Table des matières 1 Fonction logarithme

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015
L1 Économie Cours de M. Desgraupes
Mathématiques: Mise à niveau
Séance 10: Fonctions usuelles
Table des matières
1 Fonction logarithme 1
1.1 Définition ............................... 1
1.2 Propriétés ............................... 1
2 Fonction exponentielle 4
2.1 Définition ............................... 4
2.2 Propriétés ............................... 4
3 Fonctions puissance 7
3.1 Définition ............................... 7
3.2 Base des logarithmes ......................... 8
4 Fonctions homographiques 8
5 Fonctions trigonométriques 9
5.1 Définition ............................... 9
5.2 Propriétés ............................... 10
5.3 Formules ................................ 12
5.4 Fonctions réciproques ........................ 16
6 Exercices 19
1 Fonction logarithme
1.1 Définition
Définition 1.1. La fonction logarithme est la fonction définie sur l’intervalle
]0,+∞[dont la dérivée est la fonction 1
xet qui vaut 0 en 1.
On la note en général log(x)ou parfois ln(x)(abréviation de “logarithme
naturel” ou “logarithme népérien”).
1

On a donc, par définition :
log(x)0
=1
xet log(1) = 0
1.2 Propriétés
Le domaine de définition Dfdu logarithme est l’intervalle ]0,+∞[. Le loga-
rithme n’est pas défini pour les valeurs négatives et n’est pas défini non plus en
0.
On a vu que sa dérivée est 1
xqui est positif sur le domaine Df: le logarithme
est donc une fonction croissante.
Puisque log(1) = 0, le logarithme est négatif pour x < 1et positif pour
x > 1.
On a les limites suivantes :
lim
x→+∞log(x) = +∞
lim
x→0+log(x) = −∞
Voici la graphe de la fonction logarithme :
0 2 4 6 8 10
−2 −1 0 1 2
Fonction logarithme
1
Exercice
Trouver le domaine de définition de la fonction y= log(4x2−1).
2

Corrigé
Il faut que le polynôme 4x2−1soit strictement positif.
Il se factorise en:
4x2−1 = (2x+ 1)(2x−1)
Ses racines sont -1/2 et 1/2. On a donc :
Df=] − ∞,−1/2[ ∪]1/2,+∞[
On a la relation fondamentale suivante pour deux nombres réels positifs a
et b:
log(a b) = log(a) + log(b)
Le logarithme transforme les produits en sommes.
En particulier, on en déduit que :
log(a2) = 2 log(a)
et plus généralement :
log(an) = nlog(a)
La formule précédente reste vraie si nest négatif. En particulier :
log 1
a=−log(a)
Le logarithme de l’inverse d’un nombre est parfois appelé son cologarithme (par
exemple dans les calculs de pH en chimie).
On peut aussi l’appliquer pour des exposants fractionnaires :
log(ap
q) = p
qlog(a)
Exemple
On a les identités suivantes :
log(√a) = 1
2log(a)
log( 3
√a) = 1
3log(a)
Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relation
suivante pour une fonction ude la variable x:
log |u|0
=u0
u
Exercice
3

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log √x2+ 1.
Corrigé
On remarque que f(x) = 1
2log x2+ 1. On a donc :
f0(x) = 1
2
(x2+ 1)0
x2+ 1 =1 2
2x
x2+ 1 =x x2+ 1
Lorsque, dans un calcul de limite, il y a un conflit entre un logarithme et un
polynôme, c’est le polynôme qui l’emporte.
Exemple
Calculer la limite lim
x→+∞
1
xlog(x2+x).
Corrigé
Le polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Par conséquent
:
lim
x→+∞
1
xlog(x2+x) = lim
x→+∞
1
xlog(x2) = lim
x→+∞2log(x)
x
Ce dernier quotient conduit à une forme indéterminée ∞
∞mais le polynôme
l’emporte et la limite est finalement 0.
2 Fonction exponentielle
2.1 Définition
Définition 2.1. La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonc-
tion logarithme.
On la note habituellement exp(x)ou ex.
Cette fonction existe car la fonction logarithme est continue et monotone
croissante, ce qui assure qu’elle a bien une réciproque.
Son domaine de définition est Rtout entier (c’est le domaine d’arrivée de la
fonction log).
La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont réciproques l’une de
l’autre, ce qui conduit aux relations :
log exp(x)= exp log(x)=x
ou encore
log ex=elog(x)=x
4

2.2 Propriétés
Le nombre edans la notation exest exp(1) ≈2.718.
C’est une valeur approchée : avec une plus grande précision, il s’écrit e=
2.718281828459045090796 . . . .
Puisque le logarithme est la réciproque de l’exponentielle, on a log(e)=1.
L’espace d’arrivée de la fonction exponentielle est ]0,+∞[, autrement dit
l’exponentielle d’un nombre est toujours strictement positive.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée :
(ex)0=ex
Cette dérivée est donc toujours positive et l’exponentielle est une fonction
croissante.
Voici le graphe de la fonction exponentielle :
−2 −1 0 1 2
0 2 4 6
Fonction exponentielle
1
e
On a les limites suivantes :
lim
x→+∞exp(x) = +∞
lim
x→−∞ exp(x) = 0+
On a la relation fondamentale suivante :
exp(a+b) = exp(a) exp(b)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
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