Formules de Fresnel pour une onde OPPMR:

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Université du Maine - Faculté des Sciences
Electromagnétisme
Formules de Fresnel pour une onde OPPMR:
!"
Coefficients de Fresnel pour la réflexion et la transmission en fonction de la polarisation de l’onde.
!"
Aspects énergétiques accompagnant le phénomène de réflexion et de transmission.
!
1- Champ électrique E i perpendiculaire au plan d’incidence ( r# , t # )
z
Ei
ki
$
$
i
kr
r
y
$
kt
t
Composantes des vecteurs d’ondes
!
k i & k i (0, sin $ i ,% cos $ i );
!
k r & k i (0, sin $ i , cos $ i );
!
k t & k t (0, sin $ t ,% cos $ t )
!
La continuité des composantes tangentielles (à l’interface) du champ E s’écrit pour t = 0 et z = 0 ainsi que y :
Eoi ' Eor & Eot
La continuité des composantes tangentielles (pas de courant superficiel) et normales du champ magnétique permet d’écrire en
général :
! !
!
Bi ' Br & B t
z &0
Les champs magnétiques s’expriment sous la forme :
!
!
!
k i,r,t ) Ei,r,t
Bi,r,t &
(
Avec les champs électriques orientés dans la direction Ox , on en déduit :
! !
! !
!
!
!
!
!
!
k
k
Bi & i (sin $iu y % cos $iu z ) ) E0ie j( (t %k i .r )u x & %E0i i e j( (t %k i .r ) (cos $iu y ' sin $iu z ) et de même :
(
(
! !
! !
!
!
!
!
!
!
k
k
Br & i (sin $iu y ' cos $iu z ) ) E0r e j( (t %k r .r )u x & E0r i e j( (t %k r .r ) (cos $iu y % sin $iuz )
(
(
! !
! !
!
!
!
!
!
!
k
k
B t & t (sin $ t u y % cos $ t u z ) ) E0 t e j( (t %k t .r )u x & %E0 t t e j( (t %k t .r ) (cos $ t u y ' sin $ t u z )
(
(
En projetant selon Oz (direction normale) :
k i E 0i cos $ i % k i E 0r cos $ i & k t E 0 t cos $ t
Avec, E oi ' E or & E ot on en déduit les coefficient de réflexion et de transmission :
Eot
2 cos $i
k
cos $i ' 2 cos $ t
k1
De la relation du sinus : k i sin $i & k t sin $t ,on déduit pour l’incidence avec le champ électrique normale au plan d’incidence :
t# &
Eoi
&
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t# &
Electromagnétisme
2 cos $i sin $ t
sin($i ' $ t )
Le coefficient de réflexion :
E 0r
sin($ t % $ t )
&%
E0i
sin($i ' $ t )
r# &
Discussion des formules de Fresnel pour le champ électrique normale au plan d’incidence.
Les coefficients de réflexion et de transmission s’expriment uniquement en fonction de $i et des indices n1 et n2.
Analysons le comportement de r# et t # pour une incidence proche de la normale ( $i faible).
!"
Cas : n1<n2
r# &
n1 % n2
n1 ' n 2
et
t# &
2n1
n1 ' n2
Représentation des coefficients
1
t
245
n1-n2
$i
r
n1+n2
-1
Problème de déphasage
r# est négatif pour tout angle d’incidence. Ceci entraîne un déphasage du champ réfléchi par rapport au champ incident
(retournement du champ à l’interface). t # étant positif , il n’y a pas de déphasage entre le champ incident et le champ
transmis.
!"
Cas : n1 > n2
La relation de sinus indique l’existence d’un angle limite d’incidence ( $ c / sin $ c &
n2
). Au delà de $c , il y a réflexion totale.
n1
La transition entre réflexion+transmission à réflexion pure s’effectue sans discontinuité (voir une expérience avec réflexion
interne par un prisme). Or l’absence de transmission remet en cause les relations de passages aux interfaces. On re-formule le
coefficient de réflexion :
1
r# &
avec sin $c &
nt
ni
;
E0r
&
E0i
/n 2
,2
cos $i % - t2 % sin2 $i *
-n
*
. i
+
1
/n 2
,2
cos $i ' - t2 % sin2 $i *
-n
*
. i
+
n
2
0 $i 0 $c 1 sin $i 0 t
2
ni
Le coefficient de réflexion devient dans ce cas complexe.
!
! !
!
Le champ électrique de l’onde transmise est E t & E ot e j( (t % k t .r )
!
avec : k t & k t (0, sin $ t ,% cos $ t )
et donc :
/n
k t sin $ t & k t -- i
. nt
,
* sin $i
*
+
/
,
2
/
,
2
n
n
et k t cos $t & k t 1 % sin2 $t & k t 1 % -- i ** sin2 $i & 3 jk t -- i ** sin2 $i % 1
n
n
. t+
. t+
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Ainsi le champ électrique transmis est de la forme :
n
j( (t %k t i sin $iy )
!
!
nt
% 6z
E t & E ot e e
Nous avons supprimé le signe (+) qui est physiquement inacceptable.
Ainsi, l’amplitude de l’onde décroît de façon exponentielle selon la direction Oz (profondeur dans le second milieu). L’onde
ainsi crée « ONDE EVANESCENTE » avance dans la direction de l’axe Oy et s’atténue dans la direction Oz. C’est une onde
de surface dont l’amplitude décroît très rapidement sur une longueur de l’ordre de la longueur d’onde du rayonnement.
!
2- Champ électrique E i contenu dans le plan d’incidence ( r // , t // )
Coefficients de Fresnel
z
ki
$
Ei
$
i
kr
r
Er
y
Et
$
kt
t
Composantes des vecteurs d’ondes
!
k i & k i (0, sin $i ,% cos $i );
!
k r & k i (0, sin $i, cos $i );
!
k t & k t (0, sin $ t ,% cos $t )
Composantes du champ électrique
! ! 0
!
Ei & %E0ie j( (t % k i .r ) cos $i ;
! ! 0
!
Er & E0r e j( (t %k r .r ) cos $i
sin $i
;
! ! 0
!
E t & %E 0 t e j( (t % k t .r ) cos $ t
% sin $i
sin $ t
!
La continuité des composantes tangentielles (à l’interface) du champ E s’écrit pour t = 0 et z = 0 ainsi que y :
7
8
cos $i E 0i % E0r & cos $ t E0 t
La continuité de la composante normale de l’induction électrique : 9i (E0i sin $i ' E0r sin $i ) & 9 t E0 t sin $ t
Et compte tenu de la loi des sinus :
E oi ' E or &
n2
E
n1 ot
On en déduit les coefficients de réflexion et transmission :
cos $ t
=
:1 % r// & cos $ t //
:
i
<
n
:1 ' r & 2 t
//
//
:;
n1
r// &
tg( $i % $ t )
2 sin $t cos $i
et t // &
tg($i ' $ t )
sin($i ' $t ) cos( $i % $t )