3. Espaces affines euclidiens 3.1. Définition. Un espace affine E est

3. Espaces affines euclidiens
3.1. D´efinition. Un espace affine Eest dit euclidien s’il est dirig´e par
une espace vectoriel euclidien E.
On d´efinit la distance dans Epar d(A, B) =k−−→ AB k.
3.2. D´efinition. Un rep`ere affine (A0, a1, ..., An) est dit orthonorm´e
si la base vectorielle (−−−→ A0A1, ..., −−−→ A0An) est orthonorm´ee.
3.3. D´efinition. Deux sous-espaces affine Fet Gsont orthogonaux
si leurs espaces directeurs Fet Gsont orthogonaux.
.
Isom´etries
3.4. D´efinition. Soit Xun espace m´etrique. On appelle isom´etrie de
Xune bijection f:X→Xqui pr´eserve la distance: d(f(x), f(y)) = d(x, y)
pour tous x, y ∈X.
Remarque: les isom´etris de Xforment un groupe par rapport `a la com-
position.
3.5. Th´eor`eme. Toute isom´etrie d’un espace affine euclidien est une
application affine.
3.6 Lemme. Une application affine f:E → E est une isom´etrie si et
seulement si sa partie lin´eaire df :E→Eest une isom´etrie vectorielle.
.
Remarque. Une application affine f:E → E est une isom´etrie si et seule-
ment si ftransforme un (ou tout) rep`ere orthonorm´e en rep`ere orthonorm´e.
.
3.7. D´efinition. On appelle d´eplacement ou isom´etrie directe (re-
spectivement, antid´eplacement ou isom´etrie indirecte) de Etoute isom´etrie
ftelle que d´et(df) = 1 (respectivement, d´et(df) = −1).
Les translations sont ´evidemment des d´eplacements. Les d´eplacements
forment un sous-groupe dans Iso(E) d’indice 2; le produit de deux an-
tid´eplacements est un d´eplacement.
.
3.8. D´efinition. Soit Fun sous-espace affine de E. La projection
orthogonale sur Fest la projection affine sur Fparall`element `a F⊥.
La sym´etrie orthogonale par rapport `a Fest la sym´etrie affine par
rapport `a Fparall`element `a F⊥. Une sym´etrie orthogonale est une isom´etrie;
elle est directe si et seulement si la codimension de Fest paire (c’est `a dire,
dim(E)−dim(F) est paire).
On appelle reflexion une sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyper-
plan; une reflexion est une isom´etrie indirecte (un antid´eplacement).
Etant donn´e deux points Aet Bde E, il existe une unique r´eflexion
´echangeant Aet B: c’est la r´eflexion par rapport `a l’hyperplan m´ediateur
1

du segment [AB].
Vu que toute isom´etrie vectori`ele dans Rns’´ecrit comme un produit d’au
plus nr´eflexions, on a :
3.9. Proposition. Toute isom´etrie affine de Es’´ecrit comme un produit
d’au plus n+ 1 r´eflexions (n= dim(E).)
.
3.10. D´efinition. Une transformation affine f:E → E est une simili-
tude de rapport ksi fmultiplie toutes les distances par k:
d(f(x), f(y)) = kd(x, y) pour tous x, y ∈ E.
Une homoth´etie de rapport kest une similitude de rapport |k|.
Lemme. Une application affine f:E → E est une similtude de rapport k
si et seulement si sa partie lin´eaire df :E→Eest une similitude vectorielle:
kdf(v)k=±kkvk.
Remarque: les similitudes de Eforment un groupe par rapport `a la com-
position. Si fiest une similitude de rapport ki,i= 1,2, alors f1f2est une
similitude de rapport k1k2.
3.11. Lemme. (i) Toute similitude de rapport k6= 1 admet un point
fixe (unique).
(ii) Toute similitude de rapport kest la compos´ee d’une homothetie de
rapport ket d’une isom´etrie.
.
3.12. Lemme. Soit Tvune translation de vecteur vet fune isom´etrie.
Alors fTv=Tufo`u u=df (v). En particulier, Tvet fcommutent si et
seulement si df(v) = v.
.
3.13. Proposition.
Soit f:E → E une isom´etrie.
(i) Pour tout point A∈ E il y a une unique d´ecomposition f=T~afAo`u
Test une translation de vecteur ~a et fAune isom´etrie qui fixe A:fA(A) = A.
(ii) Si df n’admet pas de vecteur fixe non-nul (donc si 1 n’est pas une
valeur propre de df), alors fadmet un unique point fixe.
.
Chosissons Acomme origine, cela donne la bijection entre les points B
et les vecteurs v=−−→ AB. Soit w=−−−−→ Af(B). Alors ~w =~a +df(~v) , o`u ~a =
−−−−→
Af(A). Par rapport `a cette vectorialisation fAs’identifie avec l’application
~v →df(~v) et T~a avec ~u →~a +~u.
.
3.14 . Proposition. Il existe un point Atel que dans la d´ecomposition
f=T~afAon a T~afA=fAT~a (ce qui est ´equivalent `a df(~a) = ~a).
2

Classification des isom´etries en dimension 2 et 3.
La classification des isom´etries affines repose sur la classifcation des
isom´etries vectorielles.
Lemme. Soit Uune isom´etrie de l’espace vectoriel E.
1. dim E= 2.a) d´et U= 1: Uest une rotation.
b) d´et U=−1: Uest une r´eflexion.
2. dim E= 3.a) d´et U= 1: Uest une rotation autour d’un axe.
b) d´et U=−1: Uest une r´eflexion compos´ee avec une rotation autour
de l’axe orthogonal au plan de r´eflexion.
.
Isom´etries affines du plan
4.1. Proposition. (i) Tout d´eplacement du plan est une translation ou
une rotation autour d’un point; ici la rotation commute avec la translation.
(ii) Toute antid´eplacement est le produit d’une r´eflexion par rapport
`a une droite avec une translation parall`ele `a cette droite (une ”r´eflexion-
translation”); ici la reflexion commute avec la translation.
.
Isom´etries affines de l’espace.
4.2. Proposition. (i) Tout d´eplacement de l’espace est soit une trans-
lation soit le produit (commutatif) d’une rotation autour d’un axe et d’une
translation parall`ele `a l’axe de rotation (”vissage”).
(ii) Toute antid´eplacement est soit le produit (commutatif) d’une r´eflexion
par rapport `a un plan avec une translation parall`ele `a ce plan (”r´eflexion-
translation”), soit le produit (commutatif) d’une r´eflexion par rapport `a un
plan avec une rotation autour d’un axe orthogonal `a ce plan (”r´eflexion-
rotation”).
.
Similitudes planes et nombres compl`exes.
On identifie le plan euclidien R2avec le plan compl`exe C.
4.3. Proposition. Toute similitude directe de Cs’´ecrit s(z) = az +b,
avec a6= 0. Toute similitude indirecte s’´ecrit s(z) = a¯z+b,a6= 0.
Le rapport d’une telle similitude est |a|.
En particulier, c’est une isom´etrie si et seulement si |a|= 1.
3