ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES

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ISOM´ ETRIES ET SIMILITUDES
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Aziz El Kacimi

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1. Structure euclidienne
1.1. Une forme bilin´eaire sur −→ Vest une application g:−→ V × −→ V −→ Rtelle que, pour tous
−→
u , −→ v∈−→ V, les applications partielles :
g(., −→ v) : −→ u∈−→ V −→ Ret g(−→ u , .) : −→ v∈−→ V −→ R
d´efinies par g(., −→ v)(−→ u) = g(−→ u , −→ v) et g(−→ u , .)(−→ v) = g(−→ u , −→ v) soient lin´eaires. On dira que
gest sym´etrique si elle v´erifie g(−→ u , −→ v) = g(−→ v , −→ u) pour tous −→ u , −→ v∈−→ V.On appelle noyau
d’une forme bilin´eaire sym´etrique gsur −→ Vl’ensemble
−→
u∈−→ V:g(−→ u , −→ v) = 0,∀−→ v∈−→ V=−→ v∈−→ V:g(−→ u , −→ v) = 0,∀−→ u∈−→ V.
Soit gune forme bilin´eaire sym´etrique sur −→ V. L’application
Q:−→ u∈−→ V 7−→ Q(−→ u) = g(−→ u , −→ u)∈R
est appel´ee forme quadratique associ´ee `a g. On dira que g(ou Q) est non d´eg´en´er´ee si
g(−→
u , −→ v) = 0 pour tout −→ v∈−→ V=⇒−→ u=−→ 0.
Ce qui revient aussi `a dire que le noyau de gest r´eduit `a {−→ 0}. On dira que g(ou Q) est positive
si Q(−→ u)≥0 pour tout −→ u,d´efinie positive si Q(−→ u)>0 pour tout −→ unon nul. Evidemment, si
gest d´efinie positive, elle est non d´eg´en´er´ee.
Une forme bilin´eaire gsym´etrique d´efinie positive sur −→ Vest appel´ee produit scalaire sur
−→
V. Le plan vectoriel r´eel −→ Vmuni d’un produit scalaire gest appel´e plan vectoriel euclidien.
Ce produit scalaire sera not´e dor´enavant ⟨,⟩.
1.2. Proposition. Soit ⟨,⟩un produit scalaire sur −→ Vdont on notera Qla forme quadratique
associ´ee. Alors, pour −→ u , −→ v∈−→ V, on a :
i) ⟨−→ u , −→ v⟩2≤Q(−→ u)·Q(−→ v) (in´egalit´e de Cauchy-Schwarz).
ii) Q(−→ u+−→ v)≤Q(−→ u) + Q(−→ v) (in´egalit´e de Minkowski).
D´emonstration. Soient −→ u , −→ v∈−→ Vet λ∈R.
i) Comme Qest d´efinie positive, on a :
0≤Q(λ−→ u+−→ v)
≤ ⟨λ−→ u+−→ v , λ−→ u+−→ v⟩
≤λ2⟨−→ u , −→ u⟩+ 2λ⟨−→ u , −→ v⟩+⟨−→ v , −→ v⟩
≤λ2Q(−→ u) + 2λ⟨−→ u , −→ v⟩+Q(v).
Le polynˆome du second degr´e en λ:P(λ) = λ2Q(−→ u)+2λ⟨−→ u , −→ v⟩+Q(−→ v) est positif pour
tout λ∈R; son discriminant est donc n´egatif c’est-`a-dire ⟨−→ u , −→ v⟩2−Q(−→ u)Q(−→ v)≤0, ce qui
donne l’in´egalit´e cherch´ee.

4 G´eom´etrie S6
ii) On a :
Q(−→ u+−→ v) = Q(−→ u) + Q(−→ v) + 2⟨−→ u , −→ v⟩
≤Q(−→ u) + Q(−→ v) + 2Q(−→ u)Q(−→ v) (d’apr`es Cauchy-Schwarz)
≤(Q(−→ u) + Q(−→ v))2
ce qui donne Q(−→ u+−→ v)≤Q(−→ u) + Q(−→ v). 
1.3. On se donne maintenant un produit scalaire ⟨,⟩sur −→ V. Pour tout −→ u∈−→ Von pose :
(1) ||−→ u|| =Q(−→ u).
Il est facile de voir que l’appication || || :−→ V −→ R+ainsi d´efinie est une norme sur −→ V.
`
A la norme || || qu’on vient de d´efinir sur l’espace vectoriel −→ Vest associ´ee une distance
dsur l’espace affine Pdonn´ee par :
(2) d(M, N) = ||−−→ MN||.
Cette distance est bien entendu invariante par toute translation c’est-`a-dire pour tous points
M, N ∈ P et tout vecteur −→ uon a d(M+−→ u , N +−→ u) = d(M, N). Il est aussi facile de voir que la
norme v´erifie une ´egalit´e remarquable appel´ee identit´e du parall´elogramme (sa d´emonstration
est imm´ediate) :
Fig. 1
(3) ||−→ u+−→ v||2+||−→ u−−→ v||2= 2 ||−→ u||2+||−→ v||2.
Une norme quelconque ne v´erifie pas cette identit´e : il faut qu’elle provienne d’un produit
scalaire ! Ce qui n’est pas toujours le cas.
Le plan affine (P,−→ V,Φ) muni d’un produit scalaire ⟨,⟩est appel´e plan affine euclidien.
1.4. Orthogonalit´e
•On dira que deux vecteurs −→ uet −→ vsont orthogonaux (aussi : −→ uest orthogonal `a −→ v
ou −→ vest orthogonal `a −→ u) si ⟨−→ u , −→ v⟩= 0. Bien entendu, le vecteur nul −→ 0 est orthogonal `a
n’importe quel vecteur −→ u. Soit −→ Aune partie de −→ V; on appelle orthogonal de −→ Al’ensemble :
(4) −→ A⊥={−→ u∈−→ V:⟨−→ u , −→ a⟩= 0 pour tout −→ a∈A}.

Isom´etries et similitudes 5
Il est facile de v´erifier que −→ A⊥est toujours un espace vectoriel (que −→ Ale soit ou non).
Si −→ Aest une droite vectorielle, −→ A⊥est aussi une droite vectorielle. On a alors une
d´ecomposition orthogonale −→ V=−→ A ⊕ −→ A⊥; la projection −→ psur −→ Aparall`ement `a −→ A⊥est ce
qu’on appelle la projection orthogonale sur −→ A. C’est une application lin´eaire et sa restriction
`a −→ Aest l’identit´e ; elle v´erifie en plus l’in´egalit´e ||−→ p(−→ w)|| ≤ ||−→ w|| pour tout vecteur −→ w.
Soit maintenant Aun sous-espace affine de P. L’orthogonal de Aau point ω∈ P est
l’ensemble :
A⊥
ω={M∈ P :⟨−−→
ωM, −−→ AB⟩= 0 pour tous A, B ∈ A}.
Il est clair que ω∈ A⊥. Il est aussi facile de voir que si Aest r´eduite `a un point, A⊥est le
plan affine Ptout entier, si Aest une droite, A⊥est aussi une droite et si Aest Ptout entier,
A⊥est r´eduite `a ω.
Soit Dune droite affine. La projection psur Dde direction −→ D⊥est la projection or-
thogonale sur D; c’est une application affine et sa restriction `a Dest l’identit´e. Le projet´e
orthogonal M0d’un point Msur Dr´ealise la distance entre Met la droite Dc’est-`a-dire
d(M, D) = inf
D∈D d(M, D) = d(M, M0).
Droite D= (OM0) et p(M) = M0
Fig. 2
1.5. Th´eor`eme de Pythagore (*). Soient A,Bet Ctrois points de Ptels que les vecteurs
−−→
AB et −→ AC soient orthogonaux. Alors :
(5) ||−−→ BC||2=||−−→ AB||2+||−→ AC||2c’est-`a-dire d(B, C)2=d(A, B)2+d(A, C)2.
Le th´eor`eme de Pythagore et le th´eor`eme de Thal`es sont les piliers de la g´eom´etrie (peut-ˆetre
mˆeme des math´ematiques) ! La d´emonstration originale du premier est ´el´egante ; celle par le
calcul usant du produit scalaire est imm´ediate.
(*) Pythagore :math´ematicien et philosophe grec n´e en 580 avant av. J.C. et mort en 495 av. J.C.
Connu ´evidemment par son ”fameux th´eor`eme” mais aussi pour pas mal d’autres travaux en math´ematiques,
notamment en th´eorie des nombres.