ANALYSE DE HILBERT ET DE FOURIER, IV ET V On désigne par E

ANALYSE DE HILBERT ET DE FOURIER, IV ET V
MARC CHAPERON
On d´esigne par Eun espace pr´ehilbertien sur K=Rou C. Dans les
deux cas, sa norme est d´efinie par le produit scalaire r´eel
v·w:= <ehv|wi.
Celui-ci v´erifie «les »identit´es remarquables (a+b)2=a2+ 2ab +b2et
(a−b)2=a2−2ab+b2donc, par addition, (a+b)2+(a−b)2= 2a2+2b2;
en divisant le tout par 4, on obtient l’identit´e de la m´ediane1
(22) ∀v, w ∈E
v+w
2
2+
v−w
2
2=|v|2+|w|2
2.
12. Le th´ eor` eme de projection sur un convexe complet
Une partie Cd’un espace vectoriel r´eel est dite convexe lorsque, quels
que soient a, b ∈C, le segment ferm´e
[a, b] := {a+t(b−a) : t∈[0,1]}={(1 −t)a+tb :t∈[0,1]}
est contenu dans C. Par exemple, tout sous-espace vectoriel est convexe.
Proposition et d´efinition. Pour tout convexe Cde E, tout a∈Eet
tout ¯x∈C, les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
∀x∈C<eha−¯x|x−¯xi ≤ 0(23)
|¯x−a|= inf
x∈C|x−a|=: d(x, a).(24)
Elles sont satisfaites par au plus un ¯x∈C; s’il existe, on l’appelle
projection de asur Cet nous le noterons πC(a).
Date: 22 f´evrier au 15 mars 2013.
1Dans un triangle (ici 0uv), la somme du carr´e de la longueur d’une m´ediane et
du carr´e de la moiti´e de la longueur du cˆot´e auquel elle aboutit est la moyenne des
carr´es des longueurs des deux autres cˆot´es.
34

ANALYSE DE HILBERT ET DE FOURIER, IV ET V 35
D´emonstration. Si ¯x∈Cv´erifie (23), autrement dit (x−¯x)·(a−¯x)≤0
quel que soit x∈C, on a
|x−a|2=|x−¯x+ ¯x−a|2=|x−¯x|2+ 2(x−¯x)·(¯x−a) + |¯x−a|2
≥ |x−¯x|2+|¯x−a|2 (25)
≥ |¯x−a|2pour tout x∈C,
c’est-`a-dire (24).
R´eciproquement, si (24) est satisfaite alors, pour tout x∈C, le
segment [¯x, x] est contenu dans C, d’o`u
d(a, C)2≤ |tx + (1 −t)¯x−a|2=
¯x−a+tx−¯x
2=
≤ |¯x−a|2+ 2t(¯x−a)·(x−¯x) + t2|x−¯x|2=
≤d(a, C)2+ 2t(¯x−a)·(x−¯x) + t2|x−¯x|2
pour tout t∈[0,1], donc 2(¯x−a)·(x−¯x)+t|x−¯x|2≥0 pour 0 < t ≤1
et par cons´equent (¯x−a)·(x−¯x)≥0, c’est-`a-dire (23) ; d’apr`es (25),
l’in´egalit´e |x−a|≥|¯x−a|est donc stricte pour x6= ¯x, d’o`u l’unicit´e.
Exemple. Si Cest un intervalle r´eel [b, c[, alors πC(a) n’existe que pour
a<c; on a πC(a) = apour a∈Cet πC(a) = bpour a≤b.
Th´eor`eme. Si Cest un convexe complet non vide de l’espace pr´ehil-
bertien E, alors
i) la projection πC(a)∈Cexiste pour tout a∈E
ii) l’application πC:E→Cainsi d´efinie est lipschitzienne, de
constante de Lipschitz ´egale `a 1d`es que Ccontient plus d’un
point2.
D´emonstration. i) Par d´efinition (24) de d(a, C), on a d(a, C)∈R+
et, pour tout n∈N, il existe xn∈Ctel que l’on ait |xn−a| ∈
[d(a, C), d(a, C) +2−n], de sorte que la suite (|xn−a|)n∈Nconverge vers
d(a, C).
Lemme. Une telle suite minimisante (xn)n∈Ndans Cest de Cauchy.
L’existence de πC(a) en r´esulte aussitˆot : comme Cest complet, la
suite de Cauchy (xn) converge vers un ¯x∈C, qui v´erifie donc
d(a, C)≤ |¯x−a|= lim
n→∞ |xn−a| ≤ lim n→∞ d(a, C)+2−n=d(a, C),
c’est-`a-dire |¯x−a|=d(a, C).
2Et `a 0 sinon.

36 MARC CHAPERON
Preuve du lemme. Pour n, p ∈N, l’identit´e de la m´ediane, appliqu´ee `a
v=xn−aet w=xn+p−a, donne
1
2(xn+xn+p)−a
2+
1
2(xn−xn+p)
2=|xn−a|2+|xn+p−a|2
2;
et donc, puisque 1
2(xn+xn+p) appartient `a C,
d(a, C)2+
1
2(xn−xn+p)
2≤|xn−a|2+|xn+p−a|2
2;
comme lim |xn−a|=d(a, C), on a lim |xn−a|2=d(a, C)2; pour tout
ε > 0, il existe donc nε∈Ntel que l’on ait |xn−a|2< d(a, C)2+ε2
4
pour n≥nε; quels que soient n≥nεet p∈N, on en d´eduit
d(a, C)2+
1
2(xn−xn+p)
2≤|xn−a|2+|xn+p−a|2
2
< d(a, C)2+ε2
4,
c’est-`a-dire |xn−xn+p|< ε.
ii) Si ¯x=πC(a) et ¯y=πC(b), on a
|b−a|2=|¯y−¯x+b−¯y+ ¯x−a|2
=|¯y−¯x|2+ 2(¯y−¯x)·(b−¯y+ ¯x−a) + |b−¯y+ ¯x−a|2
≥ |¯x−¯y|2
car (23) et son analogue pour b, ¯ydonnent
(¯y−¯x)·(b−¯y+ ¯x−a) = (¯y−¯x)·(b−¯y) + (¯y−¯x)·(¯x−a)≥0;
on a donc |πC(b)−πC(a)|≤|b−a|, d’o`u Lip πC≤1 ; si Ccontient
deux points distincts ¯aet ¯ b, alors Lip πC= 1 puisque πC(¯a) = ¯aet
πC(¯ b) = ¯ b.
Corollaire 0. Si Cest un convexe ferm´e non vide d’un espace de
Hilbert E, alors la projection πC(a)∈Cexiste pour tout a∈E, ce qui
d´efinit une application πC:E→Cde constante de Lipschitz 1si C
contient plus d’un point.
D´emonstration. Un espace de Hilbert est par d´efinition un espace pr´e-
hilbertien complet, dont les parties ferm´ees sont donc compl`etes.
Corollaire 1. Si Fest un sous-espace vectoriel complet de l’espace
pr´ehilbertien3E, alors la projection orthogonale πF(a)∈Fde asur F
existe pour tout a∈E, et (23) s’´ecrit
(26) ∀v∈Fhv|a−πF(a)i= 0.
3C’est-`a-dire un sous-espace vectoriel ferm´e si Eest un espace de Hilbert.

ANALYSE DE HILBERT ET DE FOURIER, IV ET V 37
D´emonstration. Un sous-espace vectoriel ´etant convexe, il s’agit sim-
plement de montrer que (23) se traduit par (26) ; comme Fest un
sous-espace vectoriel et contient πF(a), l’ensemble des x−πF(a) avec
x∈Fest exactement F, donc (23) s’´ecrit
∀v∈F<ehv|a−πF(a)i ≤ 0;
pour tout v∈F, on a −v∈Fet donc <eh−v|a−πF(a)i ≤ 0, c’est-`a-
dire <ehv|a−πF(a)i ≥ 0, d’o`u finalement
∀v∈F<ehv|a−πF(a)i= 0;
si K=R, c’est (26) ; sinon, pour tout v∈F, on a −iv ∈Fet donc
<eh−iv|a−πF(a)i= 0, c’est-`a-dire =mhv|a−πF(a)i= 0, d’o`u (26).
Corollaire 2. Sous les hypoth`eses du corollaire 1,
i) la projection orthogonale πF:E→Fest lin´eaire et continue, de
norme 1pour F6={0};
ii) son noyau est un sous-espace ferm´e, l’orthogonal
F⊥:= {a∈F:∀v∈Fhv|ai= 0};
de F, et
(27) E=F⊕F⊥;
iii) l’orthogonal F⊥⊥ de F⊥est Flui-mˆeme, et l’isomorphisme
(v, w)7→ v+w
F×F⊥→E
est une isom´etrie si l’on munit F×F⊥de son produit scalaire
d’espace pr´ehilbertien produit4, d´efini par
h(v, w)|(v0, w0)i:= hv|v0i+hw|w0i;
l’isom´etrie inverse est a7→ πF(a), πF⊥(a)=πF(a), a −πF(a).
D´emonstration. i)-ii) La caract´erisation (26) de la projection orthogo-
nale sur Fentraˆıne les faits suivants :
– la projection πFest lin´eaire : en effet, quels que soient a, b ∈Eet
λ∈K, on a pour tout v∈F
hv|πF(a) + λπF(b)−(a+λb)i=hv|πF(a)−ai+¯ λhv|πF(b)−bi= 0;
– en prenant πF(a) = 0 dans (26), on voit que ker πF=F⊥;
– pour tout v∈F, le seul vecteur ¯v∈Ftel que v−¯v∈F⊥est
πF(v), ce qui prouve (27).
4Qui d´efinit une norme ´equivalente `a la norme d’espace produit.

38 MARC CHAPERON
Comme πFest lin´eaire et lipschitzienne, elle est continue et |πF|=
Lip πF= 1 pour F6={0}.
iii) Pour v, v0∈Fet w, w0∈F⊥,
hv+w|v0+w0i=hv|v0i+hw|v0i+hv|w0i+hw|w0i
=hv|v0i+hw|w0i
puisque hw|v0i=hv|w0i= 0.
13. Dualit´ e
L’isom´etrie canonique de Edans son dual. Pour tout v∈E, on
d´efinit un ´el´ement v[du dual5E0:= L(E, K)de Epar
∀x∈E v[(x) := hx|vi.
L’application v7→ v[est une isom´etrie de Edans E0, semi-lin´eaire
(c’est-`a-dire que (v+λw)[=v[+¯ λw[pour v, w ∈Eet λ∈K)6.
D´emonstration. Pour tout v∈E, la lin´earit´e du produit scalaire par
rapport `a son premier facteur entraˆıne que v[est une application lin´eaire
bien d´efinie de Edans K(«forme lin´eaire ») ; l’in´egalit´e de Cauchy-
Schwartz s’´ecrivant |v[(x)|≤|v| |x|, cette forme lin´eaire est continue, de
norme au plus |v|; en prenant x=vpour v6= 0, on voit que |v[|=|v|
et donc |v[−w[|=|(v−w)[|=|v−w|quels que soient v, w ∈E, ce
qui prouve que v7→ v[est une isom´etrie ; elle est semi-lin´eaire car le
produit scalaire est semi-lin´eaire par rapport `a son second facteur.
Th´eor`eme (Riesz).Si Eest un espace de Hilbert, l’isom´etrie cano-
nique v7→ v[de Edans son dual est bijective.
D´emonstration. Un isom´etrie ´etant forc´ement injective, il s’agit de
montrer qu’elle est surjective. ´ Etant donn´ee p∈E0r{0}, son noyau
Hest un sous-espace ferm´e qui n’est pas Etout entier, donc a un
suppl´ementaire orthogonal H⊥6={0}; il y a donc un u∈H⊥de
norme 1, qui v´erifie u6∈ H, c’est-`a-dire p(u)6= 0 ; pour tout x∈E, on
a donc p(x) = pp(x)
p(u)u, d’o`u par lin´earit´e x−p(x) p(u)u∈ker p=H; il en
r´esulte que H⊥=Kuet que la projection orthogonale hx|uiude xsur
Kuest p(x)
p(u)u, d’o`u p(x) = hx|uip(u) et donc p=v[avec v=p(u)u.
5Espace vectoriel des formes lin´eaires continues sur E; on le munit de la norme
habituelle |p|:= sup{p(v) : v∈E, |v|= 1}, qui en fait un espace de Banach.
La notation musicale est un hommage `a Einstein, qui notait les coordonn´ees d’un
vecteur vavec des indices sup´erieurs et celles d’un «covecteur »pavec des indices
inf´erieurs : l’application v7→ v[fait donc «descendre les indices ».
6Si K=R, elle est donc lin´eaire.