CHAMPS DE VECTEURS INVARIANCES ET SYMÉTRIES PARTIE 0

CHAMPS DE VECTEURS
INVARIANCES ET SYMÉTRIES
PARTIE 0
GB
3
•/•

a – Invariance par translation
Système invariant dans toute rotation autour d’un axe Oz
Système physique invariant dans une translation parallèle à un axe Oz
⇒Les effets ne dépendent pas de z
b – Invariance par rotation autour d’un axe
En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) : effets indépendants de θ
⇒ne dépendent que de ρet z
Système physique invariant dans toute rotation autour d’un axe Oz
ainsi que dans toute translation suivant Oz
c – Invariance par rotation et translation
1/ Invariances
La recherche des invariances du système physique permet de déterminer
de quelles variables les effets produits (potentiels et champs) vont dépendre
symétrie cylindrique
symétrie de révolution
En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) : effets indépendants de θet de z
⇒ne dépendent que de ρ
•/•
Système invariant dans toute rotation autour d’un point O
d – Invariance par rotation autour d’un point
En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) : les effets ne dépendent que de r
symétrie sphérique
ϕ
θ
P(r, θ, ϕ)
r
O
P’
x
y
z
z
GB
4

2/ Vecteurs polaires
Sens : résulte de la définition même de la grandeur, sans convention particulière.
Sens absolu (indépendant du trièdre de référence choisi).
Exemples : Vitesse, Force
Notés
P
Transformation du vecteur polaire par rapport à un plan de symétrie
⇒image par un miroir plan confondu avec ce plan.
Conservation des composantes // au plan de symétrie
Inversion de la composante ⊥
⊥⊥
⊥ au plan de symétrie
ΠsΠs
•/•
GB
5

(Anti -miroir )
Transformation d’un vecteur polaire par rapport à un plan d’anti-symétrie
Inversion des composantes // au plan d’antisymétrie
Conservation de la composante ⊥
⊥⊥
⊥ au plan d’antisymétrie
ΠaΠa
•/•
Le calcul de certaines grandeurs physiques est facilité si l’on tient compte des symétries
du système étudié
Si un système physique (source) admet une symétrie, les grandeurs (en particulier les
vecteurs) qui permettent d’analyser les effets produits par ce système, admettent aussi
cette symétrie
a – Principe de Curie
‘Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes
doivent se retrouver dans les effets produits'
3/ Symétries
GB
6

Opération de symétrie système physique reste inchangé doit être aussi inchangé
Πs : plan de symétrie du système et M ∈ Πs
Soit caractérisant l’effet produit par ce système (exemple : champ électrostatique créé
par un système de charges)
(
)
MP
Trace de Π
ΠΠ
Π
S
(M)'P
orienté a priori de façon quelconque par rapport à Πs
(
)
MP
Symétrie Πs :
•
⁄
•
(
)
MP
(
)
M'P (Symétrique de par rapport à Πs)
(
)
MP
(
)
MP
(
)
(
)
M'PMP =⇒∈ Πs
(
)
MP
(
)
MP
(
)
MP
Lorsqu’un système physique créant un champ possède un plan de symétrie Π
ΠΠ
Π s
⇒
⇒⇒
⇒∀
∀∀
∀ M ∈
∈∈
∈ Π
ΠΠ
Π s , nécessairement ∈
∈∈
∈ Π
ΠΠ
Π sP
P(M)
Système physique
créant P(M)
M
•
b – Système physique ‘source’ possédant un plan de symétrie
Plan de symétrie : Partage un système en deux parties, images exactes l’une de l’autre
•/•
GB
7