TP 10: Mouvement parabolique

TP 10: Mouvement parabolique - Correction
Objectifs: Connaître et exploiter les 3 lois de Newton ; les mettre en œuvre pour étudier les mouvements dans
les champs de pesanteur et électrostatique uniforme.
Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement.
I°) Chute libre dans le champs de pesanteur terrestre
A°) Étude théorique
On considère une objet (balle, bille …) lancé dans l'air d'une hauteur h avec une vitesse initiale v0 inclinée d'un
angle α par rapport à l'horizontale. Pour la suite, on négligera les frottements et la poussée d'Archimède.
1°) A t = 0, donner les composantes du vecteur position et du vecteur vitesse que l'on notera
⃗
OM 0
et
⃗
v0
.
(ce sont les conditions initiales).
Nous avons
⃗
OM0
=
{
x0=0
y0=h
et pour le vecteur vitesse
⃗
v0
=
{
vx0 =v0cos(α)
vy0 =v0sin(α )
2°) Appliquer la seconde loi de Newton à cet objet.
L'objet est lancé dans l'air dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. La seule force qui agit sur
l'objet est sont poids
⃗
P
.
Appliquons alors la seconde loi de Newton :
∑
⃗
Fext =m. ⃗ a
:
Ici cela donne
⃗
P=m.
⃗
a
et comme
⃗
P=m.
⃗
g
cela donne immédiatement
⃗
a=
⃗
g
Remarque : ainsi la chute ne dépend pas de la masse de l'objet.
3°) Intégrer pour trouver les composantes du vecteur vitesse
⃗
v(t)
.
Projetons les vecteurs dans le repère xOy :
⃗
a
=
{
ax=dv x
dt
ay=dv y
dt
et
⃗
g
=
{
gx=0
gy=−g
et comme nous avons
⃗
a=
⃗
g
cela donne
{
ax=dv x
dt =0
ay=dv y
dt =−g
Il ne manque plus qu'à intégrer en tenant compte des conditions initiales :
{
vx(t)=C1(constante)
vy(t)=−g.t+C2
.
α
⃗
P
⃗
g

On détermine les constantes C1 et C2 avec les conditions initiales.
A t = 0 nous avons
⃗
v0
=
{
vx0 =v0cos(α)=C1
vy0 =v0sin(α )=−g×0+C2
donc on en déduit que
{
C1=v0cos(α)
C2=v0sin(α)
.
Finalement l'expression de la vitesse vaut
⃗
v(t)
=
{
vx(t) = v0cos (α)
vy(t)=−g.t +v0sin(α)
4°) Intégrer une dernière fois pour trouver les composantes du vecteur position
⃗
OM (t)
.
On sait que
⃗
v(t)
=
{
vx=dx
dt =v0cos(α)
vy=dy
dt =g.t+v0sin(α)
on intègre alors
{
x(t)=v0cos (α).t+K1
y(t)=−1
2g.t2+v0sin(α).t+K2
On détermine les constantes K1 et K2 avec les conditions initiales.
A t = 0 nous avons
⃗
OM0
=
{
x0=0=v0cos(α)×0+K1
y0=h=−1
2g×02+v0sin (α)×0+K2
donc on en déduit que
{
K1=0
K2=h
.
Finalement l'expression de la vitesse vaut
⃗
OM (t)
=
{
x(t) = v0cos(α).t
y(t)=−1
2g. t2+v0sin(α).t+h
5°) Donner l'expression de la trajectoire sous la forme y(x).
Il suffit d'exprimer t en fonction de x et de réinjecter le résultat dans l'expression de y :
Nous avons :
t=x
v0cos(α)
et donc en réinjectant nous obtenons
y(t)=−1
2g. x2
v0
2cos2(α)+v0sin (α).x
v0cos(α )+h
on simplifie en :
y(x)=−1
2g. x2
v0
2cos2(α)+tan (α).x+h
6°) La trajectoire obtenue est de quelle forme ?
La trajectoire obtenue est celle d'une parabole (polynôme du second degré)
B°) Étude expérimentale
Dans cette partie vous allez réaliser une acquisition vidéo d'un objet lancé dans l'air.
Pour cela nous utiliserons le logiciel VirtualDub (gratuit !) pour réaliser l'acquisition + le logiciel Régressi et
Régavi (gratuit aussi!) pour le pointage et la modélisation.
Partie 1 : Acquisition vidéo
- Brancher la Webcam et ouvrir le logiciel VirtualDub, regarder son mode d'emploi pour réaliser une acquisition
vidéo.
Partie 2 : Pointage vidéo
Dans Régressi → Nouveau → Regavi.
• Cliquez ensuite sur Lecture d'un fichier AVI → Fichier puis choisir la vidéo que vous venez de réaliser.

Ensuite il faut paramétrer le logiciel :
• Cliquez sur Origine pour placer l'origine du repère.
Choisir l'origine à l'endroit où l'objet est lancé (plus de contact avec la main).
• Cliquez sur l'échelle pour définir une longueur de référence. (2 points de référence sont nécessaires).
• Cliquez ensuite sur Mesures. Pointer alors les positions successives de l'objet. Le logiciel affiche alors
l'ordonnée et l'abscisse de celui-ci et la date t correspondant.
• Cliquez alors sur Stop pour arrêter la saisie des points et cliquez sur pour envoyer les résultats sous
Régressi.
Voici ce que l'on obtient :
Partie 3 : Modélisation
Pour gommer les imperfections des repérages, nous allons modéliser les différentes grandeurs.
1°) Faire afficher y(t). Modéliser la courbe obtenue par le modèle proposé le plus approprié. Faire ajuster la
courbe et recopier l'expression de y(t) avec les valeurs numériques.
Voici ce que l'on obtient :
y
x

Le modèle le plus approprié est la parabole, en effet nous avons trouvé précédemment que :
y(t)=− 1
2g.t2+v0sin (α).t+h
ce qui est en parfait accord avec l'allure de la courbe.
Le logiciel donne
y(t)=−4,91. t2+3,44 . t−0,019
.
2°) Faire la même chose avec x(t).
Le modèle le plus approprié est la droite qui passe par l'origine, en effet nous avons trouvé
précédemment que :
x(t)=v0cos(α).t
ce qui est en parfait accord avec l'allure de la courbe.
Le logiciel donne
x(t)=1,67. t
.

3°) Faire de même avec y(x).
Le modèle le plus approprié est la droite qui passe par l'origine, en effet nous avons trouvé
précédemment que :
y(x)=−1
2g. x2
v0
2cos2(α)+tan(α).x+h
ce qui est en parfait accord avec l'allure de la
courbe.
Le logiciel donne
y(x)=−1,66 . x2+1,96 . x+0,0107
.
C°) Exploitation des données
1°) A partir des expressions théoriques établies au début du TP, et des expressions numériques de x(t) et de y(t)
déduites de la modélisation, en déduire les valeurs des grandeurs suivantes :
- Vitesse initiale v0
- Angle initial α
- Champs de pesanteur g
Nous avons trouvé que
y(t)=− 1
2g.t2+v0sin (α).t+h=−4,91. t2+3,44 . t−0,019
et que de même nous
avons
x(t)=v0cos(α).t=1,67 .t
.
Nous en concluons que
{
v0sin(α) = 3,44
v0cos(α) = 1,67
et que
−1
2.g= − 4,91