Semi-simple - AGREGMATHS

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Endomorphismes semi-simples
Définition 1. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. On dit que f∈ L(E)est semi-
simple si pour tout sous-espace Fde Estable par f, il existe un supplémentaire Sde Fstable par
f. De même on dira que M∈ Mn(K)est semi-simple si uMl’endomorphisme canoniquement
associé est semi-simple.
Théorème 1. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E). Alors notant µfle
polynôme minimal de f, on a :
fest semi simple ⇐⇒ µfest produit de polynômes irreductibles unitaires deux à deux distincts.
Pour les besoins de la démonstration, on démontrera le lemme suivant :
Lemme 1. Si µfest irreductible alors fest semi-simple.
Démonstration. Soit F6=Eun sev de Estable par f. Considérons alors x1∈E\F(qui est
donc non nul car 0∈F) et posons Ex1={P(f)(x1)|P∈K[X]}qui est naturellement stable
par fcar pour tout P∈K[X],f◦P(f)est encore un polynôme en f.
Objectif 1. Montrons que F⊕Ex1.
Ix1={P∈K[X], P (f)(x1) = 0}est un idéal non nul de K[X]car µf∈Ix1et comme K[X]
est principal, il existe un unique polynôme unitaire π1∈K[X]tel que Ix1= (π1) = π1K[X].
Alors, π16∈ K∗car on aurait alors Ix1=K[X], absurde puisque comme x16= 0, on a 16∈ Ix1. Le
polynôme minimal de fvérifiant µf(f)=0L(E)on a en particulier :
µf∈Ix1et π1|µf=⇒µf=π1comme µfest irreductible avec π1, µfunitaires.
On en déduit donc que π1est irreductible. Supposons par l’absurde qu’il existe y∈Ex1∩Favec
y6= 0. Comme y∈Ex1, on peut écrire y=P(f)(x1)avec P∈K[X]et donc P6∈ Ix1. On en
déduit que π1-Pet π1étant irreductible,Pet π1sont premiers entre eux. Comme K[X]est
principal, il existe U, V ∈K[X]et une relation de Bezout du type U P +V π1= 1. En spécialisant
en f, on a :
U(f)◦P(f) + V(f)◦π1(f) = Id =⇒U(f)(P(f)(x1)) + V(f)(π1(f)(x1)) = U(f)(y) = x16= 0.
Comme y∈Fet que Fest stable par f, on en déduit que U(f)(y)∈Fet donc x1∈F, absurde.
D’où, Ex1∩F={0}.
Conclusion : Si E=F⊕Ex1, alors on a le résultat attendu, sinon on considère x2∈E\(F⊕Ex1)
et comme précédemment on a F⊕Ex1⊕Ex2. Comme Eest de dimension finie, on obtient en
un nombre fini d’étapes, une décomposition E=F⊕Ex1⊕. . . ⊕Exravec chaque Existable par
fet donc le résultat attendu en posant S=Ex1⊕. . . ⊕Exr.
Passons à la démonstration du théorème.
Démonstration. :
Objectif 2. Montrons que fsemi-simple =⇒µfest sans facteur multiple.
Supposons par l’absurde que µfait un facteur carré, alors µf=M2Navec M, N ∈K[X],
deg(M)>0. Posons F=Ker(M(f)) qui est naturellement stable par f. Par simplicité de f,
il existe un supplémentaire de Fstable par fque l’on note Set considérons x∈S. Montrons
qu’on a alors MN(f) = 0, en prouvant que M N(f)s’annule sur Fet Savec F⊕S=E. Pour
commencer montrons que M N(f)(x) = 0, en prouvant que M N(f)(x)∈F∩S.Or, on a :
0 = µf(f)(x) = M(f)◦MN (f)(x) =⇒MN (f)(x)∈Ker(M(f)) = F
Or, Sest stable par f, on a donc MN (f)(x)∈Set donc MN (f)(x)∈S∩F={0}ie
MN (f)(x) = 0. On en conclut donc que MN(f)|S= 0 et si x∈F, on a :
MN (f)(x) = N(M(f)(x)) = 0 car x∈Fet K[f]commutatif
soit NM (f)|F= 0 et finalement NM (f)=0L(E), d’où µf|NM , absurde.
Objectif 3. Montrons que µfsans facteur multiple =⇒fsemi-simple.

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Supposons que µfest sans facteur multiple. Notons µf=P1. . . Proù Pi∈K[X]est unitaire,
irreductible. Soit Fstable par f, construisons un supplémentaire de Fstable par f. Par le lemme
des noyaux, on a :
E=Ker(µf(f)) =
r
L
i=1
Ker(Pi(f)) =
r
L
i=1
Fioù Fi=Ker(Pi(f)) est stable par f.
Considérons g=f|F∈ L(F)bien défini car Fest stable par f. On en déduit que µf(g)=0L(F)
et donc par le lemme des noyaux :
F=
r
L
i=1
Ker(Pi(g)) =
r
L
i=1
(F∩Fi)
En effet, pour i∈[[1, r]], on a :
Ker(Pi(g)) = {x∈F|Pi(f|F)(x) = 0}={x∈F|Pi(f)(x)=0}=Ker(Pi(f)) ∩F=Fi∩F
Pour i∈[[1, r]], on peut considérer fi=f|Fi∈ L(Fi)et on a :
Pi(fi) = Pi(f|Fi)=0L(Fi)=⇒µfi|Pi
Comme Piest irreductible unitaire, on a Pi=µfiet par le premier lemme fi∈ L(Fi)est semi-
simple. Comme Fet les Fisont stables par f, les F∩Fi⊂Fiest stable par fi. Par semi-simplicité
de fi, pour tout i∈[[1, r]] il existe donc un sous-espace Sistable par fi, donc par f(puisque f
et ficoincident sur Fi) tel que Fi= (F∩Fi)⊕Si.
Conclusion : On a donc E=F1⊕F2⊕. . . ⊕Fret donc :
E= (F∩F1)⊕S1⊕. . . ⊕(F∩Fr)⊕Sr
= (F∩F1)⊕. . . (F∩Fr)⊕(S1⊕. . . ⊕Sr)
=F⊕(S1⊕. . . ⊕Sr)
et on a bien construit un supplémentaire de F,f-stable, d’où fsemi-simple.
Application 1. M∈ Mn(R)est semi-simple ssi Mest diagonalisable dans Mn(C).
Démonstration. Si Mest semi-simple, alors µf=P1. . . Proù les Pisont irreductibles unitaires
et deux à deux distincts. Les Pi∈R[X]sont donc deux à deux premiers entre eux sur R[X]
et donc aussi sur C[X](voir gourdon et l’exercice sur la conservation du pgcd par extension de
corps) et étant irreductibles, ils sont à racines simples sur C. Ainsi α∈Cune racine de µMest
nécessairement racine simple de µM. On peut le montrer directement : sans perte de généralité,
supposons que P1(α)=0, alors pour j6= 1, il existe U, V ∈R[X]tels que UP1+V Pj= 1 et donc
U(α)P1(α) + V(α)Pj(α) = 1 =⇒V(α)Pj(α) = 1 et Pj(α)6= 0. Ainsi, µMest scindé à racines
simples sur Cet Mest diagonalisable dans Mn(C).
Inversement, si Mest diagonalisable dans Mn(C), on a µM∈R[X]est scindé à racines
simples sur C, donc à fortiori µMest sans facteur carré dans R[X]et Mest semi-simple.
Application 2. Si M∈ Mn(R)est semi-simple, alors Mest semblable dans Mn(R)à une
matrice diagonales par blocs D0
0Boù Dest diagonale et Best constitué de blocs diagonaux
de la forme α−β
β α ∈ M2(R).
Démonstration. :
Méthode 1. On raisonne par récurrence sur n.
Si n= 1, le résultat est immédiat. Supposons le résultat vérifié pour tout matrice Msemi-
simple de Mk(R)pour k≤n−1. Si µMest scindé sur R, alors Métant semi-simple, µMest
finalement scindé à racines simples et donc diagonalisable, d’où le résultat. Supposons donc µM
non scindé, il existe alors P=X2+aX +birreductible de degré 2tel que P|µMavec Pque
l’on peut écrire sous forme réduite (X−α)2+β2avec β > 0. Ainsi, µM= [(X−α)2+β2]Q
et on pose E=Ker((M−αId)2+β2Id). Comme Q|µMavec µMminimal, on en déduit que
(M−αId)2+β2Id n’est pas inversible, car sinon on aurait :
[(M−αId)2+β2Id]−1µM(M) = Q(M)=0

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absurde. D’où E6={0}, considérons e1∈Etel que e16= 0 et posons e2=1
β(M−αId)e1. Alors
Me1=αe1+βe2et comme e1∈E=Ker((M−αId)2+β2Id)on a aussi :
(M−αId)(M−αId)(e1)
β=−βe1=⇒(M−αId)(e2) = −βe1=⇒Me2=αe2−βe1.
Montrons que (e1, e2)est libre. D’après ce qui précède on aura alors F=vect(e1, e2)stable par
uMl’endomorphisme canoniquement associé à Met dans la base (e1, e2)de F, on aura :
Mat(e1,e2)uM|F=α−β
β α 
Or, e1et Me1sont Rindépendants, sinon on aurait Me1=λe1avec λ∈Ret :
0 = [(M−αId)2+β2Id]e1= [(λ−α)2+β2]e1=⇒(λ−α)2+β2= 0
absurde, car β > 0. Donc (e1, M e1)est libre et naturellement (e1, e2)également. Ainsi, il vient :
Mat(e1,e2)uM|F=α−β
β α 
Comme Mest semi-simple, il existe alors un supplémentaire G,uM-stable et par hypothèse de
récurrence, une base Bde Gdans laquelle MatBuM|G=D0
0Bde la forme souhaitée dans
l’énoncé de l’application. Ainsi, par concaténation des bases de Fet Gprécédentes, on obtient
une base de Edans laquelle la matrice de uMest de la forme souhaitée, d’où le résultat.
Application 3. Dunford généralisé
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie net u∈ L(E). Alors il existe un unique couple
d’endomorphismes (s, n)tel que :
1. sest semi-simple et nest nilpotent.
2. u=s+net s◦n=n◦s.
Démonstration. Voir Objectif Agregation page 160
Références :
•Objectif Agregation.
•Gourdon Algèbre.