Le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non

I Cas général
A) Enoncé
On considère un référentiel R galiléen, absolu et un référentiel R’ non galiléen,
relatif.
Dans R galiléen : on a
][][ ext Fam a
Et
][][][][ cera amamamam  
Donc
 ][][
ext
,,
][][][][][][][
ciei F
c
F
ecear amamFamamamam 
Soit
][][][][ ,,ext cieir FFFam 
.
B) Expression des forces d’inertie
1) D’entraînement
M
ei
F,
m
)()(
,MamMamF ceei
.
2) De Coriolis
recci vmamF 
 2
,
C) Aspect énergétique
Force d’inertie de Coriolis :
0
, ci
F
W
(ne dérive pas d’une énergie potentielle)
Force d’inertie d’entraînement : en général,
0
, ei
F
W
. (parfois…)
II Cas particuliers
A) R’ en translation par rapport à R.
1) Forces d’inertie d’entraînement
][][ ,eei amF 
.
e
a
est uniforme : on a
)'(Oaa ae
, donc
),( trae
.
G
e
aM
e
am
(La force d’inertie est proportionnelle aux masses)
2) Forces d’inerties de Coriolis
0
, ci
F
(car
0 e
)
3) Application : pendule pesant dans un référentiel accéléré
O
G
x
u
y
u
z
u
cte
e
a
xee uaa  
.
Dans le référentiel R’, le système {pendule} est soumis aux actions :
Le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen

][P
,
][R
,
][ ,ei F
.
 Principe fondamental de la dynamique :
- Théorème du moment cinétique par rapport à
Oy
, fixe dans R’ :
cossin lmamglJ e
.
- Peut-on appliquer le théorème de conservation de l’énergie mécanique ?
][P
dérive d’une énergie potentielle
][R
ne travaille pas dans R’.
)(][ ,Gexeci xmaumaF 
. (
sinlxG
)
Donc
ctesincos
2
12
lmamglJ e
Et en dérivant
0cossin  lmamglJ e
.
 Equilibre :
- Condition nécessaire :
0
, soit
g
ae
tan
.
- Ou
0cossin  lmamgl
d
dE
e
p
(d’où la même relation)
 Stabilité :
 e
On a
0sincoscossin 
eeeeee lmalmamglmglJ
Soit
0)tan1(cos
tan
e
e
e
e
g
a
mglJ
Donc
0
cos 
e
mgl
J
.
Si
0cos 
e
, la position est stable, sinon elle est instable.
B) R’ en rotation autour de fixe dans R.
x
u
y
u
z
u
x
u'
y
u'
z
u'
z
u'
r
u
u
M
1) Forces d’inertie
ei
F,
:
).( 2
,
ururmamF reei
(
r
umr 
2
: force centrifuge)
rzrzreci umrurmuzururumvmF 
 .2.2)...().(22
,
2) Exemples
On cherche
l
, vitesse angulaire à partir de laquelle le bonhomme reste
collé à la paroi si on retire le plancher.

- Etude dimensionnelle :
),,,( gmfR
l
;
][][ LR 
,
1][ f
,
][][ Mm 
,
2
]][[][  TLg
.
On peut donc prévoir une relation de la forme
R
g
f
l)(
, où est une
fonction décroissante de f.
- Dans R terrestre :
Théorème de la résultante dynamique :
RPGam 
)(
, soit
RPuRm r
 .
2
Tmg
NRm
0
2
Donc
mgT
RmN 2
.
La condition s’écrit donc
fNT
, soit
Rmfmg 2
.
Ainsi,
Rf
g
l
.
- Dans R’ lié au cylindre :
Le théorème de la résultant dynamique s’écrit ici :
RFPGam ei
 ,
)(
soit
NTuRmgm r
 .0 2
, et on retrouve ensuite
la même relation.
- Ordre de grandeur : pour
m2~R
,
1
s.m10~ g
et
3,0~f
, on a :
1
s.rad4 
l
, et
1
s.m8   Rv ll
(vitesse linéaire du bonhomme)
 Ultra centrifugation :
- Sédimentation :
0
0
Principe fondamental de la dynamique :
vrgmmvfAPam  6)( 0
Soit
vrgmm
dt
vd
m 6)( 0
, donc les particules atteignent une vitesse
maximale
g
r
g
r
r
rgmm
vl
)(
9
2
.6 )(. 6)( 0
2
0
3
3
4
0
Pour
m1~ r
,
33 m.kg10.2~ 
,
33
0m.kg10.1~ 
,
Poiseuille10~3
(SI),
on a
16
3
312 s.m10.2~
10 10.10.10 9
2
~
l
v
.
Comment accélérer le processus ?
Déjà, pour des particules données, tout est fixé sauf
g
.
- Centrifugation :
r
u
Principe fondamental de la dynamique :
ciei FvfFAPam ,,
vrvumuRmmgmm
dt
vd
mzr
...6.2)()( 2
00
En régime permanent :
vrvumuRmmgmm zr
...6.2)()(0 2
00
Donc
r
u
rRmm
v
.6 )( 2
0
(On néglige les composantes selon les autres axes)
Ainsi, le g du point précédent est remplacé par
R
2
. Actuellement, on peut
obtenir une rotation de
3
10
tours par minute ; ainsi,
14 s.rad10~
; pour
cm10~R
, on a
gSIR672 10~10~
.

III Compléments
A) Pendule conique
On suppose l’articulation sans frottements, permettant un mouvement dans un plan
qui tourne à la vitesse angulaire (imposée).
1) Analyse
 On n’a qu’un seul degré de liberté (la rotation de l’axe est imposée)
 Système : {Tige}
 Référentiel : R lié à la tige verticale (en rotation)
 Actions exercées sur la barre :
][P
,
][R
,
][ ,ei F
,
][ ,ci F
.
2) Etude dynamique
 Equation du mouvement :
Théorème du moment cinétique par rapport à
)(Oz
:
z
u
gm
r
u
u
 MJ
, et
3412
222 l
m
l
m
l
mJ 
Donc
M
l
m
3
2
.
-
sin
2
)( l mgPM 
-
0)( 
RM 
(on suppose qu’il n’y a pas de frottements)
-
)( ,ei FM 
:
G
sin
2
2
,l
mF ei 
Attention : le champ est bien proportionnel aux masses, mais
e
a
n’est pas
uniforme, on ne peut donc pas le réduire à un glisseur en G (mais sûrement un peu
plus bas) :
G
r
dr
l
m
dm 
x
x
u
l’élément dm de masse est soumis à la force d’inertie
xei uxdmFd 
.
2
,
.
Donc
drr
l
m
rxdmFdM ei .cossincos)( 222
,
Ainsi,
cos.sin
3
1
3
cossin)( 22
3
2
,ml
l
l
m
FM ei 

(Remarque : on a
xx
l
ei umlurdr
l
m
F
.sin
2
1
.sin 2
0
2
,
, on a donc un
glisseur appliqué au point situé aux 2/3 de la barre)
-
)( ,ci FM 
:
La vitesse relative d’un élément de la barre est dirigé selon
u
.
Ainsi,
re v
est dirigé selon
z
u
.
Donc
0)( ,
ci
FM 
. La force d’inertie de Coriolis n’a donc aucune influence
sur le mouvement (mais elle en a une sur l’usure de l’axe)
Ainsi,
sin
2
cossin
32
2l
mg
ml
J
, ou
)cos(sin 22 c
avec
l
g
c2
3
 Equilibre :
0)cos(sin 22  c
-
0sin 
, et
0
e
ou
e
-
2
2
cos
c
, possible que si
c
, et on a alors
0 e
où
2
2
0Arccos
c
 Stabilité :
1 e
.
On a
)sincos)(cos(sin 222 ceeee
Soit
stabilitépour 0
222 )cos)1cos2((
 ece
- Si
c
:
0
e
est stable,
e
est instable.
- Si
c
:
0
e
et
e
sont instables,
0 e
sont stables.
3) Etude énergétique
 Conservation de l’énergie mécanique ?
-
][P
:
ctecos
2
1
l
mgEp
-
][ ,ei F
:
  2
cos
.cossin)( 2
22
,
,
JddJdFMW ei
Fei
Donc
ctecos
32
122
2
2
l
mEp
.
Les autres forces ne travaillent pas, le système est donc conservatif.
 Positions d’équilibre, stabilité :
0
Ep
c
0
Ep
c
0
Ep
c
0
0
B) Tension d’une tige en orbite circulaire