Corrigés des exercices

IUFM d’Aix-Marseille
M1-Master EFM
Pr´eparation `a l’´ecrit de G´eom´etrie 2012-2013
Exercices de G´eom´etrie affine euclidienne en dimension n “2,3
1. D´eterminer le groupe des isom´etries qui conserve (globalement) un triangle ´equilat´eral,
puis le groupe des isom´etries qui conservent un carr´e.
– Isom´etries du triangle ´equilat´eral
Si on note IspTqle groupe des isom´etries du triangle ´equilat´eral, alors IspTq “
Is`pTq Y Is´pTq.
Rappelons que tout sommet de Test transform´e par un ´el´ement de IspTqen
un sommet de T(cf. applications affines et points extr´emaux d’un convexe). Il
en r´esulte que l’isobarycentre, not´e O, des trois sommets est conserv´e par tout
´el´ement de IspTq.
D´eterminons Is`pTq:
‚Si un sommet est fixe, comme fpOq “ 0, fest une isom´etrie positive qui
poss`ede deux points fixes distincts, c’est l’identit´e.
‚Si aucun sommet n’est fixe, alors fpAq “ Bou fpAq “ C. Si fpAq “ B,f
est la rotation de centre Oet d’angle { pÝÝÑ OA, ÝÝÑ OBq “ π
3r2πs(pour l’orientation
du plan dans laquelle le triangle ABC est direct), et cette rotation v´erifie
fpBq “ C,fpCq “ A. Elle est bien dans Is`pTq. Si fpAq “ C, alors fest la
rotation r´eciproque de la pr´ec´edente. On peut remarquer que si la premi`ere
est not´ee r, la seconde est r˝r“r2.
Pour d´eterminer Is´pTq, remarquons que l’application la r´eflexion dont l’axe est
la m´ediatrice de rBCsappartient `a Is´pTq, on la note sBC ou, plus simplement,
s. Puis, consid´erons l’application de Is`pTqdans Is´pTqd´efinie par : fÞÑ s˝f.
Cette application est bijective (facile, montrer le). On en d´eduit que Is´pTq “
ts, s ˝r, s ˝r2u. Il n’est pas dificile d’identifier les deux isom´etries n´egatives
diff´erentes de squi sont les r´eflexions par rapport aux deux autres cˆot´es du
triangle.
En r´esum´e le groupe IspTq,˝q est compos´e de 6 ´el´ements : Id, r, r2, sBC , sCA, sAB .
On l’appelle le groupe di´edral et on le note souvent D3ou ∆3.
Vous noterez que ce groupe n’est pas commutatif et qu’il est engendr´e par
deux ´el´ements : ret s.
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– Isom´etries du carr´e
En utilisant la mˆeme technique que pr´ec´edemment, on d´etermine d’abord les
isom´etries positives du carr´e, puis - par bijection - les isom´etries n´egatives qu’on
identifient ensuite compl`etement. Les isom´etries positives sont ρ, la rotation
centr´ee au centre du carr´e et d’angle π
4r2πs,ρ2, ρ3et l’identit´e.
Si sest la r´eflexion dont l’axe est la m´ediatrice commune des segments rABs
et rCDs, les autres isom´etries n´egatives sont s˝ρ, s ˝ρ2, s ˝ρ3. On identifie ces
isom´etries n´egatives qui sont les r´eflexions par rapport `a la m´ediatrice commune
de rBCset rDAset par rapport aux diagonales du carr´e.
Le groupe D4poss`ede 8 ´el´ements.
2. On cherche `a d´eterminer maintenant le sous-groupe de IspEq, form´e des isom´etries
qui conservent un t´etra`edre r´egulier ABCD. On note IpTqce groupe (pour la loi
˝´evidemment).
a) On note IAl’ensemble des ´el´ements, f, de Gqui v´erifient fpAq “ A. Soit GAle
centre de gravit´e de la face BCD. Montrer que si fPIA, alors f|pAGAq“IdpAGAq
et f|pBCDqest une isom´etrie plane qui conserve globalement le triangle BCD.
D´ecrire compl`etement IA.
Puisque flaisse l’ensemble tA, B, C, Duinvariant, elle laisse aussi invariant l’iso-
barycentre Gde ces quatre points. Or, GP pAGAq, donc flaisse la droite pAGAq
invariante et la restriction de f`a tout plan orthogonal `a cette droite est une
isom´etrie affine de ce plan. En particulier, cette restriction est une isom´etrie du
plan pBCDq. De plus, fconserve l’ensemble tB, C, Duet donc l’isobarycentre
GAde ces trois points.
Si fest une isom´etrie positive, alors c’est une rotation (puisqu’elle a des points
invariants) d’axe pAGAq. Sa restriction `a pBCDqest l’une des 6 isom´etries planes
qui conservent un triangle ´equilat´eral. En r´esum´e
fP tId, r “rpAGAqp2π
3q, r2, sAB, sAC , sADu
o`u sAB est la r´eflexion par rapport au m´ediateur de rCDs,sAC la r´eflexion par
rapport au m´ediateur de rBDset sAD la r´eflexion par rapport au m´ediateur de
rBCs.
b) On note PAB le plan m´ediateur du segment rCDset sAB la r´eflexion par rapport
`a ce plan. En utilisant ce type de notation pr´eciser les r´eflexions de IpTq.
Une r´eflexion de IpTq´echange deux sommets (elle ne peut les laisser tous in-
variants car ce serait alors l’identit´e et elle ne peut ´echanger deux couples de
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sommets, car alors les arˆetes correspondantes seraient toutes deux perpendicu-
laires `a un mˆeme plan, donc parall`eles) et conserve les deux autres, d’o`u six
r´eflexions possibles : les r´eflexions par rapport aux m´ediateurs des six cˆot´es du
t´etra`edre r´egulier : sAB , sAC , sAD, sBC , sBD, sCD .
c) Montrer que les sym´etries d’axes pIJq,pKLqet pMNq, o`u les points I, J, K, L, M, N
sont respectivement les milieux des cˆot´es rABs,rCDs,rADs,rBCs,rACs,rBDs,
appartiennent `a IpTq. Pr´eciser I`pTq.
La v´erification est triviale. Une isom´etrie positive de IpTqest une rotation dont
l’axe passe par G.
– si cette rotation laisse un sommet invariant, elle est du type de celles qui ont
´et´e d´etermin´ees en 1, ce sont des rotations d’axes pAGqou pBGqou pCGqou
pDGq. Il y en existe 8, auxquelles il faut ´evidemment ajouter l’identit´e qui
conserve tous les sommets du t´etra`edre ;
– si cette rotation ne conserve aucun des quatre sommets, elle en ´echange deux
paires et on retrouve les demi-tours de la question pr´ec´edente.
Au total, 8+4=12 ´el´ements dans I`pTq.
d) Pr´eciser I´pTq.
Pour d´eterminer I´pTq, on utilise l’application S:I`ÑI´d´efinie par Spfq “
s˝f, o`u sest l’une des r´eflexions planes de I´, par exemple s“sAD. Cette
application est, comme on l’a d´ej`a vu, une bijection de I`sur I´. Les compos´ees
de savec l’identit´e et les rotations dont les axes appartiennent au plan de s(les
quatre rotations d’axes pAGAqet pDGDqet le demi-tour d’axe pKLq) redonne
les six r´eflexions. Les compos´ees de savec les six autres rotations : les rotations
d’axes pCGCq,pBGBq,pIJq,pM Nqdonnent six sym´etries tournantes.
Pour mieux !voir "ces st, examinons en d´etail l’une d’entre elle. Par exemple
f“sAD ˝rIJ , o`u rIJ d´esigne le demi-tour d’axe pIJq.
Quel est l’axe de la st f? Il y a plusieurs fa¸cons de le savoir. On peut passer par
f2qui est une rotation de mˆeme axe que f. On a
f:ˆA B C D
C A D B˙et f2:ˆA B C D D C B A˙.
Les milieux de rADset de rBCssont invariants, l’axe de f2et donc l’axe de la
st f, est la droite pKLq.
Quel est le plan de la st f? C’est le plan orthogonal `a pKLqpassant par G. Plus
pr´ecis´ement, le point Imilieu de rABsest ´equidistant de Ket de L(faˆıtes un
dessin, c’est ´evident grˆace, par exemple, au th´eor`eme des milieux !). De mˆeme J
3

milieu de rCDsest ´equidistant de Ket de L, tout comme Mle milieu de rACs.
Ces trois points (non align´es) sont donc dans le m´ediateur de rKLsqui passe
par Gpuisque Gest le milieu de rKLs. Le plan de fest donc le plan pIJMq.
Quel est l’angle de f? Pour le d´eterminer, il convient de se placer dans un plan
orthogonal `a pKLq, par exemple pIJMq. L’image de Iqui est le milieu de rABs
est le milieu de rfpAqfpBqs, c’est-`a-dire le milieu de rCAs, soit M. L’angle de f
est donc { pÝÑ GI, ÝÝÑ GMq. Mais, Mest dans le m´ediateur de rIJs, tout comme Gqui
est le milieu de ce segment. Il en r´esulte que l’angle { pÝÑ GI, ÝÝÑ GMqest droit. Pour
une orientation convenable de la droite pKLqet une orientation compatible du
plan pIJMq, l’angle est ´egal `a π
2r2πs.
Amusez-vous `a pr´eciser compl`etement les formes canoniques des cinq autres st
de IpTq.
3. Soit det d1deux droites non coplanaires de E. D´eterminer les isom´etries de Equi
conservent td, d1u.
On consid`ere δla perpendiculaire commune aux deux droites, tHu “ δXd,
tH1u “ δXd1et Ole milieu de rHH1s. Si fPIspEqconserve globalement td, d1u,
alors la perpendiculaire commune est globalement conserv´ee par fpuisqu’elle est
transform´ee en une droite qui doit ˆetre perpendiculaire `a la fois `a fpdqet `a fpd1q,
c’est-`a-dire aux deux droites det d1. La perpendiculaire commune ´etant unique,
fpδq “ δ. La paire tH, H1uest laiss´ee aussi globalement invariante par f; En effet,
tHu “ dXδñ tfpHqu “ fpδq X fpdq “ δXd“ tHuou tfpHqu “ δXd1“ tH1u.
Ainsi, Omilieu de rHH1sest invariant par f. Il en r´esulte que les seuls ´el´ements
de G“Istd, d1usont des rotations, des r´eflexions ou des sym´etries tournantes.
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Consid´erons d1et d1
1les parall`eles `a det d1passant par Orespectivement et notons
Ple plan qu’elles d´eterminent.
Cherchons les d´eplacements (isom´etries positives) de G.
– si fpHq “ Het fpH1q “ H1, alors δest invariante point par point et c’est l’axe
de f. Dans ce cas, fpdq “ d(sinon, Hserait transform´e en un point de d1). Soit
MPd, on ne peut avoir que fpMq “ Mou fpMq “ M1, le sym´etrique de Mpar
rapport `a H. Dans le premier cas, f“IdE, dans le second fest le demi-tour
d’axe δ. On v´erifie facilement que ces deux isom´etries conservent td, d1u;
– si fpHq “ H1et fpH1q “ H, les droites det d1sont ´echang´ees et l’axe de fest
situ´e dans le plan orthogonal `a δpassant par O, c’est-`a-dire dans le plan P.fest
un demi-tour et la restriction de f`a Pest une r´eflexion qui ´echange les droites
d1et d1
1passant par O, respectivement parall`eles `a det `a d1. Une telle r´eflexion
est centr´ee sur l’une des deux bissectrices du couple de droites pd1, d1
1q, not´ees
δ1et δ1
1. Dans ce cas, G`est compos´ee des deux demi-tours d’axes δ1et δ1 1(qui
sont deux droites perpendiculaires).
En r´esum´e, G`“␣IdE, dtδ, dtδ1, dtδ1
1(. Il est facile de voir que ce groupe (sous-
entendu pour la loi ˝´evidemment) est isomorphe `a Z{2ZˆZ{2Z.
Cherchons les antid´eplacements (isom´etries n´egatives) de G.
– si fpHq “ Het fpH1q “ H1, alors fpdq “ d(comprendre : !dest globalement
invariante par f").
– Si dest invariante point par point, le plan Π “ pd, δqest invariant et fne peut
ˆetre que la r´eflexion par rapport `a ce plan. Elle ne conserve globalement d1
que si d1est incluse dans ce plan ou orthogonale `a ce plan. Mais, la premi`ere
possibilit´e est exclue puisque les deux droites ne sont pas coplanaires et la
seconde n’est possible que si d1est orthogonale `a d(puisque, par d´efinition de
δelle lui est orthogonale).
– Si dn’est pas invariante point par point, alors tout point Mde dest transform´e
en son sym´etrique par rapport `a Het dest orthogonale au plan Π1de f. Mais
dans ce cas, fconserve aussi globalement d’ et, soit d1est orthogonale `a Π1,
soit d1PΠ. La premi`ere possibilit´e est exclue car elle entrainerait que det d’
sont parall`eles et donc coplanaires. La seconde n’est possible que si det d1sont
deux droites orthogonales et alors Π1“ pδ, d1q.
– Si Het H1sont ´echang´es, alors f˝dtδ1est un antid´eplacement qui conserve H
et H1. On vient de voir qu’un tel antid´eplacement n’existe que si det d1sont
orthogonales. Auquel cas, f˝dtδ1“sΠou f˝dtδ1“sΠ1et fP tsΠ˝dtδ1, sΠ1˝dtδ1u.
Conclusion : Si det d1ne sont pas orthogonales, G“G`, si dKd1, alors
G“G`Y tsΠ, sΠ1, sΠ˝dtδ1, sΠ1˝dtδ1u.
On Remarque que sΠ˝dtδ1et sΠ1˝dtδ1sont deux sym´etries tournantes. On peut
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