OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG – 2011–2012

OUTILS MATHEMATIQUES
L1 SVG – 2011–2012
Paul Broussous

Paul Broussous
Maître de Conférences, Département de Mathématiques
Contact :
Laboratoire de Mathématiques, Site du Futuroscope, Bureau 013
(Prendre rendez-vous par mail ou téléphone)
Téléphone : 05 49 49 69 17
Fax : [phone]
Site Web :
http ://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/ broussou/

Chapitre I. Rappels de Trigonométrie
Angles et mesures
On munit le plan euclidien d’un repère orthonormé (0,~ i,~ j). Le cercle de
centre 0et de rayon 1est appelé le cercle trigonométrique.
O
y
x
i
j
Un angle orienté est une paire de demi-droites ((AX),(AY )). On visualise
l’angle en imaginant le mouvement de l’axe (0X)se rabattant sur l’axe (0Y)
X
A
Y
Deux angles sont dits équivalents si l’on peut appliquer l’un sur l’autre
par une rotation suivie d’une translation.
1

A
X1
Y1
X2
Y2
Rotation
A X3
Y3
Translation
Un angle non orienté est la donnée d’une paire de demi-droites ((AX),(AY ))
où l’ordre ne compte pas : on ne distingue pas ((AX),(AY )) de ((AY ),(AX)).
Un tel angle est noté \ XAY . Par exemple : un triangle (ABC)possède trois
angles non orientés [ BAC (angle en A), [ ABC (angle en B) et [ BCA (angle
en C).
Etant donné un angle orienté, on peut toujours le remplacer par un angle
équivalent de la forme ((0x),(0M)), où Mest un point bien déterminé du
cercle trigonométrique.
O
y
x
i
j
M
Y
I
2

On appelle mesure de l’angle ((0x),(0M)),Métant un point du cercle
trigonométrique, la longueur d’un chemin sur le cercle reliant le point Iau
point M. La longueur est comptée positivement si l’on se déplace dans le
sens inverse des aiguilles d’une montre, négativement sinon. La mesure d’un
angle n’est définie qu’à un multiple de 2πprès, car on peut toujours changer
un chemin allant de IàMen rajoutant des tours de cercle complets (un
tour de cercle mesurant 2π).
Il existe une unique mesure appartenant à l’intervalle [0,2π[: c’est la
longueur de l’arc de cercle (MI)parcouru dans le sens trigonométrique.
Plus généralement, étant donné un intervalle semi-ouvert de longueur 2π:
]a, a + 2π]ou bien [a, a + 2π],
tout angle orienté possède une unique mesure dans cet intervalle.
Pour insister sur le fait que la mesure d’un angle n’est pas unique, on
écrit :
mesure de ((0x),(0M)) = nombre + 2kπ , k ∈Z
ou bien
mesure de ((0x),(0M)) = nombre modulo 2π .
L’entier relatif kest à ajuster si l’on veut que la mesure tombe dans un
intervalle fixé à l’avance.
Méthodologie Comment réduire une mesure d’angle dans un intervalle
de longueur 2πfixé à l’avance.
Cas général. On soustrait, ou on ajoute, 2πà la mesure, suffisament de fois
pour tomber dans l’intervalle choisi. Exemple : soit un angle de mesure 5,37π.
On veut une autre mesure dans l’intervalle [−π, π[. On écrit 5,37π, qui est à
droite de l’intervalle. On calcule 5,37π−2π= 3,37π(toujours hors intervalle)
→3,37π−2π= 1,37π(toujours hors intervalle) →1,37π−2π=−0,63π,
qui est cette fois-ci dans le bon intervalle !
Cas d’un multiple fractionnaire de π. Explication sur un exemple. On part
d’une mesure de 1515
11 π. L’idée est d’effectuer la division euclidienne de 1515
par 11 :
1515 = 137 ×11 + 8
En divisant cette égalité par 11 et en la multipliant par π, on obtient :
1515
11 π= 137π+8 11π
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