T RIANGLES ISOM ÉTRIQUES L ES TRANSFORMATIONS ISOM ÉTRIQUES : 1. Rappel des transformations usuelles : dans chacun des cas suivants on indique comment obtenir l’image M 0 d’un point M . a) symétrie centrale de centre O : Si M = O alors M 0 = O Si M 6= O alors O est le milieu de [M M 0 ] b) symétrie axiale par rapport à une droite ∆ : Si M ∈ ∆ alors M 0 = M Si M ∈ / ∆ alors ∆ est la médiatrice de [M M 0 ] −→ c) translation de vecteur AB : −−−→0 −→ M M = AB, autrement dit M ABM 0 est un parallèlogramme d) rotation de centre Ω et d’angle α : Si M = Ω alors M 0 = M Ø Si M 6= Ω alors ΩM 0 = ΩM et M ΩM 0 = α 2. Propriété fondamentale : les transformations usuelles rappelées ci-dessus ont la propriété commune de conserver les distances. C’est-à-dire que si M , N sont deux points du plan et M 0 , N 0 sont leurs images respectives, par l’une des transformations suivantes : • symétrie centrale par rapport à un point O, • symétrie axiale par rapport à une droite ∆, −→ • translation de vecteur AB, où A et B sont deux points du plan, • Rotation de centre Ω et d’angle α, alors on a M N = M 0 N 0 . Définition : Ces transformations, ainsi que les composées de ces transformations, sont appelées transformations isométriques du plan, ou plus simplement, isométries du plan. Conséquences : • Les isométries conservent l’alignement : si A, B et C sont trois points alignés dans ce sens alors leurs images respectives A0 , B 0 et C 0 sont alignés dans ce sens. En effet puisque A, B et C sont alignés dans ce sens, on a AC = AB + BC. Pour montrer que A0 , B 0 et C 0 sont alignés dans ce sens, il faut montrer que A0 C 0 = A0 B 0 + B 0 C 0 . Or puisque l’isométrie conserve les distances on a A0 C 0 = AC, A0 B 0 = AB et B 0 C 0 = BC. Ainsi A0 C 0 = AC = AB + BC = A0 B 0 + B 0 C 0 . Ce qui montre l’alignement dans ce sens. • Les isométries conservent l’orthogonalité : si A, B et C sont trois points tels que (AB) et (AC) sont perpendiculaires et si on note A0 , B 0 et C 0 leurs images, alors (A0 B 0 ) et (A0 C 0 ) sont perpendiculaires. En effet, puisque (AB) et (AC) sont perpendiculaires on a d’après le théorème de pythagore BC 2 = BA2 + AC 2 . Montrons que B 0 C 02 = B 0 A02 + A0 C 02 . Puisque l’isométrie conserve les distances on a A0 C 0 = AC, A0 B 0 = AB et B 0 C 0 = BC, on a donc B 0 C 02 = BC 2 = BA2 + AC 2 = B 0 A02 + A0 C 02 . La réciproque du théorème de pythagore nous dit que (A 0 B 0 ) et (A0 C 0 ) sont perpendiculaires. • Les isométries conservent le parallélisme : si d1 et d2 sont deux droites parallèles d’images d01 et d02 respectivement, alors d01 et d02 sont parallèles. • Les isométries conservent les angles géométriques : Soit M , O et N d’images M 0 , O 0 et N 0 Œ Ù 0 O0N 0 . respectivement alors M ON = M 3. Images par une transformation isométrique : Théorème : Par une isométrie • l’image d’un segment est un segment de même longueur et les milieux se correspondent dans la transformation. • un cercle a pour image un cercle de même rayon et les centres se correspondent dans la transformation. • deux droites sécantes en un point M ont pour images deux droites sécantes en un point M 0 image de M par la transformation. II. T RIANGLES ISOM ÉTRIQUES 1. Définition : Définition : deux triangles qui se correspondent par une transformation isométrique sont dits isométriques. Propriété caractéristique : (premier cas d’isométrie) deux triangles sont isométriques si et seulement si leurs cotés sont deux à deux de même longueur. Propriété : Deux triangles isométriques ont leurs angles deux à deux égaux. 2. Les trois cas d’isométrie : premier cas d’isométrie : deux triangles ayant leurs cotés deux à deux de même longueur sont isométriques. second cas d’isométrie : deux triangles ayant un angle de même mesure compris entre 2 cotés de même longueur sont isométriques troisième cas d’isométrie : deux triangles ayant un coté de même longueur, adjacent à deux angles de même mesure sont isométriques