Méthodes d`intégration

Méthodes d'intégration
1. Méthodes élémentaires
1.1. Propriétés de base de l'intégrale
•
Si F est une primitive sur un intervalle [a,b] de Á d'une fonction numérique f (une telle fonction F
b
existe en particulier si f est continue sur [a,b]), alors ˆ f(t) dt = F(b) − F(a).
a
x
L'application définie sur [a,b] par x Å ˆ f(t) dt est la primitive de f sur [a,b] qui s'annule en a.
•
•
a
La notation ˆ f(t) dt désigne une primitive de f.
Toute primitive de f s'obtient en ajoutant une constante à ˆ f(t) dt.
Avec les hypothèses qui s'imposent, nous avons :
a
ˆ
#
b
f(t) dt = −ˆ f(t) dt
b
b
#
b
(λf + µg)(t) dt = λˆ f(t) dt + µˆ g(t) dt
a
b
a
b
c
ˆ
∀λ,µ∈Á
a
f(t) dt = ˆ f(t) dt + ˆ f(t) dt
a
a
b
#
b
ˆ
ˆ
#
a
∀c∈[a,b]
c
f(t) dt = 0 avec f continue et de signe constant implique f = 0.
a
1.2. Combinaison linéaire de primitives connues
/3
Ex :
ˆ tan
/3
2
t dt =
/6
ˆ −1 + 1 + tan
2
t dt = [−t + tan t ]
/3
/6
/6
= − + 3 − − + 1
3
6
3
=
2 3
− .
3
6
1.3. Polynômes trigonométriques
Toute puissance des fonctions sinus et cosinus peut être transformée en combinaison linéaire des sinus et
cosinus de multiples entiers de la variable.
Cette opération est appelée "linéarisation de polynômes trigonométriques" et s'obtient en utilisant les
−ix
−ix
ix
ix
formules d'Euler : cos x = e + e et sin x = e − e .
2
2i
Ex :
On cherche à calculer I =
ˆ (1 + cos t + cos 2 t)
/2
dt.
2ix
−ix
−2ix
ix
ix −ix
Or, pour tout réel x, nous avons cos 2 x = e + e
= e + 2e e + e
= 1 + cos 2x .
2
4
2
3
1
2
D'où 1 + cos t + cos t = + cos t + cos 2t pour tout t  ; et donc
2
2
2
3
3t
1
1
I = ˆ ( + cos t + cos 2t) dt =
+ sin t + sin 2t
2
2
2
4
/2
/2
3
3
2
1
1
I=
+ sin + sin 2 −
+ sin + sin
= 3 − 3 − 1 = 3 − 1
2
4
4
2 4
2
2
4
4
Francis Wlazinski
2
1
1.4. Reconnaissance de formes usuelles
Soit f une fonction dont on connaît une primitive F, soit u une fonction de dérivée u' et soit k∈Á.
Une primitive de la fonction ku' f(u) est kF(u).
Ex :
Soit f(x) = cos x e 3 sin x = cos x e 2 sin x .
Si on pose u(x) = 3 sin x, on a f(x) = 2 u (x)e u(x) .
2
3
3
2
2
2
sin
u(x)
x
Et donc, F(x) = e = e 2
=
e 3 sin x est une primitive de f.
3
3
3
3
2. Changement de variable
Propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] de Á.
Soit ϕ une bijection de [a,b] dans ϕ([a,b]) tel que ϕ−1 soit de classe :1.
(b )
b
ˆ f(t ) dt =
Alors :
ˆ
a
f(' −1 (u )) (' −1 ) (u ) du
(a )
Remarque 1
On trouve parfois cette propriété sous les formes :
#
Soit φ∈:1([a,b]) où [a,b] est un intervalle de Á.
Soit f une fonction numérique définie et continue sur un intervalle contenant φ([a,b]).
(b )
ˆ
Alors :
b
f(t ) dt = ˆ(fo& )(u ) & (u ) du
(a )
a
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] de Á et soit ϕ∈:1([a,b]) bijective.
#
−1 (b )
b
ˆ
Alors :
f(t ) dt =
a
ˆ
f('(u )) ' (u ) du
−1 (a )
Remarque 2
 ['(a), '(b) ] si ' est croissante
([a, b ]) = 
 ['(b), '(a) ] si ' est décroissante
'
Dans la pratique :
b
On cherche à déterminer ˆ f(x) dx.
a
Si on pose u = ϕ(x), on a x = ϕ−1(u) et dx = (ϕ−1)'(u) c'est-à-dire dx = (ϕ−1)'(u) du.
du
On remplace x et dx par leurs nouvelles valeurs et a et b par ϕ(a) et ϕ(b).
43
Ex :
On cherche à calculer I =
ˆ
1
x dx.
1 + x4
1 du.
2 u
ϕ est croissante et ϕ est une bijection de 1, 4 3 sur 1, 3 .
3
3
u
1 du = 1 ˆ
1 du = 1 [arctan u ] 3 = 1 − = 1
I= ˆ
1
2
1
+
u
2
1
+
u2
2
2 3 4
2
2
u
1
1
On pose u = x = ϕ(x), d'où x = u = ϕ−1(u) et dx =
2
Francis Wlazinski
12
=
24
2
.
Rappel
arcsin est la fonction définie sur [−1,1] à valeurs dans − , qui vérifie sin(arcsin(x)) = x.
2 2
arccos est la fonction définie sur [−1,1] à valeurs dans [0, ] qui vérifie cos(arccos(x)) = x.
arctan est la fonction définie sur Á à valeurs dans − , qui vérifie tan(arctan(x)) = x.
2 2
−x
−x
x
x
sh
e
+
e
e
−
e
ch x =
sh x =
th x = x
2
2
ch x
1 = 1 − th 2 x
ch 2 x − sh 2 x = 1
ch 2 x
(ch x)' = sh x
(sh x)' = ch x
(th x)' = 1 − th2 x
argch est la bijection de [1,+∞[ dans [0,+∞[ qui vérifie ch(argch(x)) = x.
argsh est la bijection de Á dans Á qui vérifie sh(argsh(x)) = x.
argth est la bijection de ]−1,1[ dans Á qui vérifie th(argth(x)) = x.
Règles pratiques
Soit R une fraction rationnelle à une ou deux variables.
On cherche à calculer ˆ f(t ) dt.
a.
b.
c.
d.
Si f (x) = R(tan x), on pose u = tan x.
2
Ex : Soit I = ˆ tan 2 x + 1 dx.
tan x − 1
On pose u = tan x, x = arctan u et dx = 1 2 du.
1+u
2
u
+
1
1
1
I=ˆ 2
du = ˆ 2
du = − ˆ 1 2 du = − 1 ln 1 + u .
u − 1 u2 + 1
u −1
1−u
2
1−u
I = 1 ln 1 − u = 1 ln 1 − tan x .
2
1+u
2
1 + tan x
Si f (x) = R(ex), on pose u = ex.
Cela comprend entre autre les formes R(sh x, ch x).
Ex : Soit I = ˆ x 1 −x dx.
e + 2e
On pose u = ex, x = ln u et dx = 1u du.
I = ˆ 1 1u du = ˆ 2 1 du = 1 arctan u
u +2
2
2
u + 2u
x
e
1
I=
arctan
.
2
2
Si f (x) = R(sin x,cos x) et f impaire, on pose u = cos x.
Ex : Soit I = ˆ cos 3 x sin 3 x dx sur [0; ].
−1 du.
On pose u = cos x, x = arccos u et dx =
1 − u2
On a sin x = 1 − cos 2 x mais, sur [0; ], sin x ≥ 0.
6
4
3
−1
I = ˆ u3 1 − u2 du = − ˆ u 3 − u 5 du = u − u .
6
4
1 − u2
6
4
I = cos x − cos x .
6
4
Si f (x) = R(sin x,cos x) et f (π−x) = −f (x), on pose u = sin x.
3
Ex : Soit I = ˆ cos2 x dx.
sin x
1
On pose u = sin x, x = arcsin u et dx =
du.
1 − u2
3
1 − u2
1 − u 2 du = ˆ 1 − 1 du = − 1 − u
1
ˆ
I=ˆ
du
=
2
u
u
u2
u2
1 − u2
I = − 1 − sin x.
sin x
Francis Wlazinski
3
e.
f.
g.
h.
i.
Si f (x) = R(sin x,cos x) et f π-périodique, on pose u = tan x.
1
Ex : Soit I = ˆ
dx.
2 − cos 2 x
On pose u = tan x, x = arctan u et dx = 1 2 du.
1+u
1
2
On a cos x =
.
1 + tan 2 x
1
1 du = ˆ
1
1
1
I=ˆ
du.
2
2 du = 2 ˆ 1
1
1
+
u
1
+
2u
2
2−
+
u
1 + u2
2
1
I = 2 arctan 2 u.
2
2
I=
arctan ( 2 tan x ).
2
Si f (x) = R(sin x,cos x), on pose u = tan x et on utilise les formules :
2
2
cos x = 1 − u 2 et sin x = 2u 2 .
1+u
1+u
1
Ex : Soit I = ˆ
dx .
3 + cos x
On pose u = tan x , x = 2 arctan u et dx = 2 2 du
1+u
2
1
2
2
1
1 arctan u .
I=ˆ
2 1 + u 2 du = ˆ 4 + 2u 2 du = ˆ 2 + u 2 du =
1
−
u
2
2
3+
1 + u2
2
2
I=
arctan
tan x .
2
2
2
2
Si f (x) = R(x, 1 − x ), on pose x = sin u.
3
Ex : Soit I = ˆ 3x
dx sur − , .
2 2
2
1−x
On pose u = arcsin x, x = sin u et dx = cos u du .
3
3
u cos u du = ˆ 3 sin 3 u du .
I = ˆ 3 sin u2 cos u du = ˆ 3 sincos
u
1 − sin u
I = ˆ 3(1 − cos 2 u ) sin u du = ˆ 3 sin u − 3 sin u cos 2 u du = cos 3 u − 3 cos u.
I = (cos 2 u − 3 ) cos u.
I = (−2 − sin 2 u ) 1 − sin 2 u = (−2 − x 2 ) 1 − x 2 .
Si f (x) = R(x, x 2 + 1 ), on pose x = sh u.
3
Ex : Soit I = ˆ 3x
dx.
x2 + 1
On pose u = argsh x, x = sh u et dx = ch u du .
3
u chu du = ˆ 3sh 3 u du = ch 3 u − 3ch u.
I = ˆ 3sh
2
sh u + 1
2
(
I = ch u − 3 )chu.
I = (−2 + sh 2 u ) 1 + sh 2 u .
I = (−2 + x 2 ) 1 + x 2 .
Si f (x) = R(x, x 2 − 1 ), on pose x = ch u.
3
Ex : Soit I = ˆ 3x
dx.
x2 − 1
On pose u = argch x, x = ch u et dx = sh u du.
3
u shu du = ˆ 3ch 3 u du = sh 3 u + 3sh u.
I = ˆ 3ch
2
ch u − 1
2
(
I = sh u + 3 )shu.
I = (2 + ch 2 u ) −1 + ch 2 u .
I = (2 + x 2 ) x 2 − 1 .
En particulier, on a :
1 t 1 + t 2 + ln t + 1 + t 2
ˆ 1 + t 2 dt =
2
Francis Wlazinski
= 1 t 1 + t 2 + argsh t
2
4
En effet, 1 t 1 + t 2 + ln t + 1 + t 2
2
= 1
2
1 + t2 +
t2
1 + t2
= 1
2
1 + t2 + t 1 + t2 + t
1 + t2
+
t + t2 + 1
2
1 + t2 + t + 1
1 + t2
= 1
2
De même, on trouve :
1 t 1 − t 2 + arcsin t .
ˆ 1 − t 2 dt =
2
1 t t 2 − 1 − ln t + t 2 − 1
ˆ t 2 − 1 dt =
2
2t
2 1 + t2
2t
2 1 + t2
+
t + t2 + 1
1+
= 1
2
1 + t2 + 1 + t2 .
= 1 t t 2 − 1 + argch t .
2
3. Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions continûment dérivables. En intégrant la relation (uv)' = u'v + uv', on obtient
ˆ u v = uv − ˆ uv . Ce procédé s'applique pour calculer les primitives des fonctions suivantes :
# Produit d'une fonction polynomiale par un sinus, un cosinus, une fonction exponentielle ou une
fonction logarithme.
# Produit d'une exponentielle par un sinus ou un cosinus.
# Fonctions trigonométriques réciproques.
# Certaines racines carrées.
On aura parfois à réitérer l'opération.
Ex :
On cherche à déterminer la primitive de ϕ(x) = (x 2 + x + 1) sin x qui s'annule en 0.
x
La primitive recherchée est la fonction définie par (x) = ˆϕ(t) dt.
0
u = t 2 + t + 1 v' = sin t
u' = 2t + 1
v = −cos t
x
ˆ(t
x
2
+ t + 1) sin t dt = [−(t + t + 1)cos t] + ˆ(2t + 1) cos t dt
2
x
0
0
0
x
= −(x + x + 1)cos x + 1 + ˆ(2t + 1) cos t dt
2
0
u = 2t + 1
u' = 2
v' = cos t
v = sin t
x
ˆ(2t
x
+ 1) cos t dt = [(2t + 1)sin t] − ˆ2 sin t dt = (2x + 1)sin x + [2 cos t ] x0 = (2x + 1)sin x + 2 cos x − 2
0
x
0
0
D'où (x) = −(x 2 + x + 1)cos x + 1 + (2x + 1)sin x + 2 cos x − 2
= (−x 2 − x + 1)cos x + (2x + 1)sin x − 1.
Francis Wlazinski
5
4. Intégration des fractions rationnelles
Définition
Soit (a0,a1,a2,....,an) une famille de n(∈À) réels et soit P = a0 + a1X + a2X 2 + .... + anX n.
On dit que P est un polynôme en X à coefficients réels i.e. P∈Á[X].
Si an ≠ 0, l'entier n est appelé degré de P et est noté deg(P).
Propriété
Soient A un polynôme et B un polynôme non nul.
Il existe un unique couple (Q,R) de polynômes tels que deg R < deg B et A = B Q + R.
On dit qu'on a effectué la division euclidienne de A par B.
Q est appelé le quotient et R est appelé le reste de cette division.
Remarque
On peut comparer cette propriété à la division euclidienne dans Ä qui donne par exemple lorsque l'on
divise 17 par 5 le résultat suivant 17 = 3 × 5 + 2.
Exemple
Soient A = 3X 3 − 2X 2 + 4X − 3 et B = X 2 + 3X + 3.
On obtient 3X 3 − 2X 2 + 4X − 3 = (X 2 + 3X + 3)(3X − 11) + 28X + 30
3
2
+ 30 .
et, en particulier, A = 3X −2 2X + 4X − 3 = 3X − 11 + 28X
B
X + 3X + 3
X 2 + 3X + 3
Méthode de calcul
On regarde les termes de plus haut degré dans 3X 3 − 2X 2 + 4X − 3 et X 2 + 3X + 3
Le quotient est 3X.
On pose la division :
3X 3 − 2X 2 + 4X − 3
− ( 3X 3 + 9X 2 + 9X )
X 2 + 3X + 3
3X
− 11X 2 − 5X − 3
On recommence avec − 11X 2 − 5X et X 2 + 3X + 3
3X3 − 2X 2 + 4X − 3
− ( 3X 3 + 9X 2 + 9X )
X 2 + 3X + 3
3X − 11
− 11X 2 − 5X − 3
−
( − 11X 2 − 33X − 33 )
28X + 30
Francis Wlazinski
6
Propriété
Tout polynôme non nul P à coefficients réels se factorise sous la forme d'un produit de facteurs de degré
1 et de facteurs de degré 2 n'ayant pas de racine dans Á.
Exemples
X 4 − 16 = (X − 2)(X + 2)(X 2 + 4) et (X 4 − 16)2 = (X − 2)2(X + 2)2(X 2 + 4)2.
Propriété
Soient A un polynôme et B un polynôme dont le terme constant est non nul. Soit n un entier naturel.
Il existe un unique couple (Q,R) de polynômes tels que deg Q ≤ n et A = B Q + X n+1R.
On dit qu'on a effectué la division de A par B suivant les puissances croissantes à l'ordre n.
Q est appelé le quotient et R est appelé le reste à l'ordre n de cette division.
Exemple
Soient A = 1 + X, B = 1 + X + X 2 et n = 4.
On obtient 1 + X = (1 + X + X 2)(1 − X 2 + X 3) − X 5
X5
et, en particulier, 1 + X 2 = 1 − X 2 + X 3 −
1+X+X
1 + X + X2
1
+
X
1
1
1
1
ou encore
=
−
+
−
.
(1 + X + X 2 )X 5 X 5 X 3 X 2 1 + X + X 2
Méthode de calcul
Il faut d'abord ordonner le polynôme suivant les puissances croissantes.
On regarde les termes de constants dans 1 + X et 1 + X + X 2. Le quotient est 1.
On pose la division :
1+X
1 + X + X2
− ( 1 + X + X2 )
1
− X2
On recommence jusqu'à l'obtention du degré voulu :
1+X
1 + X + X2
− ( 1 + X + X2 )
1 − X2 + X3
− X2
− ( − X2 − X3 − X4 )
X3 + X4
− ( X3 + X4 + X5 )
− X5
Francis Wlazinski
7
Propriété
Soient A et B deux polynômes non nuls. Soit F la fraction rationnelle A .
B
D'après le résultat sur la division euclidienne, il existe un unique couple (Q,R) de polynômes avec
deg R < deg B tels que F = Q + R .
B
D'après le résultat sur la factorisation des polynômes, B peut s'écrire sous la forme :
B = c U 11 U 22 ....U p p D 1 1 D 2 2 ....D mm où :
#
c est un réel.
#
Les Ui sont des polynômes de degré 1 sous la forme X − ai.
#
Les Dj sont des polynômes de degré 2 sans racine réelle sous la forme X 2 + cjX + dj.
#
Les αi et βj sont des entiers représentant l'ordre de multiplicité des Ui et Dj.
On admet que l'on peut mettre la fraction R sous la forme d'une somme de fractions des formes suivantes
B
p, p
2,
p,1
2,1
R = 1,1 + 1,2 + .... + 1, 1
2
+ ... +
+ ... +
1 +
2 + .. +
B (x − a 1 ) (x − a 1 ) 2
(x − a 1 )
(x − a 2 )
(x − a 2 )
(x − a p )
(x − a p )
1, x + 1,
m, m x + m, m
1,1 x + 1,1
m,1 x + m,1
1
1
+ ... +
+ ......... + 2
+ ... +
(X 2 + c 1 X + d 1 )
(X + c m X + d m )
(X 2 + c 1 X + d 1 ) 1
(X 2 + c m X + d m ) m
où les γi, δi et ζi sont des réels (ou des complexes).
p
Cette transformation s'appelle la décomposition en éléments simples de R (et de F).
B
Exemple
1
1
X + 14
2X
4
X6
1
.
+
2
2 = 1−
2 −
2 +1 +
2
2
X
X
+
1
(X + 1 ) (X + 1 )
(X + 1 )
(X + 1 ) 2
Méthode d'intégration
Après avoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples, il nous reste à intégrer deux types
de fractions :
k
(ax + b) p
Type 1 :
Si p = 1, ˆ
Si p > 1, ˆ
Type 2 :
avec p∈À* et a,b,k∈Á où a ≠ 0. On a :
k dx = k ln ax + b
a
ax + b
k
dx = ak 1
1−p
(ax + b) p
kx + l
(ax 2 + bx + c) p
1ère étape :
1
(ax + b) p−1
sur −’, − ba ou − ba , +’ .
sur −’, − ba ou − ba , +’ .
avec p∈À*, a,b,c,k,l∈Á où a ≠ 0 et ∆ = b 2 − 4ac < 0.
kx + l = k (2ax + b) − kb + l
2a
2a
2ème étape : En décomposant la fraction, on obtient une somme de la forme :
2ax + b
1
où µ et λ sont des constantes.
+
(ax 2 + bx + c) p
(ax 2 + bx + c) p
Nous nous intéressons aux deux fractions de cette expression.
Francis Wlazinski
8
a.
2ax + b
.
(ax 2 + bx + c) p
Cette fraction est sous la forme uup . On a donc :
2ax + b = ln(ax 2 + bx + c)
Si p = 1 et a > 0,
sur Á.
ˆ
ax 2 + bx + c
2ax + b = ln(−(ax 2 + bx + c ))
Si p = 1 et a < 0,
sur Á.
ˆ
ax 2 + bx + c
2ax + b
1
Si p > 1,
sur Á.
ˆ
= 1 (ax 2 + bx + c) p 1 − p (ax 2 + bx + c) p−1
1
Deuxième fraction :
.
(ax 2 + bx + c) p
2
2
2
On a ax 2 + bx + c = a x 2 + ba x + ac = a x + b + 4ac −2 b = a x + b − 2 .
2a
4a
2a
4a
2ax
+
b
2
On pose t =
(on a ∆ = b − 4ac < 0).
−
−
−
D'où x =
dt.
t − b et dx =
2a
2a
2a
1
1
ˆ
dx = ˆ
p dx
2
(ax 2 + bx + c) p
b
a x+
− 2
2a
4a
−
−
4a p ˆ
1
1
=ˆ
dt =
p p dt.
2a
2a
−
(
−
2
1 + t2 )
a
t
−
4a 2
4a 2
Première fraction :
b.
Il nous reste donc à déterminer une primitive des fonctions du type : I p = ˆ
1
dt.
(1 + t 2 ) p
Si p = 1, I1 = arctan t
Si p > 1, on intègre par partie et on obtient :
1
u=
v =1
(1 + t 2 ) p
1
u = −p 2t v=t
(1 + t 2 ) p+1
1
Ip = ˆ
dt
(1 + t 2 ) p
t
t2
Ip =
+ 2p ˆ
dt
2
p
(1 + t )
(1 + t 2 ) p+1
t
1 + t 2 dt − ˆ
1
ˆ
Ip =
+
2p
dt
(1 + t 2 ) p
(1 + t 2 ) p+1
(1 + t 2 ) p+1
t
1
1
Ip =
+ 2p ˆ
dt − ˆ
dt
(1 + t 2 ) p
(1 + t 2 ) p
(1 + t 2 ) p+1
t
Ip =
+ 2p(I p − I p+1 )
(1 + t 2 ) p
t
.
I p+1 = 1 (2p − 1)I p +
2p
(1 + t 2 ) p
Cette relation de récurrence permet de déterminer de proche en proche les Ip pour p t 2.
On obtient pour p 2 et p 3 :
t
I 2 = 1 I 1 + t 2 = 1 arctan t +
.
2
1+t
2
2(1 + t 2 )
t
.
I 3 = 1 3I 2 +
4
(1 + t 2 ) 2
3t
t
.
I 3 = 1 3 arctan t +
+
2
4 2
(1
+
t 2)2
(
)
2 1+t
3t
t
.
I 3 = 3 arctan t +
+
2
8
4(1
+
t 2)2
(
)
8 1+t
Francis Wlazinski
9
Ex :
Soit I = ˆ 2 3x + 4 2 dx.
(x + 2x + 5)
3
I = ˆ 2 2x + 2 2 dx + ˆ 2 1
dx
2 (x + 2x + 5)
(x + 2x + 5) 2
2
2
On a : x + 2x + 5 = (x + 1 ) + 4
1
I = 3 2 −1
+ˆ
dx
2 x + 2x + 5
((x + 1 ) 2 + 4 ) 2
On pose 2u = x + 1 c'est-à-dire u = x + 1
2 2
D'où x = 2u − 1 et dx = 2du.
−3
1
I=
+ 1 2ˆ
du
2
2
16
(
)
2 x + 2x + 5
(u + 1 ) 2
−3
u
I=
+ 1 1 arctan u +
2
8
2
(
)
(
2 x + 2x + 5
2 1 + u2 )
x+1
2
2 1+ x+1
2
−3
1
x
+
1
x
+
1
I=
+
arctan
+
2
2(x 2 + 2x + 5 ) 16
8(x 2 + 2x + 5 )
1
x
+
1
x
−
11
I=
arctan
+
.
16
2
8(x 2 + 2x + 5 )
−3
I=
+1
2(x 2 + 2x + 5 ) 8
1 arctan x + 1 +
2
2
2
5. Intégrales abéliennes
1
dx avec (a,b,c) ≠ (0,0,0)
ax + bx + c
1° )
Intégrales de la forme : ˆ
#
Si a = 0 et b = 0, trivial
b
1
Si a = 0 et b ≠ 0, ˆ
dx = 2 ˆ
dx = 2 bx + c sur − c , +’
b
b
b
bx + c
2 bx + c
2
2
2
Si a ≠ 0, ax 2 + bx + c = a x + b + 4ac −2 b = a x + b − 2
2a
4a
2a
4a
#
Si ∆ = 0, alors on doit avoir a > 0.
1
1
1
ˆ
dx = ˆ
dx = a ˆ
dx sur l'intervalle −’, − b ou
2
2a
b
ax 2 + bx + c
ax +
a x+ b
2
2a
b
sur l'intervalle − , +’ .
2a
#
Si ∆ < 0, alors on doit avoir a > 0.
On pose t = 2ax + b .
−
−
−
D'où x =
dt.
t − b et dx =
2a
2a
2a
1
1
ˆ
dx = ˆ
dx
2
ax 2 + bx + c
b
a x+
− 2
2a
4a
−
1
=ˆ
dt
2a
−
2
a
t − 2
4a 2
4a
#
#
2
−
2a
a
= a ˆ
=
Francis Wlazinski
2 a
1 dt
ˆ
−
1 + t2
1 dt = a argsh t = a argsh 2ax + b .
a
a
1 + t2
−
10
#
Si ∆ > 0, on pose t = 2ax + b .
t − b et dx =
dt.
2a
2a
2a
1
1
dx = ˆ
2
ax + bx + c
a x+ b
2a
1
=ˆ
D'où x =
J=ˆ
dx
−
4a 2
2a
dt.
t − 2
4a 2
4a
Si a > 0, on intègre à l'extérieur des racines et
2 a
1 dt
ˆ
J =
2a
t2 − 1
a
1 dt
= a ˆ
2
t −1
a
= a argch t
a
= a argch 2ax + b .
a
#
2
Si a < 0, on intègre à l'intérieur des racines et
2 −a
1 dt
J =
ˆ
2a
1 − t2
−a
1 dt
= a ˆ
1 − t2
−a
= a arcsin t
−a
= a arcsin 2ax + b .
#
Ex :
2
1
dx.
x +x−2
2
∆ = 9 et x 2 + x − 2 = x + 1 − 9
2
4
1
D'où I = ˆ
dx.
2
9
1
x+
−
2
4
2
1
On pose t =
x+ .
3
2
3
1
D'où x = t − et dx = 3 dt.
2
2
2
3
1
1 dt = argch t = argch 2 x + 1
I=ˆ
dt = ˆ
3
2
2
9 t2 − 9
t2 − 1
4
4
2 x + 1 2 − 1 = ln 2x + 1 + x + 1
I = ln 2 x + 1 +
3
2
3
2
3
2
Soit I = ˆ
2
2° )
Intégrales de la forme : ˆ ax 2 + bx + c dx avec (a,b,c) ≠ (0,0,0).
#
Si a = 0 et b = 0, trivial.
#
#
2
−9
4
3
Si a = 0 et b ≠ 0, ˆ bx + c dx = 2 ˆ 3 b bx + c dx = 2 (bx + c ) sur − c , +’ .
3b2 2
3b
b
2
2
b
4ac
−
b
b
2
Si a ≠ 0, ax + bx + c = a x +
+
=a x+
− 2 .
2a
4a 2
2a
4a
#
Si ∆ = 0, alors on doit avoir a > 0.
b 2 dx = a ˆ x + b dx.
ˆ ax 2 + bx + c dx = ˆ a x +
2a
2a
Francis Wlazinski
11
#
Si ∆ < 0, alors on doit avoir a > 0.
On pose t = 2ax + b .
−
−
−
D'où x =
t − b et dx =
dt.
2a
2a
2a
b 2 − dx
ˆ ax 2 + bx + c dx = ˆ a x +
2a
4a 2
−
= ˆ a −2 t 2 − 2 dt.
4a
4a
2a
= − ˆ 1 + t 2 dt.
4a a
1
2
Or ˆ 1 + t dt =
t 1 + t 2 + ln t + 1 + t 2
2
#
Si ∆ > 0
On pose t = 2ax + b .
t − b et dx =
dt.
2a
2a
2a
ax 2 + bx + c dx = ˆ a x + b
2a
D'où x =
J=ˆ
=ˆ a
=ˆ
#
4a
=
Or ˆ
t2 −
4a
4a 2
dx
4a 2
2a
2a
dt
dt.
2a
ˆ t 2 − 1 dt
2 a
ˆ t 2 − 1 dt.
4a a
t − 1 dt = 1 t t 2 − 1 − ln t + t 2 − 1
2
2
.
Si a < 0, on intègre à l'intérieur des racines et
J=
2a
=
Or ˆ
Ex :
t2 −
−
Si a > 0, on intègre à l'extérieur des racines et
J=
#
4a 2
2
ˆ 1 − t 2 dt
2 −a
ˆ 1 − t 2 dt.
4a −a
2
1 − t dt = 1 t 1 − t 2 + arcsin t .
2
Soit I = ˆ x 2 + 16x + 100 dx.
2
On a ∆ = 256 − 400 = −144 et x 2 + 16x + 100 = (x + 8 ) + 36.
2
D'où I = ˆ (x + 8 ) + 6 2 dx.
On pose 6t = x + 8.
D'où x = 6t − 8 et dx = 6 dt.
I = ˆ 36 t 2 + 1 dt = 36 ˆ t 2 + 1 dt.
I = 18 t 1 + t 2 + ln t + 1 + t 2 .
Francis Wlazinski
12
3° )
Intégrales de la forme : ˆ R x,
On pose t =
ax + b dx avec a,b,c et d des réels et R une fraction rationnelle.
cx + d
ax + b .
cx + d
On obtient :
t 2 (cx + d ) = ax + b
(ct 2 − a )x = b − dt 2
2
x = bct−2 −dta
3
−2dt(ct 2 − a ) − 2ct(b − dt 2 )
+ 2dct 3 dt = 2 ad − bc tdt.
dx =
dt = −2cdt + 2adt − 2bct
2
2
(ct 2 − a )
(ct 2 − a )
(ct 2 − a ) 2
On obtient alors une fraction rationnelle en t.
Ex :
4° )
x − 1 dx sur ]1;+∞[.
x+1
On pose t = x − 1 .
x+1
2
1
+
t
4t dt.
D'où x =
= −1 + 2 2 et dx =
1 − t2
1−t
(1 − t 2 ) 2
2
4t dt = ˆ
4t 2
Et I = ˆ 1 − t 2 t dt.
2
1+t
(1 + t 2 )(1 − t 2 )
(1 − t 2 )
2
4t
Or
=− 2 2 + 1 + 1 .
2
2
1+t
1+t 1−t
(1 + t )(1 − t )
Donc I = −2 arctan t + ln 1 + t − ln 1 − t .
C'est-à-dire I = −2 arctan x − 1 + ln 1 + x − 1 − ln 1 −
x+1
x+1
Soit I = ˆ 1x
Intégrales de la forme : ˆ R(x, ax 2 + bx + c )dx
x−1 .
x+1
avec (a,b,c) ≠ (0,0,0) et a > 0
et R une fraction rationnelle.
On pose t = ax 2 + bx + c − x a
On se ramène alors aux cas précédents.
Ex :
1
dx.
x − 2 + x 2 − 2x + 2
On pose t = x 2 − 2x + 2 − x.
2
D'où (t + x ) = x 2 − 2tx + 2
t 2 = (−2 − 2t )x + 2
2
x= 2−t
2 + 2t 2
On a alors dx = − t + 2t + 22 dt.
2(1 + t )
2
t
+
2t
+ 2 dt or t 2 + 2t + 2 = 1 + 2 − 1 .
1
D'où I = ˆ
t t+1
2
t(1 + t )
t(1 + t )
1
C'est-à-dire I = (t + 2 ln t − ln t + 1 )
2
1
2
et I =
x − 2x + 2 − x + 2 ln x 2 − 2x + 2 − x − ln x 2 − 2x + 2 − x + 1 .
2
Soit I = ˆ
Francis Wlazinski
13