OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG – 2011–2012

OUTILS MATHEMATIQUES
L1 SVG – 2011–2012
Paul Broussous
Paul Broussous
Maître de Conférences, Département de Mathématiques
Contact :
Laboratoire de Mathématiques, Site du Futuroscope, Bureau 013
(Prendre rendez-vous par mail ou téléphone)
Téléphone : 05 49 49 69 17
Fax : 05 49 49 69 01
Site Web :
http ://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/ broussou/
Chapitre I. Rappels de Trigonométrie
Angles et mesures
On munit le plan euclidien d’un repère orthonormé (0,~i, ~j). Le cercle de
centre 0 et de rayon 1 est appelé le cercle trigonométrique.
y
j
x
O
i
Un angle orienté est une paire de demi-droites ((AX), (AY )). On visualise
l’angle en imaginant le mouvement de l’axe (0X) se rabattant sur l’axe (0Y )
Y
X
A
Deux angles sont dits équivalents si l’on peut appliquer l’un sur l’autre
par une rotation suivie d’une translation.
1
Rotation
Y1
A
111111111
000000000
000000000 X1
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000000Y2
111111111111
000000000
111111111
000000000000
111111111111
000000000
111111111
000000000000
111111111111
000000000
111111111
000000000000
111111111111
000000000
111111111
000000000000
111111111111
000000000
111111111
000000000000
111111111111
000000000
111111111
000000000000X2
111111111111
000000000
111111111
Translation
Y3
A
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
X3
Un angle non orienté est la donnée d’une paire de demi-droites ((AX), (AY ))
où l’ordre ne compte pas : on ne distingue pas ((AX), (AY )) de ((AY ), (AX)).
\ . Par exemple : un triangle (ABC) possède trois
Un tel angle est noté XAY
[ (angle en A), ABC
[ (angle en B) et BCA
[ (angle
angles non orientés BAC
en C).
Etant donné un angle orienté, on peut toujours le remplacer par un angle
équivalent de la forme ((0x), (0M)), où M est un point bien déterminé du
cercle trigonométrique.
Y
y
M
j
x
O
i
I
2
On appelle mesure de l’angle ((0x), (0M)), M étant un point du cercle
trigonométrique, la longueur d’un chemin sur le cercle reliant le point I au
point M. La longueur est comptée positivement si l’on se déplace dans le
sens inverse des aiguilles d’une montre, négativement sinon. La mesure d’un
angle n’est définie qu’à un multiple de 2π près, car on peut toujours changer
un chemin allant de I à M en rajoutant des tours de cercle complets (un
tour de cercle mesurant 2π).
Il existe une unique mesure appartenant à l’intervalle [0, 2π[ : c’est la
longueur de l’arc de cercle (MI) parcouru dans le sens trigonométrique.
Plus généralement, étant donné un intervalle semi-ouvert de longueur 2π :
]a, a + 2π] ou bien [a, a + 2π] ,
tout angle orienté possède une unique mesure dans cet intervalle.
Pour insister sur le fait que la mesure d’un angle n’est pas unique, on
écrit :
mesure de ((0x), (0M)) = nombre + 2kπ , k ∈ Z
ou bien
mesure de ((0x), (0M)) = nombre modulo 2π .
L’entier relatif k est à ajuster si l’on veut que la mesure tombe dans un
intervalle fixé à l’avance.
Méthodologie Comment réduire une mesure d’angle dans un intervalle
de longueur 2π fixé à l’avance.
Cas général. On soustrait, ou on ajoute, 2π à la mesure, suffisament de fois
pour tomber dans l’intervalle choisi. Exemple : soit un angle de mesure 5, 37π.
On veut une autre mesure dans l’intervalle [−π, π[. On écrit 5, 37π, qui est à
droite de l’intervalle. On calcule 5, 37π−2π = 3, 37π (toujours hors intervalle)
→ 3, 37π − 2π = 1, 37π (toujours hors intervalle) → 1, 37π − 2π = −0, 63π,
qui est cette fois-ci dans le bon intervalle !
Cas d’un multiple fractionnaire de π. Explication sur un exemple. On part
1515
π. L’idée est d’effectuer la division euclidienne de 1515
d’une mesure de
11
par 11 :
1515 = 137 × 11 + 8
En divisant cette égalité par 11 et en la multipliant par π, on obtient :
1515
8
π = 137π + π
11
11
3
On tient compte du fait que 137 est impair : 137π = 136π + π = 68 × 2π + π.
Ainsi
1515
8
π = π + π + multiple de 2π .
11
11
19
π. Pour une
Donc une mesure de l’angle dans [0, 2π] est (1 + 8/11)π =
11
19
3
mesure dans [−π, π[, on prendrait :
π − 2π = − π.
11
11
Finalement, si on veut visualiser l’angle, le mieux est de convertir cette
dernière mesure en radians (sachant que π radians correspond à 180◦ ). On
3
obtient − 180 ≃ −49, 09◦.
11
y
49,09°
j
O
x
i
I
Rappelons que le degré est une mesure d’angle telle que
360◦ vaut 2π radians .
Attention ! Lors de calculs de trigonométrie avec une calculatrice électronique, toujours vérifier que l’on travaille avec la bonne unité !
L’angle ((0x), (0x)) est dit nul, si sa mesure est 0 modulo 2π. L’angle
((0x), (0y)) est dit droit, si sa mesure est π/2 modulo 2π. Si les deux axes
d’un angle sont parallèles, il est dit plat, sa mesure est alors π modulo 2π.
Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures vaut
π/2 modulo 2π. Dans un triangle rectangle, les angles non droits (convenablement orientés) sont complémentaires.
4
C
π/2− x
x
A
B
Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures est
π modulo 2π.
Fonctions cosinus et sinus.
Les fonctions cos et sin sont définies pour tout nombre réel. Elles vérifient
les propriétés fondamentales suivantes :
cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x) ,
pour tout nombre réel x. Plus généralement :
cos(x + 2kπ) = cos(x) et sin(x + 2kπ) = sin(x)
pour tout réel x et tout entier relatif k. On dit que les fonctions cos et sin
sont périodiques de période 2π, ou encore 2π-périodiques.
En particulier si ((AX), (AY )) est un angle de mesure x, alors cos(x) et
sin(x) ne dépendent pas du choix de la mesure x. Ce sont le cosinus et le
sinus de l’angle.
Si un angle est donné en position standard ((0x), (0Y )) sur le cercle trigonométrique et si M est le point d’intersection de (0Y ) avec le cercle, alors
M a pour abscisse cos(x) et ordonnée sin(x).
5
Y
y
x
M
sin(x)
j
x
O
i
cos(x)
Il est conseillé de connaître par coeur les valeurs des angles simples :
Angle Cosinus
0
1
√
3
2
√
2
2
1
2
1
2
√
2
2
√
3
2
0
−1
1
1
0
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
Sinus
0
Identités trigonométriques.
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
(1)
cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x)
(2)
(La fonction cos est paire, la fonction sin est impaire.)
π
π
− x) = sin(x) et sin( − x) = cos(x)
(3)
2
2
(Le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires sont échangés.)
cos(
cos(x + π) = − cos(x) et sin(x + π) = − sin(x)
6
(4)
(Ajouter π à un angle se visualise sur le cercle trigonométrique par une
symétrie centrale.)
Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables en tout nombre réel :
cos′ (x) = − sin(x) et sin′ (x) = cos(x)
(5)
(Bien noter la dyssymétrie de ces formules).
Il est amusant de noter que dériver revient à ajouter
cos(x +
π
:
2
π
π
) = − sin(x) et sin(x + ) = cos(x)
2
2
(6)
Angle double :
cos(2x) = cos2 x − sin2 x et sin(2x) = 2 cos(x) sin(x)
(7)
Formules d’addition :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a)
(8)
(9)
(10)
(11)
Formules de linéarisation :
1 + cos(2a)
2
1
−
cos(2a)
sin2 (a) =
2
cos2 (a) =
1
cos(a − b) + cos(a + b)
2
1
cos(a) sin(b) =
sin(a + b) − sin(a − b)
2
1
cos(a − b) − cos(a + b)
sin(a) sin(b) =
2
cos(a) cos(b) =
7
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Equations trigonométriques
et
Elles se résolvent en utilisant les deux principes suivants :

 x = y + 2kπ
cos(x) = cos(y) si et seulement si
ou

x = −y + 2kπ

y + 2kπ
 x =
sin(x) = sin(y) si et seulement si
ou

x = π − y + 2kπ
Exemple. Trouver les solutions de cos(x) =
] − π, π[.
1
qui se trouvent dans l’intervalle
2
1
= cos(π/3). Première possibilité : x = π/3 + 2kπ. On a
2
−π < π/3 + 2kπ < π ssi −4π/3 < 2kπ < 2π/3 ssi −2/3 < k < 1/3
ssi k = 0. Donc x = π/3. Deuxième possibilité : x = −π/3 + 2kπ. On a
−π < −π/3 + 2kπ < π ssi −2π/3 < 2kπ < 4π/3 ssi −1/3 < k < 2/3 ssi
k = 0. On trouve x = −π/3. Les solutions du problème sont donc ±π/3.
On écrit
Il est conseillé d’essayer plutôt, quand c’est possible de faire un raisonnement géométrique en visualisant le cercle trigonométrique :
+π/2
π/3
1/2
0
1
−π/3
−π/2
Méthodologie Déterminer une mesure d’angle connaissant son cosinus et
son sinus. En termes mathématiques, il s’agit de trouver un nombre réel θ tel
que cos(θ) = u et sin(θ) = v sont fixés. Ce problème à une unique solution
à un multiple de 2π près, c’est-à-dire que la solution est unique si on impose
qu’elle appartient à un intervalle semi-ouvert de longueur 2π fixé. Pour que
ce problème ait une solution, il faut et il suffit que u2 + v 2 = 1.
8
La méthode est la suivante. On prend une des deux équations et on la
résout, ce qui donne deux valeurs possibles modulo 2π. L’autre équation
permet de trancher entre ces deux valeurs. Il est fortement conseillé de faire
un dessin pour visualiser dans quel quart de cercle on se trouve, et de se
servir de la table des petits angles.
Exemple. Résoudre le système :
1
cos(θ) =
2√
sin(θ) = − 23
où θ ∈ [0, 2π[.
Ici le cosinus est > 0 et le sinus est < 0, on se trouve donc dans le
quatrième quart de cercle :
1er quart :
2nd quart :
cos >0 et sin >0
cos<0 et sin>0
1/2
3è quart :
4è quart :
cos<0 et sin <0
cos>0 et sin <0
L’équation cos(θ) = 1/2 a pour solutions θ = π/3 + 2kπ, ou θ = −π/3 +
2kπ. Celles qui donnent la bonne valeur du sinus sont −π/3+2kπ. La solution
qui se trouve dans [0, 2π[ est −π/3 + 2π = 5π/3.
9
La fonction tangente
La fonction tangente est définie par la relation :
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
Elle est définie lorsque cos(x) ne s’annule pas, c’est-à-dire pour x 6= π/2+kπ.
La fonction tangente est impaire :
tan(−x) = − tan(x)
Elle est périodique de période π :
tan(x + π) = tan(x)
La fonction tangente est continue et dérivable sur son domaine de définition, de dérivée donnée par
tan′ (x) =
1
cos2 (x)
= 1 + tan2 (x) .
Visualisation géométrique d’une tangente. On considère un angle x que
l’on inscrit comme d’habitude sur le cercle trigonométrique. On écrit le Théorème de Thalès pour les droites sécantes (OI) et (OQ) et les droites parallèles
(verticales) (P M) et (IQ). Les rapports du type
grand segment
petit segment
sont tous égaux :
c’est-à-dire
d’où QI =
0I
QI
=
MP
OP
QI
1
=
sin(x)
cos(x)
sin(x)
= tan(x).
cos(x)
10
Q
M
t
Angle x
c=cos(x)
s=sin(x)
t=tan(x)
s
x
O
c
P
I
Formulaire de la fonction tangente.
Formule d’addition :
tan(a + b) =
tan(a)+tan(b)
1−tan(a) tan(b)
Angle double :
tan(2a) =
2 tan(a)
1−tan2 (a)
Expression du cosinus, sinus et tangente en fonction de l’angle moitié.
En posant t = tan(a/2), on a :
cos(a) =
1−t2
1+t2
, sin(a) =
2t
1+t2
, tan(a) =
2t
1−t2
Résolution d’équations
On résout les équations faisant intervenir la fonction tangente, en utilisant
le principe suivant :
tan(x) = tan(y) si et seulement si x = y + kπ .
11
Exemple. Résoudre l’équation
tan(3x −
π
) = tan(x)
3
Donner les solutions comprises dans l’intervalle [0, 2π[.
Solution. On remarque que pour cette équation ait un sens, il faut que x 6=
π/2 modulo π et 3x − π/3 6= π/2 modulo π, c’est-à-dire x 6= 5π/18 modulo
π/3.
On écrit 3x − π/3 = x + kπ, où k est un entier relatif. Ceci s’écrit de
façon équivalente : 2x = π/3 + kπ, c’est-à-dire x = π/6 + kπ/2. On a
0 6 π/6 + kπ/2 < 2π
ssi
−π/6 6 kπ/2 < (11/6)π
ssi
−1/3 6 k < 11/3 = 3, 666666...
Donc k peut valoir 0, 1, 2 ou 3. Ce qui donne x = π/6, ou π/6 + π/2 = 2π/3,
ou 7π/6, ou 5π/3.
12