Le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non

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Le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen
I Cas général
A) Enoncé
On considère un référentiel R galiléen, absolu et un référentiel R’ non galiléen,
relatif.


Dans R galiléen : on a [maa ]  [ Fext ]




Et [maa ]  [mar ]  [mae ]  [mac ]







Donc [mar ]  [maa ]  [mae ]  [mac ]  [ Fext ]  [mae ]  [mac ]











Soit [mar ]  [ Fext ]  [ Fi ,e ]  [ Fi ,c ] .
[ Fi ,e ]
[ Fi ,c ]
B) Expression des forces d’inertie
1) D’entraînement
M
m

Fi ,e



Fi ,e  mae (M )  mac (M ) .
2) De Coriolis




Fi ,c  mac  2me  vr
C) Aspect énergétique
Force d’inertie de Coriolis : WFi ,c  0 (ne dérive pas d’une énergie potentielle)
Force d’inertie d’entraînement : en général, WFi ,e  0 . (parfois…)
II Cas particuliers
A) R’ en translation par rapport à R.
1) Forces d’inertie d’entraînement


[ Fi ,e ]  [mae ] .

 
 
ae est uniforme : on a ae  aa (O' ) , donc ae (r , t ) .
G

 mae

 Mae
(La force d’inertie est proportionnelle aux masses)
2) Forces d’inerties de Coriolis



Fi ,c  0 (car e  0 )
3) Application : pendule pesant dans un référentiel accéléré

ux
O

ae  cte
 G

u z
uy


ae  aeu x .
Dans le référentiel R’, le système {pendule} est soumis aux actions :



[P] , [R] , [ Fi ,e ] .
 Principe fondamental de la dynamique :
- Théorème du moment cinétique par rapport à Oy , fixe dans R’ :
J   mgl sin   mael cos  .
- Peut-on appliquer le théorème de conservation de l’énergie mécanique ?

[P] dérive d’une énergie potentielle

[R] ne travaille pas dans R’.



[ Fi ,c ]  maeu x  (mae xG ) . ( xG  l sin  )
1 2
J   mgl cos   mael sin   cte
2
Et en dérivant J   mgl sin   mael cos   0 .
Donc

Equilibre :
a
Condition nécessaire :   0 , soit tan   e .
g
dE p
- Ou
 mgl sin   mael cos   0 (d’où la même relation)
d
 Stabilité :
  e  
On a J   mgl sin e  mgl cos e  mael cos e  mael sin e  0
a
Soit J   mgl cos  e (1  e tan  e )  0
g

-
tan e
mgl
 0.
cos  e
Si cose  0 , la position est stable, sinon elle est instable.
Donc J  
B) R’ en rotation autour de  fixe dans R.
M

 uz
u' z


u' y u' z

uy
  
ux
u' x


u

ur
1) Forces d’inertie

 Fi ,e :





Fi ,e  mae  m(r 2ur  r.u ) ( mr 2ur : force centrifuge)









 Fi ,c  2me  vr  2m( .u z )  (r.ur  r.u  z.u z )  2mr .u  2mr.ur
2) Exemples

On cherche  l , vitesse angulaire à partir de laquelle le bonhomme reste
collé à la paroi si on retire le plancher.
-
Etude dimensionnelle :
l ( R, f , m, g ) ; [ R ]  [ L] , [ f ]  1 , [m]  [ M ] , [ g ]  [ L][T ]2 .
On peut donc prévoir une relation de la forme l   ( f )
g
, où  est une
R
fonction décroissante de f.
- Dans R terrestre :
Théorème de la résultante dynamique :
 
 


ma (G )  P  R , soit  m 2 R.ur  P  R
 m 2 R   N
 N  m 2 R
Donc 
.

0  mg  T

 T  mg
La condition s’écrit donc T  fN , soit mg  mf 2 R .
g
.
Rf
- Dans R’ lié au cylindre :
Le théorème de la résultant dynamique s’écrit ici :
 




  
ma (G)  P  Fi ,e  R soit 0  mg  m 2 R.ur  T  N , et on retrouve ensuite
la même relation.
- Ordre de grandeur : pour R ~ 2m , g ~ 10m.s 1 et f ~ 0,3 , on a :
l  4rad.s 1 , et vl  l  R  8m.s 1 (vitesse linéaire du bonhomme)
 Ultra centrifugation :
- Sédimentation :
Ainsi,   l 
0
  0
Principe fondamental de la dynamique :
   


ma  P  A  fv  (m  m0 ) g  6rv



dv
 (m  m0 ) g  6rv , donc les particules atteignent une vitesse
Soit m
dt

 (m  m0 ) g 43  .r 3 (   0 )  2 r 2 (   0 ) 
maximale vl 

g
g
6r
6.r
9

Pour r ~ 1m ,  ~ 2.103 kg.m3 ,  0 ~ 1.103 kg.m 3 ,  ~ 103 Poiseuille (SI),
2 1012.103.10
~ 2.106 m.s 1 .
on a vl ~
3
9
10
Comment accélérer le processus ?

Déjà, pour des particules données, tout est fixé sauf g .
- Centrifugation :


ur
Principe fondamental de la dynamique :
   
 
ma  P  A  Fi ,e  fv  Fi ,c



 

dv
m
 (m  m0 ) g  (m  m0 ) 2 Rur  2m.u z  v  6 . .r.v
dt
En régime permanent :



 

0  (m  m0 ) g  (m  m0 ) 2 Rur  2m.uz  v  6 ..r.v
 (m  m0 ) 2 R 
Donc v 
ur
6.r
(On néglige les composantes selon les autres axes)
Ainsi, le g du point précédent est remplacé par  2 R . Actuellement, on peut
obtenir une rotation de 10 3 tours par minute ; ainsi,  ~ 104 rad.s 1 ; pour
R ~ 10cm , on a  2 R ~ 107 SI ~ 106 g .
III Compléments
A) Pendule conique


On suppose l’articulation sans frottements, permettant un mouvement dans un plan
qui tourne à la vitesse angulaire  (imposée).
1) Analyse




On n’a qu’un seul degré de liberté (la rotation de l’axe est imposée)
Système : {Tige}
Référentiel : R lié à la tige verticale (en rotation)




Actions exercées sur la barre : [P] , [R] , [ Fi ,e ] , [ Fi ,c ] .
2) Etude dynamique
 Equation du mouvement :
Théorème du moment cinétique par rapport à   (Oz ) :

uz


mg

u

ur
l2
l2
l2


J   M  , et J   m  m  m
12
4
3
2
l
Donc m   M  .
3

l
- M  ( P)  mg sin 
2

- M  ( R )  0 (on suppose qu’il n’y a pas de frottements)

- M  ( Fi ,e ) :

l
Fi ,e  m 2 sin 
2
G

Attention : le champ est bien proportionnel aux masses, mais ae n’est pas
uniforme, on ne peut donc pas le réduire à un glisseur en G (mais sûrement un peu
plus bas) :
G
r
x
dm 

ux
m
dr
l


l’élément dm de masse est soumis à la force d’inertie dFi ,e  dm 2 x.u x .

m
Donc dM  ( Fi ,e )  dm 2 x  r cos    2 r 2 sin  cos  .dr
l
3

m
l
1
Ainsi, M  ( Fi ,e )   2 sin  cos    ml 2 2 sin  . cos 
l
3 3

l
 1

m
(Remarque : on a Fi ,e   2 sin   rdr.u x  ml 2 sin  .u x , on a donc un
0
l
2
glisseur appliqué au point situé aux 2/3 de la barre)

- M  ( Fi ,c ) :

La vitesse relative d’un élément de la barre est dirigé selon u .



Ainsi, e  vr est dirigé selon uz .

Donc M  ( Fi ,c )  0 . La force d’inertie de Coriolis n’a donc aucune influence
sur le mouvement (mais elle en a une sur l’usure de l’axe)
ml 2 2
l
 sin  cos   mg sin  , ou   sin  ( 2 cos   c2 )
3
2
3g
avec c 
2 l
 Equilibre :
sin  ( 2 cos   c2 )  0
Ainsi, J  
-

sin   0 , et  e  0 ou e  
c2
, possible que si   c , et on a alors e  0 où
2
c2
 0  Arccos 2

cos  
Stabilité :
    e  1 .
On a   (sin  e   cos  e )( 2 cos  e   2 sin  e  c2 )
Soit    ( 2 (2 cos 2  e  1)  c2 cos  e )


0 pour stabilité
-
Si   c :  e  0 est stable, e   est instable.
Si   c :  e  0 et e   sont instables, e  0 sont stables.
3) Etude énergétique

Conservation de l’énergie mécanique ?

l
- [P] : E p1  mg cos   cte
2
2



2
2 cos  



- [ Fi ,e ] : WF  M  ( Fi ,e )d  J  sin  cos  .d  d  J 
i ,e
2


2
1 l
Donc E p2  m  2 cos 2   cte .
2 3
Les autres forces ne travaillent pas, le système est donc conservatif.
 Positions d’équilibre, stabilité :
Ep
Ep
  c

0
 
Ep
  c

B) Tension d’une tige en orbite circulaire
0
 
  c
   0
0
0 

G
O
m
l
On cherche la tension de la tige en chacun de ses points ; on suppose que la tige
reste toujours dans la direction OG.
- Système : {élément de tige}
G
z
z+dz
- Référentiel : en rotation uniforme à la vitesse angulaire  par rapport au
référentiel géocentrique.
- Actions s’exerçant sur l’élément :




[ Fg ] , [ Fi ,e ] pour les champs ( Fi ,c  0 )

[T ] pour les actions de contact.

 T (z )

T ( z  dz )
- Théorème de la résultante dynamique :
M dm
0  G T 2  dm. 2 r  T ( z  dz )  T ( z ) (avec r  R  z , où R  OG )
r

m  GM T
 GM T
2 
Donc dT  dm
  2 ( R  z ) dz
  2   r   
2
 l  (R  z)
m  r

 dz
l
- Relation entre  et R :Théorème de la résultante dynamique appliqué à la tige
dans le référentiel géocentrique :


ma (G)  Fg

GM T m 
GM T
ur , soit  2 R 
Donc  m 2 R.ur  
.
2
R
R2

m  GM T
z
Ainsi, si on néglige dans dT  
  2 ( R  z ) dz , on obtient dT  0 .
2
R
l  (R  z)

Mais on peut négliger les termes d’ordre supérieur :

m  GM T
dT   2
  2 R(1  Rz ) dz
z
l  R (1  2 R )

m 2
z
 3m 2
 R  dz 
zdz
l
R
l
3 m 2  2 l 2 
 z   (aux extrémités, T ( z )  0 )
Donc T ( z )  
2 l 
4
On a ainsi une courbe de la forme :
 3
T
z
On a toujours T  0 , la tige a donc toujours tendance à s’allonger.
C) Mouvement d’une bille dans un satellite

u
P
C
R
On note CP  r  R  z .
z

uz

ur
1) Mouvement de la bille


On n’a qu’un degré de liberté z.
On se place dans le référentiel lié au satellite, non galiléen, en rotation à
la vitesse angulaire  par rapport à la Terre.




 Actions exercées sur la bille : [ Fg ], [ Fie ], [ Fic ], [ R] (on néglige
l’interaction gravitationnelle entre le satellite et la bille)
 Théorème de la résultante dynamique :



ur
u
uz

ma
mz
0
0

GMm
Fg 
0
0
(R  z)2

Fie m 2 ( R  z )
0
0

Fic
0
 2mz 0

R
0
R
Rz
Donc R  0 (pas de frottement), R  2mz .
GM
Et z  
  2 (R  z)
2
(R  z)
Soit, au premier ordre en z / R :
GM  2 z 
z

z   2 1     2 R1  
R 
R
 R
z  GM
GM

Ou z   2 2   2 R    2   2 R
R R
R

2) Relation entre la vitesse angulaire et R : mouvement du satellite
On a pour le satellite :

 
F 'G  Fie  0 (dans le référentiel du satellite)
GMm'
 m'  2 R  0
Donc 
2
R
GM
Soit  2 R  2
R
Donc en remplaçant dans l’équation précédente, il reste z  3 2 z  0
Soit z  z0ch( 3t )
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