Méthodes d`intégration

Méthodes d'intégration
1. Méthodes élémentaires
1.1. Propriétés de base de l'intégrale
•
Si
F
est une primiti
ve sur un intervalle
[
a,b
]
de
Á
d'une fonction numéri
que
f
(une telle fonction
F
existe
en particulier
si
f
est continue sur
[
a,b
]
)
,
alo
rs
f
(
t
)
d
t
=
F
(
b
)
−
F
(
a
).
a
b
L'application définie sur
[
a,b
]
par
x
Å
f
(
t
)
d
t
est la primitive de
f
sur
[
a,b
]
qui s'annule en
a
.
a
x
•
La notation
f
(
t
)
d
t
d
é
sign
e une primitive de
f
.
Toute p
rimiti
ve de
f
s'
obtient en ajo
utant une constante à
f
(
t
)
d
t
.
•
Avec les hypothèses q
ui s'imposent, nous avons :
#
f
(
t
)
d
t
= −
f
(
t
)
d
t
b
a
a
b
#
(
λ
f
+ µ
g
)
(
t
)
d
t
=
λ
f
(
t
)
d
t
+ µ
g
(
t
)
d
t
∀λ
,
µ∈
Á
a
b
a
b
a
b
#
f
(
t
)
d
t
=
f
(
t
)
d
t
+
f
(
t
)
d
t
∀
c
∈
[
a,b
]
a
b
a
c
c
b
#
f
(
t
)
d
t
=
0 avec
f
continue et de signe constant implique
f
=
0.
a
b
1.2. Combinaison linéaire de primitives connues
Ex :
tan
2
t
d
t
=
−
1
+
1
+
tan
2
t
d
t
=
.
/
6
/
3
/
6
/
3
[
−
t
+
t
a
n
t
]
/
6
/
3
= −
3
+
3
− −
6
+
1
3
=
2
3
3
−
6
1.3. Polynômes trigonométriques
Toute puissance des fonctions sinus et cosinus peut être transformée en combinaison linéaire des sinus et
cosinus de multiples entiers de la variable.
Cette opération est appelée
"linéa
risation
de pol
ynôm
es trigonométriq
ues" et s'obtient en utilisant les
formules
d'Euler
:
et
.
c
o
s
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
s
i
n
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
Ex :
On cherche à calculer
.
I
=
/
2
(
1
+
c
o
s
t
+
c
o
s
2
t
)
d
t
O
r
, pour tout réel
x
, nous avons
.
c
o
s
2
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
2
=
e
2
i
x
+
2
e
i
x
e
−
i
x
+
e
−
2
i
x
4
=
1
+
c
o
s
2
x
2
D'où
pour tout
t
et donc
1
+
c
o
s
t
+
c
o
s
2
t
=
3
2
+
c
o
s
t
+
1
2
c
o
s
2
t
2
;
I
=
/
2
(
3
2
+
c
o
s
t
+
1
2
c
o
s
2
t
)
d
t
=
3
t
2
+
s
i
n
t
+
1
4
s
i
n
2
t
/
2
I
=
3
2
+
s
i
n
+
1
4
s
i
n
2
−
3
4
+
s
i
n
2
+
1
4
s
i
n
2
2
=
3
2
−
3
4
−
1
=
3
4
−
1
Francis
Wlazins
k
i
1

1.4. Reconnaissance de formes usuelles
Soit
f
une fonction dont on connaît une primitive
F
, s
oit
u
une fonction de dérivée
u'
et soit
k
∈
Á
.
Une primiti
ve de la fonction
ku'
f
(
u
)
est
k
F
(
u
)
.
Ex :
Soit
.
f
(
x
) =
c
o
s
x
e
3
s
i
n
x
=
c
o
s
x
e
3
2
s
i
n
x
S
i on pose
, on a
.
u
(
x
) =
3
2
s
i
n
x
f
(
x
) =
2
3
u
(
x
)
e
u
(
x
)
Et donc
,
est une primiti
ve de
f
.
F
(
x
) =
2
3
e
u
(
x
)=
2
3
e
3
2
s
i
n
x
=
2
3
e
3
s
i
n
x
2. Changement de variable
Propriété
Soit
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a,b
]
de
Á
.
Soit
ϕ
une bijection de
[
a,b
]
dans
ϕ
([
a,b
])
tel que
ϕ−
1
soit de classe
:
1
.
Alors :
a
b
f
(
t
)
d
t
=
(
a
)
(
b
)
f
(
'
−
1
(
u
)
)
(
'
−
1
)
(
u
)
d
u
Remarque 1
On trouve parfois cette propriété sous les formes :
#
Soit
φ∈
:
1
([
a,b
])
où
[
a,b
]
est un intervalle de
Á
.
Soit
f
une fonction numérique définie et continue sur un intervalle contenant
φ
(
[
a,b
]
)
.
Alors :
(
a
)
(
b
)
f
(
t
)
d
t
=
a
b
(
f
o
&
)
(
u
)
&
(
u
)
d
u
#
Soit
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a,b
]
de
Á
et soit
ϕ∈
:
1
([
a,b
])
bijective.
Alors :
a
b
f
(
t
)
d
t
=
−
1
(
a
)
−
1
(
b
)
f
(
'
(
u
)
)
'
(
u
)
d
u
Remarque 2
'
(
[
a
,
b
]
)
=
[
'
(
a
)
,
'
(
b
)
]
s
i
'
e
s
t
c
r
o
i
s
s
a
n
t
e
[
'
(
b
)
,
'
(
a
)
]
s
i
'
e
s
t
d
e
´
c
r
o
i
s
s
a
n
t
e
Dans la pratique :
On cherche à déter
miner
.
a
b
f
(
x
)
d
x
Si on pose
u
=
ϕ
(
x
)
,
on a
x
=
ϕ−
1
(
u
)
et
=
(
ϕ−
1
)
'
(
u
)
c'est-
à-dire
d
x
=
(
ϕ−
1
)
'
(
u
)
d
u
.
d
x
d
u
On remplace
x
et
d
x
par leur
s
nouvelle
s
valeur
s
et
a
et
b
par
ϕ
(
a
)
et
ϕ
(
b
)
.
Ex :
On cherche à calculer
.
I
=
1
4
3
x
1
+
x
4
d
x
On pose
u
=
x
2
=
ϕ
(
x
)
,
d'o
ù
=
ϕ−
1
(
u
)
et d
.
x
=
u
x
=
1
2
u
d
u
ϕ
est
croissante et
ϕ
est une
bijection de
sur
.
1
,
4
3
1
,
3
.
I
=
1
3
u
1
+
u
2
1
2
u
d
u
=
1
2
1
3
1
1
+
u
2
d
u
=
1
2
[
a
r
c
t
a
n
u
]
1
3
=
1
2
3
−
4
=
1
2
1
2
=
2
4
Francis
Wlazins
k
i
2

Rappel
a
rcsin
est la fonction définie sur [
−
1,1] à valeurs dans
qui vérifie
sin(
a
rcsin(
x
))
=
x
.
−
2
,
2
a
rccos
est la fonction définie sur [
−
1,1] à valeurs dans
qui vérifie
cos(
a
rccos(
x
))
=
x
.
[
0
,
]
a
rctan
est la fonction définie sur
Á
à valeurs dans
qui vérifie
tan(
a
rctan(
x
))
=
x
.
−
2
,
2
c
h
x
=
e
x
+
e
−
x
2
s
h
x
=
e
x
−
e
−
x
2
t
h
x
=
s
h
x
c
h
x
c
h
2
x
−
s
h
2
x
=
1
1
c
h
2
x
=
1
−
t
h
2
x
(ch
x
)
'
=
sh
x
(
sh
x
)
'
=
ch
x
(
th
x
)
'
=
1
−
th
2
x
a
rgch
est la bijection de [1,
+∞
[ dans [0,
+∞
[
qui vérifie
ch(
a
rgch(
x
))
=
x
.
a
rgsh
est la bijection de
Á
dans
Á
qui vérifie
sh(
a
rgsh(
x
))
=
x
.
a
rgth
est la bijection de
]
−
1,1
[
dans
Á
qui vérifie
th(
a
rgth(
x
))
=
x
.
Règles pratiques
Soit
R
une fraction rationnelle à une ou deux variables.
On cherche à calculer
.
f
(
t
)
d
t
a.
Si
f
(
x
)
=
R
(tan
x
), on pose
u
=
tan
x
.
Ex :
Soit
.
I
=
t
a
n
2
x
+
1
t
a
n
2
x
−
1
d
x
On pose
u
=
tan
x
,
x
=
a
rctan
u
et
d
x
=
d
u
.
1
1
+
u
2
.
I
=
u
2
+
1
u
2
−
1
1
u
2
+
1
d
u
=
1
u
2
−
1
d
u
= −
1
1
−
u
2
d
u
= −
1
2
l
n
1
+
u
1
−
u
.
I
=
1
2
l
n
1
−
u
1
+
u
=
1
2
l
n
1
−
t
a
n
x
1
+
t
a
n
x
b.
Si
f
(
x
)
=
R
(
e
x
),
on pose
u
=
e
x
.
Ce
l
a comprend
entre aut
re les formes
R
(
sh
x
, c
h
x
).
Ex :
Soit
.
I
=
1
e
x
+
2
e
−
x
d
x
On pose
u
=
e
x
,
x
=
ln
u
et
d
x
=
d
u
.
1
u
I
=
1
u
+
2
u
1
u
d
u
=
1
u
2
+
2
d
u
=
1
2
a
r
c
t
a
n
u
2
.
I
=
1
2
a
r
c
t
a
n
e
x
2
c.
Si
f
(
x
)
=
R
(
sin
x
,cos
x
) et
f
impaire, on pose
u
=
cos
x
.
Ex :
Soit
sur
.
I
=
c
o
s
3
x
s
i
n
3
x
d
x
[
0
;
]
On pose
u
=
cos
x
,
x
=
a
rc
cos
u
et
d
x
=
d
u
.
−
1
1
−
u
2
On a
mais, sur
,
sin
x
≥
0.
s
i
n
x
=
1
−
c
o
s
2
x
[
0
;
]
.
I
=
u
3
1
−
u
2
3
−
1
1
−
u
2
d
u
= −
u
3
−
u
5
d
u
=
u
6
6
−
u
4
4
.
I
=
c
o
s
6
x
6
−
c
o
s
4
x
4
d.
Si
f
(
x
)
=
R
(
sin
x
,cos
x
)
et
f
(
π−
x
)
=
−
f
(
x
), on pose
u
=
sin
x
.
Ex :
Soit
.
I
=
c
o
s
3
x
s
i
n
2
x
d
x
On pose
u
=
sin
x
,
x
=
a
rc
sin
u
et
d
x
=
d
u
.
1
1
−
u
2
I
=
1
−
u
2
u
2
3
1
1
−
u
2
d
u
=
1
−
u
2
u
2
d
u
=
1
u
2
−
1
d
u
= −
1
u
−
u
.
I
= −
1
s
i
n
x
−
s
i
n
x
Francis
Wlazins
k
i
3

e.
Si
f
(
x
)
=
R
(
sin
x
,cos
x
)
et
f
π
-périodique,
on pose
u
=
tan
x
.
Ex :
Soit
.
I
=
1
2
−
c
o
s
2
x
d
x
On pose
u
=
tan
x
,
x
=
a
rc
tan
u
et
d
x
=
d
u
.
1
1
+
u
2
On a
cos
2
x
=
.
1
1
+
t
a
n
2
x
.
I
=
1
2
−
1
1
+
u
2
1
1
+
u
2
d
u
=
1
1
+
2
u
2
d
u
=
1
2
1
1
2
+
u
2
d
u
.
I
=
1
2
2
a
r
c
t
a
n
2
u
.
I
=
2
2
a
r
c
t
a
n
(
2
t
a
n
x
)
f.
Si
f
(
x
)
=
R
(
sin
x
,cos
x
)
, on pose
u
=
tan
et on utilise les formules :
x
2
.
c
o
s
x
=
1
−
u
2
1
+
u
2
e
t
s
i
n
x
=
2
u
1
+
u
2
Ex :
Soit
.
I
=
1
3
+
c
o
s
x
d
x
On pose
u
=
tan
, x
=
2
a
rc
tan
u
et
d
x
=
d
u
x
2
2
1
+
u
2
.
I
=
1
3
+
1
−
u
2
1
+
u
2
2
1
+
u
2
d
u
=
2
4
+
2
u
2
d
u
=
1
2
+
u
2
d
u
=
1
2
a
r
c
t
a
n
u
2
.
I
=
2
2
a
r
c
t
a
n
2
2
t
a
n
x
2
g.
Si
f
(
x
)
=
R
(
x
,
), on pose
x
=
sin
u
.
1
−
x
2
Ex :
Soit
sur
.
I
=
3
x
3
1
−
x
2
d
x
−
2
,
2
On pose
u
=
a
rcsin
x
,
x
=
sin
u
et
d
x
=
cos
u
d
u
.
.
I
=
3
s
i
n
3
u
1
−
s
i
n
2
u
c
o
s
u
d
u
=
3
s
i
n
3
u
c
o
s
u
c
o
s
u
d
u
=
3
s
i
n
3
u
d
u
.
I
=
3
(
1
−
c
o
s
2
u
)
s
i
n
u
d
u
=
3
s
i
n
u
−
3
s
i
n
u
c
o
s
2
u
d
u
=
c
o
s
3
u
−
3
c
o
s
u
.
I
=
(
c
o
s
2
u
−
3
)
c
o
s
u
.
I
=
(
−
2
−
s
i
n
2
u
)
1
−
s
i
n
2
u
=
(
−
2
−
x
2
)
1
−
x
2
h.
Si
f
(
x
)
=
R
(
x
,
), on pose
x
=
sh
u
.
x
2
+
1
Ex :
Soit
.
I
=
3
x
3
x
2
+
1
d
x
On pose
u
=
a
r
g
s
h
x
,
x
=
sh
u
et
d
x
=
ch
u
d
u
.
− 3
ch
u
.
I
=
3
s
h
3
u
s
h
2
u
+
1
c
h
u
d
u
=
3
s
h
3
u
d
u
=
c
h
3
u
.
I
=
(
c
h
2
u
−
3
)
c
h
u
.
I
=
(
−
2
+
s
h
2
u
)
1
+
s
h
2
u
.
I
=
(
−
2
+
x
2
)
1
+
x
2
i.
Si
f
(
x
)
=
R
(
x
,
), on pose
x
=
ch
u
.
x
2
−
1
Ex :
Soit
.
I
=
3
x
3
x
2
−
1
d
x
On pose
u
=
a
r
g
c
h
x
,
x
=
c
h
u
et
d
x
=
sh
u
d
u
.
+
3sh
u
.
I
=
3
c
h
3
u
c
h
2
u
−
1
s
h
u
d
u
=
3
c
h
3
u
d
u
=
s
h
3
u
.
I
=
(
s
h
2
u
+
3
)
s
h
u
.
I
=
(
2
+
c
h
2
u
)
−
1
+
c
h
2
u
.
I
=
(
2
+
x
2
)
x
2
−
1
En particulier, o
n a
:
1
+
t
2
d
t
=
1
2
t
1
+
t
2
+
l
n
t
+
1
+
t
2
=
1
2
t
1
+
t
2
+
a
r
g
s
h
t
Francis
Wlazins
k
i
4

En effet,
1
2
t
1
+
t
2
+
l
n
t
+
1
+
t
2
=
1
2
1
+
t
2
+
t
2
t
2
1
+
t
2
+
1
+
2
t
2
1
+
t
2
t
+
t
2
+
1
.
=
1
2
1
+
t
2
+
t
2
1
+
t
2
+
1
+
t
2
+
t
1
+
t
2
t
+
t
2
+
1
=
1
2
1
+
t
2
+
t
2
+
1
1
+
t
2
=
1
2
1
+
t
2
+
1
+
t
2
De même
, o
n trouve
:
.
1
−
t
2
d
t
=
1
2
t
1
−
t
2
+
a
r
c
s
i
n
t
.
t
2
−
1
d
t
=
1
2
t
t
2
−
1
−
l
n
t
+
t
2
−
1
=
1
2
t
t
2
−
1
+
a
r
g
c
h
t
3. Intégration par parties
Soient
u
et
v
deux fonctions conti
n
ûment dérivables.
En intégrant
la relation
(
uv
)
'
=
u'v
+
uv'
,
on
obtient
. Ce proc
édé s'applique pour calculer les primitives des fonctions suivantes :
u
v
=
u
v
−
u
v
# Produit d'une fonction polynomiale par un sinus, un cosinus, une fonction exponentielle ou une
fonction logarithme.
# Produit d'une exponentielle par un sinu
s ou un cosinus.
# Fonctions tr
igonom
étriques réciproques.
# Certaines ra
cines carrées.
On aura parfois à réitére
r l'opération.
Ex :
On cherche à d
éterminer la primi
tive de
ϕ
(
x
)
=
(
x
2
+
x
+
1)
sin
x
qui s'annule en 0.
La primitive recherchée est la fonction définie par
ϕ
(
t
)
d
t
.
(
x
) =
0
x
u
=
t
2
+
t
+
1
v'
=
sin
t
u'
=
2
t
+
1
v
=
−
cos
t
(
t
2
+
t
+
1)
sin
t
d
t
=
[
−
(
t
2
+
t
+
1)
cos
t
+
(2
t
+
1)
cos
t
d
t
0
x
]
0
x
0
x
= −
(
x
2
+
x
+
1)
cos
x
+
1
+
(2
t
+
1)
cos
t
d
t
0
x
u
=
2
t
+
1
v'
=
cos
t
u'
=
2
v
=
sin
t
(2
t
+
1)
cos
t
d
t
=
[(2
t
+
1)
sin
t
−
2
sin
t
d
t
=
(2
x
+
1)
sin
x
+
[2
cos
t
=
(2
x
+
1)
sin
x
+
2
cos
x
−
2
0
x
]
0
x
0
x
]
0
x
D'o
ù
−
(
x
2
+
x
+
1)
cos
x
+
1
+
(2
x
+
1)
sin
x
+
2
cos
x
−
2
(
x
) =
=
(
−
x
2
−
x
+
1)
cos
x
+
(2
x
+
1)
sin
x
−
1
.
Francis
Wlazins
k
i
5