Le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen I Cas général A) Enoncé On considère un référentiel R galiléen, absolu et un référentiel R’ non galiléen, relatif. Dans R galiléen : on a [maa ] [ Fext ] Et [maa ] [mar ] [mae ] [mac ] Donc [mar ] [maa ] [mae ] [mac ] [ Fext ] [mae ] [mac ] Soit [mar ] [ Fext ] [ Fi ,e ] [ Fi ,c ] . [ Fi ,e ] [ Fi ,c ] B) Expression des forces d’inertie 1) D’entraînement M m Fi ,e Fi ,e mae (M ) mac (M ) . 2) De Coriolis Fi ,c mac 2me vr C) Aspect énergétique Force d’inertie de Coriolis : WFi ,c 0 (ne dérive pas d’une énergie potentielle) Force d’inertie d’entraînement : en général, WFi ,e 0 . (parfois…) II Cas particuliers A) R’ en translation par rapport à R. 1) Forces d’inertie d’entraînement [ Fi ,e ] [mae ] . ae est uniforme : on a ae aa (O' ) , donc ae (r , t ) . G mae Mae (La force d’inertie est proportionnelle aux masses) 2) Forces d’inerties de Coriolis Fi ,c 0 (car e 0 ) 3) Application : pendule pesant dans un référentiel accéléré ux O ae cte G u z uy ae aeu x . Dans le référentiel R’, le système {pendule} est soumis aux actions : [P] , [R] , [ Fi ,e ] . Principe fondamental de la dynamique : - Théorème du moment cinétique par rapport à Oy , fixe dans R’ : J mgl sin mael cos . - Peut-on appliquer le théorème de conservation de l’énergie mécanique ? [P] dérive d’une énergie potentielle [R] ne travaille pas dans R’. [ Fi ,c ] maeu x (mae xG ) . ( xG l sin ) 1 2 J mgl cos mael sin cte 2 Et en dérivant J mgl sin mael cos 0 . Donc Equilibre : a Condition nécessaire : 0 , soit tan e . g dE p - Ou mgl sin mael cos 0 (d’où la même relation) d Stabilité : e On a J mgl sin e mgl cos e mael cos e mael sin e 0 a Soit J mgl cos e (1 e tan e ) 0 g - tan e mgl 0. cos e Si cose 0 , la position est stable, sinon elle est instable. Donc J B) R’ en rotation autour de fixe dans R. M uz u' z u' y u' z uy ux u' x u ur 1) Forces d’inertie Fi ,e : Fi ,e mae m(r 2ur r.u ) ( mr 2ur : force centrifuge) Fi ,c 2me vr 2m( .u z ) (r.ur r.u z.u z ) 2mr .u 2mr.ur 2) Exemples On cherche l , vitesse angulaire à partir de laquelle le bonhomme reste collé à la paroi si on retire le plancher. - Etude dimensionnelle : l ( R, f , m, g ) ; [ R ] [ L] , [ f ] 1 , [m] [ M ] , [ g ] [ L][T ]2 . On peut donc prévoir une relation de la forme l ( f ) g , où est une R fonction décroissante de f. - Dans R terrestre : Théorème de la résultante dynamique : ma (G ) P R , soit m 2 R.ur P R m 2 R N N m 2 R Donc . 0 mg T T mg La condition s’écrit donc T fN , soit mg mf 2 R . g . Rf - Dans R’ lié au cylindre : Le théorème de la résultant dynamique s’écrit ici : ma (G) P Fi ,e R soit 0 mg m 2 R.ur T N , et on retrouve ensuite la même relation. - Ordre de grandeur : pour R ~ 2m , g ~ 10m.s 1 et f ~ 0,3 , on a : l 4rad.s 1 , et vl l R 8m.s 1 (vitesse linéaire du bonhomme) Ultra centrifugation : - Sédimentation : Ainsi, l 0 0 Principe fondamental de la dynamique : ma P A fv (m m0 ) g 6rv dv (m m0 ) g 6rv , donc les particules atteignent une vitesse Soit m dt (m m0 ) g 43 .r 3 ( 0 ) 2 r 2 ( 0 ) maximale vl g g 6r 6.r 9 Pour r ~ 1m , ~ 2.103 kg.m3 , 0 ~ 1.103 kg.m 3 , ~ 103 Poiseuille (SI), 2 1012.103.10 ~ 2.106 m.s 1 . on a vl ~ 3 9 10 Comment accélérer le processus ? Déjà, pour des particules données, tout est fixé sauf g . - Centrifugation : ur Principe fondamental de la dynamique : ma P A Fi ,e fv Fi ,c dv m (m m0 ) g (m m0 ) 2 Rur 2m.u z v 6 . .r.v dt En régime permanent : 0 (m m0 ) g (m m0 ) 2 Rur 2m.uz v 6 ..r.v (m m0 ) 2 R Donc v ur 6.r (On néglige les composantes selon les autres axes) Ainsi, le g du point précédent est remplacé par 2 R . Actuellement, on peut obtenir une rotation de 10 3 tours par minute ; ainsi, ~ 104 rad.s 1 ; pour R ~ 10cm , on a 2 R ~ 107 SI ~ 106 g . III Compléments A) Pendule conique On suppose l’articulation sans frottements, permettant un mouvement dans un plan qui tourne à la vitesse angulaire (imposée). 1) Analyse On n’a qu’un seul degré de liberté (la rotation de l’axe est imposée) Système : {Tige} Référentiel : R lié à la tige verticale (en rotation) Actions exercées sur la barre : [P] , [R] , [ Fi ,e ] , [ Fi ,c ] . 2) Etude dynamique Equation du mouvement : Théorème du moment cinétique par rapport à (Oz ) : uz mg u ur l2 l2 l2 J M , et J m m m 12 4 3 2 l Donc m M . 3 l - M ( P) mg sin 2 - M ( R ) 0 (on suppose qu’il n’y a pas de frottements) - M ( Fi ,e ) : l Fi ,e m 2 sin 2 G Attention : le champ est bien proportionnel aux masses, mais ae n’est pas uniforme, on ne peut donc pas le réduire à un glisseur en G (mais sûrement un peu plus bas) : G r x dm ux m dr l l’élément dm de masse est soumis à la force d’inertie dFi ,e dm 2 x.u x . m Donc dM ( Fi ,e ) dm 2 x r cos 2 r 2 sin cos .dr l 3 m l 1 Ainsi, M ( Fi ,e ) 2 sin cos ml 2 2 sin . cos l 3 3 l 1 m (Remarque : on a Fi ,e 2 sin rdr.u x ml 2 sin .u x , on a donc un 0 l 2 glisseur appliqué au point situé aux 2/3 de la barre) - M ( Fi ,c ) : La vitesse relative d’un élément de la barre est dirigé selon u . Ainsi, e vr est dirigé selon uz . Donc M ( Fi ,c ) 0 . La force d’inertie de Coriolis n’a donc aucune influence sur le mouvement (mais elle en a une sur l’usure de l’axe) ml 2 2 l sin cos mg sin , ou sin ( 2 cos c2 ) 3 2 3g avec c 2 l Equilibre : sin ( 2 cos c2 ) 0 Ainsi, J - sin 0 , et e 0 ou e c2 , possible que si c , et on a alors e 0 où 2 c2 0 Arccos 2 cos Stabilité : e 1 . On a (sin e cos e )( 2 cos e 2 sin e c2 ) Soit ( 2 (2 cos 2 e 1) c2 cos e ) 0 pour stabilité - Si c : e 0 est stable, e est instable. Si c : e 0 et e sont instables, e 0 sont stables. 3) Etude énergétique Conservation de l’énergie mécanique ? l - [P] : E p1 mg cos cte 2 2 2 2 cos - [ Fi ,e ] : WF M ( Fi ,e )d J sin cos .d d J i ,e 2 2 1 l Donc E p2 m 2 cos 2 cte . 2 3 Les autres forces ne travaillent pas, le système est donc conservatif. Positions d’équilibre, stabilité : Ep Ep c 0 Ep c B) Tension d’une tige en orbite circulaire 0 c 0 0 0 G O m l On cherche la tension de la tige en chacun de ses points ; on suppose que la tige reste toujours dans la direction OG. - Système : {élément de tige} G z z+dz - Référentiel : en rotation uniforme à la vitesse angulaire par rapport au référentiel géocentrique. - Actions s’exerçant sur l’élément : [ Fg ] , [ Fi ,e ] pour les champs ( Fi ,c 0 ) [T ] pour les actions de contact. T (z ) T ( z dz ) - Théorème de la résultante dynamique : M dm 0 G T 2 dm. 2 r T ( z dz ) T ( z ) (avec r R z , où R OG ) r m GM T GM T 2 Donc dT dm 2 ( R z ) dz 2 r 2 l (R z) m r dz l - Relation entre et R :Théorème de la résultante dynamique appliqué à la tige dans le référentiel géocentrique : ma (G) Fg GM T m GM T ur , soit 2 R Donc m 2 R.ur . 2 R R2 m GM T z Ainsi, si on néglige dans dT 2 ( R z ) dz , on obtient dT 0 . 2 R l (R z) Mais on peut négliger les termes d’ordre supérieur : m GM T dT 2 2 R(1 Rz ) dz z l R (1 2 R ) m 2 z 3m 2 R dz zdz l R l 3 m 2 2 l 2 z (aux extrémités, T ( z ) 0 ) Donc T ( z ) 2 l 4 On a ainsi une courbe de la forme : 3 T z On a toujours T 0 , la tige a donc toujours tendance à s’allonger. C) Mouvement d’une bille dans un satellite u P C R On note CP r R z . z uz ur 1) Mouvement de la bille On n’a qu’un degré de liberté z. On se place dans le référentiel lié au satellite, non galiléen, en rotation à la vitesse angulaire par rapport à la Terre. Actions exercées sur la bille : [ Fg ], [ Fie ], [ Fic ], [ R] (on néglige l’interaction gravitationnelle entre le satellite et la bille) Théorème de la résultante dynamique : ur u uz ma mz 0 0 GMm Fg 0 0 (R z)2 Fie m 2 ( R z ) 0 0 Fic 0 2mz 0 R 0 R Rz Donc R 0 (pas de frottement), R 2mz . GM Et z 2 (R z) 2 (R z) Soit, au premier ordre en z / R : GM 2 z z z 2 1 2 R1 R R R z GM GM Ou z 2 2 2 R 2 2 R R R R 2) Relation entre la vitesse angulaire et R : mouvement du satellite On a pour le satellite : F 'G Fie 0 (dans le référentiel du satellite) GMm' m' 2 R 0 Donc 2 R GM Soit 2 R 2 R Donc en remplaçant dans l’équation précédente, il reste z 3 2 z 0 Soit z z0ch( 3t )