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Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet
On va présenter dans cette sous-partie un cas particulier du théorème de Dirichlet.
Pour ce faire, on prouvera avant quelques propriétés des polynômes cyclotomiques.
1.1
Polynômes cyclotomiques
Définition 1 Pour n ∈ N∗ , on appelle n-ième polynôme cyclotomique, que l’on note Φn ,
Y Y
Φn =
(X − z).
X − e2ikπ/n =
z∈C∗ / ω(z)=n
0≤k≤n
k∧n=1
Proposition 1
Xn − 1 =
Y
Φd .
d|n
Démonstration :
Xn − 1 =
Y
z∈C∗
/
(X − z) =
z n =1
Y
d|n


z∈C∗
Y
/ ω(z)=d

(X − z) =
Y
Φd .
d|n
Proposition 2 Φn ∈ Z[X]. En particulier, le terme constant de Φn , qui est le produit de ses racines, au signe près,
vaut ±1.
Démonstration : On raisonne par récurrence sur n.
n = 1 : c’est clair car Φ1 = X − 1.
n
HRn−1 =⇒ HRn : D’après la proposition précédente, on peut écrire Φn = Q X −1 Φd . Il suffit alors de repenser
d|n, d<n
au fait qu’une division euclidienne existe lorsque le diviseur est à coefficient dominant valant 1.
1.2
Un cas particulier du théorème de Dirichlet
Dans la suite, on choisit n ≥ 2 et on note Pn = {p ∈ P / p ≡ 1 [n]}. On cherche en fait à montrer que Pn est infini.
Lemme 1 Soient p ∈ P et n ≥ 2 premier avec p. S’il existe q ∈ Z tel que p | Φn (q), alors p ∈ Pn .
Q
Démonstration : Sachant que X n −1 = d|n Φd , χp (q) est un élément de F∗p d’ordre divisant n. Supposons cet ordre,
noté m strictement inférieur à n. Alors, comme m divise n, d’après l’égalité précédente, on a (X m −1)Φn | (X n −1) ;
cela voudrait dire que X n − 1 a une racine double. Or, p ∧ n = 1 et donc dP 6= 0 ; c’est donc absurde. Donc l’ordre
de χp (q) dans (F∗p , ×) est n. Le théorème de Lagrange assure que n | (p − 1).
Théorème 1 Soit n ≥ 2. Alors il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n.
Q
Démonstration : Raisonnons par l’absurde et supposons Pn fini. Posons q = n p∈Pn p ≥ 2. La factorisation de
Φn sur C montre que |Φn (q)| > 1. Soit alors p0 un diviseur premier de Φn (q). Puisque le terme constant de Φn
vaut ±1, on a Φn (q) ∧ q = 1. Donc p0 est premier avec q. Donc : p0 ∈
/ Pn et p0 ∧ n. Le lemme précédent assure
alors que p0 ∈ Pn . C’est absurde.
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