd|n, d<n Φd.Il suffit alors de repenser
au fait qu’une division euclidienne existe lorsque le diviseur est à coefficient dominant valant 1.
1.2 Un cas particulier du théorème de Dirichlet
Dans la suite, on choisit n≥2et on note Pn={p∈ P / p ≡1 [n]}. On cherche en fait à montrer que Pnest infini.
Lemme 1 Soient p∈ P et n≥2premier avec p. S’il existe q∈Ztel que p|Φn(q), alors p∈ Pn.
Démonstration : Sachant que Xn−1 = Qd|nΦd,χp(q)est un élément de F∗
pd’ordre divisant n. Supposons cet ordre,
noté mstrictement inférieur à n. Alors, comme mdivise n, d’après l’égalité précédente, on a (Xm−1)Φn|(Xn−1) ;
cela voudrait dire que Xn−1a une racine double. Or, p∧n= 1 et donc dP 6= 0 ; c’est donc absurde. Donc l’ordre
de χp(q)dans (F∗
p,×)est n. Le théorème de Lagrange assure que n|(p−1).
Théorème 1 Soit n≥2. Alors il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n.
Démonstration : Raisonnons par l’absurde et supposons Pnfini. Posons q=nQp∈Pnp≥2. La factorisation de
Φnsur Cmontre que |Φn(q)|>1. Soit alors p0un diviseur premier de Φn(q). Puisque le terme constant de Φn
vaut ±1, on a Φn(q)∧q= 1. Donc p0est premier avec q. Donc : p0/∈ Pnet p0∧n. Le lemme précédent assure
alors que p0∈ Pn. C’est absurde. 
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