cours_1_oscillateur_harmonique

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L’oscillateur harmonique
Ce premier chapitre va nous permettre de comprendre pourquoi une masse
oscillante coulissant sans frottement et rappelée par un ressort constitue un
oscillateur de période invariable, c’est à dire une base de temps ou plus
communément une montre.
La montre mécanique utilise en fait un ressort hélicoïdal, plutôt qu’un ressort spiral, et son mécanisme est en fait
bien plus complexe que notre oscillateur d’étude; La recherche d’une montre de marine fiable a été un enjeu
considérable au 18ème siècle, car le calcul de la longitude en mer en regardant la position des astres n’est possible
que si on connait exactement l’heure. Harrison, un artisan ébéniste du Yorkshire, résolut ces problèmes de
précision avec l'invention du chronomètre H4, bien plus petit que les précédents. Le H4 ressemblait beaucoup à
une grande montre de poche, d'un diamètre de 12 cm. Il le soumit en 1761, obtenant le prix de 20 000 £ qui avait
été offert par le gouvernement britannique en 1714. Il utilisait un balancier rapide contrôlé par un ressort spiral
avec compensation de température (ce système resta celui utilisé en général jusqu'à ce que l'apparition
d'oscillateurs électroniques stables permette la fabrication de montres portables très précises à un coût
abordable). Harrison fit publier son travail en 1767 dans un livre intitulé Principles of Mr Harrison's time-keeper.
On décrit ici, le modèle d’oscillateur le plus courant, une masse accrochée à un
ressort et on résout l’équation différentielle qui résulte de la Relation (ou
Principe) Fondamentale de la Dynamique. La notion d’énergie potentielle est
aussi introduite ainsi que la conservation de l’énergie des systèmes non-
dissipatifs.
I) Force de rappel
1) Expression
Un point matériel M de masse m glisse sur une droite horizontale sans frottement, il est attaché à un ressort sans
masse par une extrémité de ce dernier, l’autre extrémité du ressort étant liée à un point d’accrochage fixe A.
La force que le ressort exerce sur la masse est :
0
00
0
( ) ( ) AM F k AM AM k AM AM U ou U AM
où
k est une constante positive appelée raideur du ressort et où AM est la longueur du ressort et AM0 sa la longueur à
vide .
La longueur à vide d’un ressort est la longueur naturelle du ressort lorsqu’aucune contrainte ne lui est appliquée et
qu’il est au repos.
( AM - AM0 ) est l’élongation du ressort , la force exercée par le ressort sur la masse m est proportionnelle à
l’élongation , on a une loi linéaire entre la cause élongation du ressort et l’effet force de rappel.

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2) Choix d’un repère
Supposons maintenant que le ressort est accroché par son extrémité gauche et que la masse est liée à son extrémité
droite. On peut alors aussi écrire dans le repère d’origine A où l’axe est dirigé de gauche à droite c’est à dire du point
d’accrochage vers la masse oscillante :
00
0
0
00
( ) ( )
est un vecteur unitaire dirigé vers la droite du point d'accrochage vers la masse oscillante
est la longueur du ressort à vide du re
x
x
F k AM AM U k x x u
AM
ou U u
AM
xl ssort est la longueur du ressortet x l
Si on prend une origine O en M0 et qu’on note
0,Xx
X M M u u
alors
X
F k X u
x
u
A
M

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3) Convention de représentation graphique
Deux conventions sont alors possibles :
Si on dessine
F
vers la droite de A vers M alors on sous entend que l’on travaille avec la convention
donc F = -k X
XX
F Fu kXu
Si on dessine
F
vers la gauche alors on sous entend que l’on travaille avec la convention
on en déduit alors que F = k X
XX
F F u comme on a toujours F kXu
C’est avec la première convention que nous choisissons de travailler
4) Position d’équilibre
Définition : Une position d’équilibre est une position telle que si on y laisse notre point matériel sans vitesse initiale,
il y reste ; pour cela il est nécessaire qu’en ce point la somme des forces qui s’applique au point matériel soit nulle,
c’est le cas en la position X=0 pour laquelle le ressort possède une longueur égale à sa longueur à vide.
5) Position d’équilibre stable
Définition : Une position d’équilibre est dite stable si lorsque l’on s’en écarte un petit peu la résultante des forces qui
s’exercent sur le point matériel tend à le ramener vers cette position d’équilibre, ce qui revient à dire que l’on a une
force de rappel vers la position d’équilibre. Dans le cas de notre point matériel fixé à un ressort la force de rappel du
ressort nous assure donc de la stabilité de la position d’équilibre X=0. Cette force de rappel est linéaire puisque
proportionnelle à l’élongation ou écart à la position d’équilibre.
X
u
A
M
F
X
u
A
M
F

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II) Equation du mouvement
1) Application de la relation fondamentale de la dynamique
La Relation Fondamentale de la Dynamique RFD donne
0
qui projetée sur la verticale donne R+P=0 0 0 0
()
' dans le repère dont l'origine est A et comme x = X + l
z z z z
dp F R P
dt
Ru Pu avecP mg Ru mgu R mg
dx
dm d
dt
et sur l horizontale donne kX
dt
k dx d²x
on obtient m X = - k X ou X + X =0 ( avec la notation compacte : = x= )
m dt dt²
x dX
dt dt
x
Il s’agit d’une équation différentielle, car elle fait intervenir une dérivée ( une dérivée est un rapport de différences
selon la méthode d’Euler (dX/dt ) X[i+1]-X[i])/(t[i+1]-t[i]) ou selon sa limite mathématique)
Il s’agit ici d’une équation différentielle d’ordre 2 car la dérivée est du deuxième ordre.
Remarque : on aurait pu obtenir cette équation directement dans le référentiel galiléen dont le repère aurait pour
origine le point M0 car la force est la même dans ces deux repères, elle est invariante.
X
u
A
x
X
M
X
u
A
M0=O
R
P
X
u
A
M
F

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2) Equation canonique de l’oscillateur harmonique
00
0
-1 -1
0
² en choisissant la détermination positive
²0
est une pulsation et a pour dimension un temps et pour unité la s
afin que les deux termes ajoutés aient meme dimen
kk
On pose soit
mm
et alors X X
ou
-1
0
0
000
sion
on pose encore qui est la fréquence exprimée en s
2
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on pose encore T = qui sera on le verra ci-dessous la période de l'oscillation
ou en Hz
Il s’agit d’une équation différentielle
3) Solution et isochronisme des oscillations
Pour rechercher la solution des équations différentielles des techniques existent que l’on développera plus tard,
contentons nous pour l’instant de vérifier que certaines expressions sont bien solutions.
a) Vérifions que les deux solutions suivantes conviennent
00
0
( ) cos( ) sin( )
( ) cos( )
X t A t B t
X t C t
Il suffit de dériver deux fois
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) cos( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) ( ) ²cos( ) ²sin( ) ( ) ² ( ) 0
( ) cos( ) ( ) sin( ) ( ) ²cos( ) ( ) ² ( ) 0
X t A t B t X t A t B t X t A t B t X t X t
X t C t X t C t X t C t X t X t
La première forme exprime la solution comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire du temps
(Vous verrez en cours de mathématiques que toute fonction peut être décomposée ainsi
( ) ( ) ( ) ( )
() 22
f x f x f x f x
fx
)
La deuxième forme met en avant l’amplitude du mouvement C , est la phase à l’instant initial puisque l’argument
du cosinus
0
()t
est la phase instantanée
Règle : tout argument de fonction se doit d’être sans dimension les fonctions ne mangent que des nombres pas des
quantités physiques, c’est bien le cas ici
0t
a pour dimension [] T/T=1,
la Phase initiale
est sans dimension
puisqu’il s’agit d’un angle
Rappel définition d’un angle dans longueur de l’arc sur rayon [angle]=L/L=1 ( cas de la circonférence)
Règle : Toute fonction donne un résultat sans dimensions se sont donc A,B et C qui portent la dimension longueur
Remarque : le terme harmonique doit être ici compris comme un synonyme de sinusoïdal