FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud ∗
1 Définition de la fonction « ln » :
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0, l’unique solution ade l’équation ex=m.
On note cette solution a= ln(m).
Définition 2 On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réel x > 0associe le
réel ln(x), tel que :
x > 0et y = ln(x)⇔ey=x
.
Propriétés de la fonction ln :
1. Relations fonctionnelles : ∀a∈]0,+∞[,∀b∈]0,+∞[,∀n∈Z,∀p∈N∗,
ln(1) = 0 et ln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln 1
b=−ln(b),
ln a
b= ln(a)−ln(b) ln(an) = nln(a) ln( p
√a) = 1
pln(a).
2. Identités :
(a) ∀x∈R,ln(ex) = x,
(b) ∀x > 0,eln(x)=x.
On peut définir la fonction ln d’une autre manière :
Conséquence de la définition 2 et définition 3 Il existe une unique fonction fdéfinie et dérivable
sur ]0,+∞[telle que ∀a∈]0,+∞[,∀b∈]0,+∞[,f(a×b) = f(a) + f(b), et f′(1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.
Démonstration : Remarquons d’abord que ∀a∈]0,+∞[,f(a×1) = f(a) + f(1), donc f(1) = 0. Soit
la fonction définie sur ]0,+∞[telle que g(x) = f(ax)−f(x), avec ∀a > 0.g(x) = f(a)+f(x)−f(x), donc
gest constante. Comme gest dérivable, g′(x) = af ′(ax)−f′(x) = 0, d’où af ′(ax) = f′(x). Pour x= 1,
on obtient af′(a) = f′(1) = 1. Donc f′(a) = 1
a,∀a > 0. Si on pose u(x) = f(x)−ln(x),∀x∈]0,+∞[,
u′(x) = 0, et uest une fonction constante. Comme u(1) = f(1) −ln(1) = 0,u= 0, et ∀x∈]0,+∞[,
f(x) = ln(x).
Réciproquement, la fonction ln vérifie les conditions de l’énoncé. 2
2 Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln : ]0,+∞[→R
x7→ y= ln(x)tel que x =ey
∗Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
1

1. Ensemble de définition : La fonction ln est définie sur ]0,+∞[.
2. Limites et asymptotes : Pour la fonction ln, on a les limites suivantes, ∀n∈N:
lim
x→0+ln(x) = −∞ lim
x→+∞ln(x) = +∞
lim
x→0+xln(x) = 0 lim
x→+∞
ln(x)
x= 0
lim
x→0+xnln(x) = 0 lim
x→+∞
ln(x)
xn= 0
On retiendra la règle suivante : à l’infini, toute fonction puissance l’emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.
On a aussi lim
x→0
x6=0
ln(1 + x)
x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en 0de la fonction ln. Pour
xsuffisamment petit, ln(1 + x)est donc très proche de x, ce que l’on peut écrire ln(1 + x)∼x.
On constate également que l’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la
fonction ln en −∞.
3. Sens de variation : La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0,+∞[. On a ln′(x) = 1
x,
∀x∈]0,+∞[, donc ∀x∈]0,+∞[,ln′(x)>0, et ln est une fonction strictement croissante sur
]0,+∞[.
x
ln′(x)
ln(x)
0+∞
−∞
+∞
+
4. La bijection ln :Comme la fonction ln est continue sur ]0,+∞[, puisque dérivable sur ]0,+∞[,
et qu’elle est strictement croissante sur ]0,+∞[, c’est une bijection de ]0,+∞[sur R, et on a alors :
ln(x) = 0 ⇔x= 1 ∀a∈]0,+∞[,∀b∈]0,+∞[,ln(a) = ln(b)⇔a=b(bijection),
ln(x)>0⇔x > 1∀a∈]0,+∞[,∀b∈]0,+∞[,ln(a)>ln(b)⇔a > b (croissance),
ln(x)<0⇔0< x < 1∀a∈]0,+∞[,∀b∈]0,+∞[,ln(a)<ln(b)⇔a < b (croissance).
5. Tangente particulière : En x= 1, le nombre dérivé de ln est 1, donc l’équation de la tangente
à la courbe en x= 1 est y=x−1.
6. Courbe représentative :
O
~
i
~
j
x
y
y= ln(x)
2

3 Logarithme décimal :
Définition 4 On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log qui, à tout réel x > 0
associe le réel log(x) = ln(x)
ln(10).
Propriétés de la fonction log :
1. La fonction log est définie et dérivable sur ]0,+∞[, et log′(x) = 1
xln(10).
2. La fonction log est strictement croissante sur ]0,+∞[, car ln(10) >0.
3. Relations fonctionnelles : ∀a∈]0,+∞[,∀b∈]0,+∞[,∀n∈Z,∀p∈N∗,
log(1) = 0 et log(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log 1
b=−log(b),
log a
b= log(a)−log(b) log(an) = nlog(a) log( p
√a) = 1
plog(a).
4. Pour tout réel A,10n≤A < 10n+1 équivaut à n≤log(A)< n + 1.
5. Identités :
(a) ∀x∈R,log(10x) = x,
(b) ∀x > 0,10log(x)=x.
4 Fonctions composées avec ln :
Soit uune fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle Ide R. On considère
la fonction composée g= ln ◦u.
Propriétés
1. La fonction gest définie, dérivable sur Iet g′(x) = u′(x)
u(x). Le signe de g′(x)est le même que celui
de u′(x).
2. Les fonctions uet g= ln ◦uont les mêmes variations sur I.
3. Soit aun nombre réel donné, ou +∞, ou −∞, et soit b∈R+:
(a) Si lim
x→a
u(x) = +∞, alors lim
x→a
ln(u(x)) = +∞,
(b) Si lim
x→a
u(x) = 0+, alors lim
x→a
ln(u(x)) = −∞,
(c) Si lim
x→a
u(x) = b, alors lim
x→a
ln(u(x)) = ln(b).
5 Fonctions exponentielles de base a:
Définition 5 Soit aun réel strictement positif et différent de 1.
On appelle fonction exponentielle de base a la fonction gqui, à tout x∈Rassocie le réel ax=
exln(a).g(x) = ax=exln(a).
Propriétés
1. Pour tout réel x,ln(ax) = xln(a),
2. Pour tous réels xet y,ax×ay=ax+y,ax
ay=ax−y,(ax)y=axy ,
3. La fonction gest dérivable sur Ret g′(x) = axln(a),
4. (a) Si a > 1,lim
x→+∞g(x) = +∞et lim x→−∞g(x) = 0,
3

(b) Si 0< a < 1,lim
x→+∞g(x) = 0 et lim x→−∞g(x) = +∞.
5. Variations de g:
(a) Si a > 1,
x
g′(x)
g(x)
−∞ +∞
0
+∞
+
(b) Si 0< a < 1,
x
g′(x)
g(x)
−∞ +∞
+∞
0
−
O~
i
~
j
x
y
y=ax
a > 1
y=ax
0< a < 1
6 Fonction « racine n-ième » :
Soient n∈N∗et x > 0. Le réel n
√xse note aussi x1
nou e1 nln(x). La fonction hqui, à tout x > 0
associe le réel e1
nln(x)est la fonction « racine n-ième ».
Propriétés
1. la fonction « racine n-ième » est définie, dérivable et strictement croissante sur ]0,+∞[, et sa
dérivée est h′(x) = 1
nx1
n−1,
2. lim
x→+∞h(x) = +∞et lim
x→0+h(x) = 0.
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