TRIANGLES ISOM´ETRIQUES 1. Rappel des transformations usuelles

TRIANGLES ISOM´ ETRIQUES
LES TRANSFORMATIONS ISOM´ ETRIQUES :
1. Rappel des transformations usuelles: dans chacun des cas suivants on indique comment obtenir
l’image M0d’un point M.
a) sym´etrie centrale de centre O:
Si M=Oalors M0=O
Si M6=Oalors Oest le milieu de [MM0]
b) sym´etrie axiale par rapport `a une droite ∆:
Si M∈∆alors M0=M
Si M /∈∆alors ∆est la m´ediatrice de [MM 0]
c) translation de vecteur −→ AB :
−−−→
MM0=−→ AB, autrement dit MABM 0est un parall`e-
logramme
d) rotation de centre Ωet d’angle α:
Si M= Ω alors M0=M
Si M6= Ω alors ΩM0= ΩMet Ø MΩM0=α
2. Propri´ et´ e fondamentale: les transformations usuelles rappel´ees ci-dessus ont la propri´et´e com-
mune de conserver les distances. C’est-`a-dire que si M,Nsont deux points du plan et M0,N0sont
leurs images respectives, par l’une des transformations suivantes:
•sym´etrie centrale par rapport `a un point O,
•sym´etrie axiale par rapport `a une droite ∆,
•translation de vecteur −→ AB, o`u Aet Bsont deux points du plan,
•Rotation de centre Ωet d’angle α,
alors on a MN =M0N0.
D´ efinition: Ces transformations, ainsi que les compos´ees de ces transformations, sont appel´ees
transformations isom´ etriques du plan, ou plus simplement, isom´ etries du plan.

Cons´ equences:
•Les isom´etries conservent l’alignement: si A,Bet Csont trois points align´ es dans ce sens
alors leurs images respectives A0,B0et C0sont align´ es dans ce sens.
En effet puisque A,Bet Csont align´es dans ce sens, on a AC =AB +BC. Pour montrer
que A0,B0et C0sont align´es dans ce sens, il faut montrer que A0C0=A0B0+B0C0. Or
puisque l’isom´etrie conserve les distances on a A0C0=AC,A0B0=AB et B0C0=BC.
Ainsi
A0C0=AC =AB +BC =A0B0+B0C0.
Ce qui montre l’alignement dans ce sens.
•Les isom´etries conservent l’orthogonalit´e: si A,Bet Csont trois points tels que (AB)et
(AC)sont perpendiculaires et si on note A0,B0et C0leurs images, alors (A0B0)et (A0C0)
sont perpendiculaires.
En effet, puisque (AB)et(AC)sont perpendiculaires on a d’apr`es le th´eor`eme de pythagore
BC2=BA2+AC2. Montrons que B0C02=B0A02+A0C02. Puisque l’isom´etrie conserve
les distances on a A0C0=AC,A0B0=AB et B0C0=BC, on a donc B0C02=BC2=
BA2+AC2=B0A02+A0C02. La r´eciproque du th´eor`eme de pythagore nous dit que (A0B0)
et (A0C0)sont perpendiculaires.
•Les isom´etries conservent le parall´elisme: si d1et d2sont deux droites parall` eles d’images d0
1
et d0
2respectivement, alors d0 1et d0 2sont parall`
eles.
•Les isom´etries conservent les angles g´eom´etriques: Soit M,Oet Nd’images M0,O0et N0
respectivement alors ΠMON =
Ù
M0O0N0.
3. Images par une transformation isom´ etrique:
Th´ eor` eme: Par une isom´etrie
•l’image d’un segment est un segment de mˆeme longueur et les milieux se correspondent dans
la transformation.
•un cercle a pour image un cercle de mˆeme rayon et les centres se correspondent dans la
transformation.
•deux droites s´ecantes en un point Mont pour images deux droites s´ecantes en un point M0
image de Mpar la transformation.

II. TRIANGLES ISOM´ ETRIQUES
1. D´ efinition:
D´ efinition: deux triangles qui se correspondent par une transformation isom´etrique sont dits
isom´etriques.
Propri´ et´ e caract´ eristique: (premier cas d’isom´etrie) deux triangles sont isom´etriques si et seule-
ment si leurs cot´es sont deux `a deux de mˆeme longueur.
Propri´ et´ e: Deux triangles isom´etriques ont leurs angles deux `a deux ´egaux.
2. Les trois cas d’isom´ etrie:
premier cas d’isom´ etrie:
deux triangles ayant leurs cot´ es deux ` a deux de mˆ eme
longueur sont isom´ etriques.
second cas d’isom´ etrie:
deux triangles ayant un angle de mˆ eme mesure compris en-
tre 2cot´ es de mˆ eme longueur sont isom´ etriques
troisi` eme cas d’isom´ etrie:
deux triangles ayant un cot´ e de mˆ eme longueur, adjacent ` a
deux angles de mˆ eme mesure sont isom´ etriques