Notes de cours

Intégration et probabilités
Grégory Miermont
L3 2014–2017
ENS de Lyon

Avant-propos
Ces notes correspondent au cours « Intégration et probabilités » donné au second
semestre de 2014 à 2017 à l’Ecole Normale Supérieure de Lyon. Les prérequis de ce
cours sont les fondamentaux de la théorie de la mesure : mesures positives, intégrales
par rapport à une mesure, théorèmes limites usuels, mesure de Lebesgue, espaces Lp.
Le cours contient deux parties. Outre quelques compléments d’intégration sur
la convolution et le changement de variables, la première partie donne les bases de
l’analyse de Fourier : séries de Fourier pour les fonctions périodiques sur R, et la
transformation de Fourier des fonctions intégrables et des mesures de probabilités
sur Rd. La seconde partie est une introduction à la théorie moderne des probabilités,
en se focalisant sur les notions fondamentales suivantes :
•espaces de probabilités, variables aléatoires
•indépendance
•théorèmes limites : lois des grands nombres et théorème central limite.
Ces points sont illustrés par des exemples concrets, ponctués par deux chapitres de
compléments.
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Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I Introduction à l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Quelques compléments d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Compléments sur les espaces Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Lemme de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Approximations de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Séries de Fourier ................................... 23
2.1 Polynômes et séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Série de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Convergence des séries de Fourier dans L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Convergence ponctuelle des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Le cas C1par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Convergence de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 *Preuve du théorème de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 La transformée de Fourier dans Rd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Transformée de Fourier d’une fonction intégrable . . . . . . . . . . . . . . . 33
b. Continuité, lemme de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 34
c. Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
d. Lien avec la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 L’exemple de la densité gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 La formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 La transformée de Fourier L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Une application à l’analyse de l’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . 45
4 Changement de variables ............................. 47
4.1 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Coordonnées polaires dans Rd........................... 47
4.3 Changement de variables linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Changement de variables C1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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