FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1
∗
Définition de la fonction « ln » :
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0, l’unique solution a de l’équation ex = m.
On note cette solution a = ln(m).
Définition 2 On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réel x > 0 associe le
réel ln(x), tel que :
x > 0 et y = ln(x) ⇔ ey = x
.
Propriétés de la fonction ln :
1. Relations fonctionnelles : ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ∀p ∈ N∗ ,
ln(1) = 0 et ln(e) = 1
a
= ln(a) − ln(b)
ln
b
ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
ln(an ) = n ln(a)
1
ln
= − ln(b),
b
√
1
ln( p a) = ln(a).
p
2. Identités :
(a) ∀x ∈ R, ln(ex ) = x,
(b) ∀x > 0, eln(x) = x.
On peut définir la fonction ln d’une autre manière :
Conséquence de la définition 2 et définition 3 Il existe une unique fonction f définie et dérivable
sur ]0, +∞[ telle que ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, f (a × b) = f (a) + f (b), et f ′ (1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.
Démonstration : Remarquons d’abord que ∀a ∈ ]0, +∞[, f (a × 1) = f (a) + f (1), donc f (1) = 0. Soit
la fonction définie sur ]0, +∞[ telle que g(x) = f (ax)−f (x), avec ∀a > 0. g(x) = f (a)+f (x)−f (x), donc
g est constante. Comme g est dérivable, g ′ (x) = af ′ (ax) − f ′ (x) = 0, d’où af ′ (ax) = f ′ (x). Pour x = 1,
1
on obtient af ′ (a) = f ′ (1) = 1. Donc f ′ (a) = , ∀a > 0. Si on pose u(x) = f (x) − ln(x), ∀x ∈ ]0, +∞[,
a
u′ (x) = 0, et u est une fonction constante. Comme u(1) = f (1) − ln(1) = 0, u = 0, et ∀x ∈]0, +∞[,
f (x) = ln(x).
Réciproquement, la fonction ln vérifie les conditions de l’énoncé.
2
2
Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln :
∗ Université
]0, +∞[→ R
x 7→ y = ln(x) tel que x = ey
de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
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1. Ensemble de définition : La fonction ln est définie sur ]0, +∞[.
2. Limites et asymptotes : Pour la fonction ln, on a les limites suivantes, ∀n ∈ N :
lim ln(x) = −∞
x→0+
lim x ln(x) = 0
x→0+
lim ln(x) = +∞
x→+∞
ln(x)
=0
x
ln(x)
=0
lim
x→+∞ xn
lim
x→+∞
lim xn ln(x) = 0
x→0+
On retiendra la règle suivante : à l’infini, toute fonction puissance l’emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.
ln(1 + x)
On a aussi lim
= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en 0 de la fonction ln. Pour
x→0
x
x6=0
x suffisamment petit, ln(1 + x) est donc très proche de x, ce que l’on peut écrire ln(1 + x) ∼ x.
On constate également que l’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la
fonction ln en −∞.
1
3. Sens de variation : La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0, +∞[. On a ln′ (x) = ,
x
∀x ∈ ]0, +∞[, donc ∀x ∈ ]0, +∞[, ln′ (x) > 0, et ln est une fonction strictement croissante sur
]0, +∞[.
x
+∞
0
ln′ (x)
+
+∞
ln(x)
−∞
4. La bijection ln : Comme la fonction ln est continue sur ]0, +∞[, puisque dérivable sur ]0, +∞[,
et qu’elle est strictement croissante sur ]0, +∞[, c’est une bijection de ]0, +∞[ sur R, et on a alors :
ln(x) = 0 ⇔ x = 1
∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ln(a) = ln(b)
⇔ a = b (bijection),
ln(x) > 0 ⇔ x > 1
∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ln(a) > ln(b)
⇔ a > b (croissance),
ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1
∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ln(a) < ln(b) ⇔ a < b (croissance).
5. Tangente particulière : En x = 1, le nombre dérivé de ln est 1, donc l’équation de la tangente
à la courbe en x = 1 est y = x − 1.
6. Courbe représentative :
y
y = ln(x)
~j
~i
x
O
2
3
Logarithme décimal :
Définition 4 On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log qui, à tout réel x > 0
ln(x)
associe le réel log(x) =
.
ln(10)
Propriétés de la fonction log :
1
.
1. La fonction log est définie et dérivable sur ]0, +∞[, et log′ (x) =
x ln(10)
2. La fonction log est strictement croissante sur ]0, +∞[, car ln(10) > 0.
3. Relations fonctionnelles : ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ∀p ∈ N∗ ,
log(1) = 0 et log(10) = 1
a
log
= log(a) − log(b)
b
log(a × b) = log(a) + log(b)
log(an ) = n log(a)
1
= − log(b),
b
√
1
log( p a) = log(a).
p
log
4. Pour tout réel A, 10n ≤ A < 10n+1 équivaut à n ≤ log(A) < n + 1.
5. Identités :
(a) ∀x ∈ R, log(10x ) = x,
(b) ∀x > 0, 10log(x) = x.
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Fonctions composées avec ln :
Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R. On considère
la fonction composée g = ln ◦u.
Propriétés
u′ (x)
1. La fonction g est définie, dérivable sur I et g ′ (x) =
. Le signe de g ′ (x) est le même que celui
u(x)
de u′ (x).
2. Les fonctions u et g = ln ◦u ont les mêmes variations sur I.
3. Soit a un nombre réel donné, ou +∞, ou −∞, et soit b ∈ R+ :
(a) Si lim u(x) = +∞, alors lim ln(u(x)) = +∞,
x→a
x→a
(b) Si lim u(x) = 0+ , alors lim ln(u(x)) = −∞,
x→a
x→a
(c) Si lim u(x) = b, alors lim ln(u(x)) = ln(b).
x→a
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x→a
Fonctions exponentielles de base a :
Définition 5 Soit a un réel strictement positif et différent de 1.
On appelle fonction exponentielle de base a la fonction g qui, à tout x ∈ R associe le réel ax =
ex ln(a) . g(x) = ax = ex ln(a) .
Propriétés
1. Pour tout réel x, ln(ax ) = x ln(a),
ax
= ax−y , (ax )y = axy ,
ay
3. La fonction g est dérivable sur R et g ′ (x) = ax ln(a),
2. Pour tous réels x et y, ax × ay = ax+y ,
4. (a) Si a > 1, lim g(x) = +∞ et
x→+∞
lim g(x) = 0,
x→−∞
3
(b) Si 0 < a < 1, lim g(x) = 0 et
x→+∞
lim g(x) = +∞.
x→−∞
5. Variations de g :
(a) Si a > 1,
x
+∞
−∞
g ′ (x)
+
+∞
g(x)
0
(b) Si 0 < a < 1,
x
+∞
−∞
g ′ (x)
−
+∞
g(x)
0
y
y = ax
y = ax
0<a<1
a>1
~j
O
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~i
x
Fonction « racine n-ième » :
Soient n ∈ N∗ et x > 0. Le réel
1
1
√
n
x se note aussi x n ou e n ln(x) . La fonction h qui, à tout x > 0
1
associe le réel e n ln(x) est la fonction « racine n-ième ».
Propriétés
1. la fonction « racine n-ième » est définie, dérivable et strictement croissante sur ]0, +∞[, et sa
1 1
dérivée est h′ (x) = x n −1 ,
n
2. lim h(x) = +∞ et lim h(x) = 0.
x→+∞
x→0+
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