1 Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet On va présenter dans cette sous-partie un cas particulier du théorème de Dirichlet. Pour ce faire, on prouvera avant quelques propriétés des polynômes cyclotomiques. 1.1 Polynômes cyclotomiques Définition 1 Pour n ∈ N∗ , on appelle n-ième polynôme cyclotomique, que l’on note Φn , Y Y Φn = (X − z). X − e2ikπ/n = z∈C∗ / ω(z)=n 0≤k≤n k∧n=1 Proposition 1 Xn − 1 = Y Φd . d|n Démonstration : Xn − 1 = Y z∈C∗ / (X − z) = z n =1 Y d|n z∈C∗ Y / ω(z)=d (X − z) = Y Φd . d|n Proposition 2 Φn ∈ Z[X]. En particulier, le terme constant de Φn , qui est le produit de ses racines, au signe près, vaut ±1. Démonstration : On raisonne par récurrence sur n. n = 1 : c’est clair car Φ1 = X − 1. n HRn−1 =⇒ HRn : D’après la proposition précédente, on peut écrire Φn = Q X −1 Φd . Il suffit alors de repenser d|n, d<n au fait qu’une division euclidienne existe lorsque le diviseur est à coefficient dominant valant 1. 1.2 Un cas particulier du théorème de Dirichlet Dans la suite, on choisit n ≥ 2 et on note Pn = {p ∈ P / p ≡ 1 [n]}. On cherche en fait à montrer que Pn est infini. Lemme 1 Soient p ∈ P et n ≥ 2 premier avec p. S’il existe q ∈ Z tel que p | Φn (q), alors p ∈ Pn . Q Démonstration : Sachant que X n −1 = d|n Φd , χp (q) est un élément de F∗p d’ordre divisant n. Supposons cet ordre, noté m strictement inférieur à n. Alors, comme m divise n, d’après l’égalité précédente, on a (X m −1)Φn | (X n −1) ; cela voudrait dire que X n − 1 a une racine double. Or, p ∧ n = 1 et donc dP 6= 0 ; c’est donc absurde. Donc l’ordre de χp (q) dans (F∗p , ×) est n. Le théorème de Lagrange assure que n | (p − 1). Théorème 1 Soit n ≥ 2. Alors il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n. Q Démonstration : Raisonnons par l’absurde et supposons Pn fini. Posons q = n p∈Pn p ≥ 2. La factorisation de Φn sur C montre que |Φn (q)| > 1. Soit alors p0 un diviseur premier de Φn (q). Puisque le terme constant de Φn vaut ±1, on a Φn (q) ∧ q = 1. Donc p0 est premier avec q. Donc : p0 ∈ / Pn et p0 ∧ n. Le lemme précédent assure alors que p0 ∈ Pn . C’est absurde. 1