CHAMPS DE VECTEURS INVARIANCES ET SYMÉTRIES PARTIE 0

3
GB
PARTIE 0
CHAMPS DE VECTEURS
INVARIANCES ET SYMÉTRIES
•/•
4
GB
1/ Invariances
La recherche des invariances du système physique permet de déterminer
de quelles variables les effets produits (potentiels et champs) vont dépendre
a – Invariance par translation
Système physique invariant dans une translation parallèle à un axe Oz
⇒ Les effets ne dépendent pas de z
b – Invariance par rotation autour d’un axe
Système invariant dans toute rotation autour d’un axe Oz
En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) : effets indépendants de θ
⇒ ne dépendent que de ρ et z symétrie de révolution
c – Invariance par rotation et translation
Système physique invariant dans toute rotation autour d’un axe Oz
ainsi que dans toute translation suivant Oz symétrie cylindrique
En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) : effets indépendants de θ et de z
⇒ ne dépendent que de ρ
z
P(r, θ, ϕ)
d – Invariance par rotation autour d’un point
Système invariant dans toute rotation autour d’un point O
En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) : les effets ne dépendent que de r
x
symétrie sphérique
z θ r
O
ϕ
y
P’
•/•
5
GB
2/ Vecteurs polaires
Sens : résulte de la définition même de la grandeur, sans convention particulière.
Sens absolu (indépendant du trièdre de référence choisi).
Exemples : Vitesse, Force
Notés P
Transformation du vecteur polaire par rapport à un plan de symétrie
⇒ image par un miroir plan confondu avec ce plan.
Conservation des composantes // au plan de symétrie
Inversion de la composante ⊥ au plan de symétrie
Πs
Πs
•/•
6
GB
Transformation d’un vecteur polaire par rapport à un plan d’anti-symétrie (Anti -miroir )
Inversion des composantes // au plan d’antisymétrie
Πa
Πa
Conservation de la composante ⊥ au plan d’antisymétrie
3/ Symétries
a – Principe de Curie
‘Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes
doivent se retrouver dans les effets produits'
Si un système physique (source) admet une symétrie, les grandeurs (en particulier les
vecteurs) qui permettent d’analyser les effets produits par ce système, admettent aussi
cette symétrie
Le calcul de certaines grandeurs physiques est facilité si l’on tient compte des symétries
du système étudié
•/•
7
GB
b – Système physique ‘source’ possédant un plan de symétrie
Plan de symétrie : Partage un système en deux parties, images exactes l’une de l’autre
P(M )
Système physique
M
•
P(M ) Trace de ΠS
créant P(M)
P' (M)
Πs : plan de symétrie du système et M ∈ Πs
Soit P(M ) caractérisant l’effet produit par ce système (exemple : champ électrostatique créé
par un système de charges)
P(M ) orienté a priori de façon quelconque par rapport à Πs
Symétrie •⁄ • Πs : P(M )
P' (M ) (Symétrique de P(M ) par rapport à Πs)
Opération de symétrie système physique reste inchangé P(M ) doit être aussi inchangé
P(M ) = P' (M ) ⇒ P(M ) ∈ Πs
Lorsqu’un système physique créant un champ P possède un plan de symétrie Πs
⇒ ∀ M ∈ Πs , nécessairement P(M) ∈ Πs
•/•
8
GB
c – Système physique ‘source’ possédant un plan d’antisymétrie
P(M )
P(M )
P' (M)
Système physique
•
M
Trace de Πa
créant P(M)
Πa : plan d’antisymétrie de la distribution D de charges du système et M ∈ Πa
Soit P(M ) caractérisant l’effet produit par ce système
Opération d’antisymétrie : Conjugaison d’une symétrie + inversion du signe des charges
⇒ Opération d’antisymétrie •⁄ • Πa D invariante
Symétrie •⁄ • Πa : P(M )
P(M ) invariante
P' (M ) (Symétrique de P(M ) •⁄ • Πa + inversion de sens)
P(M ) = P' (M ) ⇒ P(M ) ⊥ Πa
Lorsqu’un système physique créant un champ P possède un plan d’antisymétrie Πa
⇒ ∀ M ∈ Πa , nécessairement P(M) ⊥ Πa
•/•
9
GB
⇒
RÉSUMÉ
Vecteurs polaires
M ∈ Πs ⇒ P (M )∈ Πs
M ∈ Πa ⇒ P (M )⊥ Πa
•/•
10
GB
PARTIE 1
ÉLECTROSTATIQUE
11
Chapitre I
GB
CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
1/ Historique et premières définitions
Phénomènes électriques observés dans l’antiquité : attraction des brindilles de paille par
- ambre frotté avec de la laine (ambre : elektron (ελεκτρον) en grec)
- baguette de verre frottée avec de la soie
XVIIIiéme siècle : mise en évidence de deux formes d’électricité
- celle obtenue en frottant des corps résineux avec de la laine (ambre, ébonite,…)
- celle obtenue en frottant des corps vitreux avec de la laine (verre, mica,…)
Deux morceaux de verre frottés
avec de la laine ⇒ répulsion
Deux morceaux d’ambre frottés
avec de la laine ⇒ répulsion
•/•
12
GB
Morceau d’ambre frotté en présence
d’un morceau de verre frotté
⇒ attraction
→ Force électrostatique
2/ Interaction coulombienne
∃ deux types de charges : charges > 0 et charges < 0
Unité de charge électrique : le Coulomb (abréviation : C)
Charges qui apparaissent sur le verre frotté : charges > 0 ,sur l’ambre frotté charges < 0
q q
Norme de la force entre deux charges électriques q1 et q2 : F = K 1 2
2
r
- r : distance entre les charges
- Agit suivant la droite qui joint les charges
- K : constante dépendant du milieu dans lequel baignent les charges
Dans le vide (ou l’air) K ≈ 9 109 Nm2 C-2
- Répulsion si charges de même signe (> 0 ou < 0), c’est à dire si q1q2 > 0
- Attraction si charges de signe opposé, c’est à dire si q1q2 < 0
•/•
13
GB
Notation vectorielle
F2 /1
q1 u
•
r
q2
q1 u
F1 / 2
•
•
F2 /1
r
F1/ 2
q2
•
Cas q1q2 < 0
Cas q1q2 > 0
F1 / 2 : Force exercée par q1 sur q2 , appliquée en q2
F 2 / 1 = − F1 / 2 : Force exercée par q2 sur q1, appliquée en q1
Forces égales et opposées (action et réaction) F1/ 2 = F2 /1 = F
u : vecteur unitaire porté par la droite passant par les charges, de q1 vers q2
F1 / 2 = K
q1q 2
r2
u
LOI DE
COULOMB
REMARQUES :
- Charge électrique quantifiée
- Plus petite charge existant : portée par l’électron ou le proton
- Charge de l’électron : négative e- ≈ − 1,60217733 10-19 C
- Charge du proton : égale à celle de l’électron, mais opposée en signe
- Une charge de 1 Coulomb est énorme
•/•
14
GB
- Corps neutre : contient autant d’électrons que de protons
- Corps chargé > 0 : des électrons ont été arrachés
(des électrons ont été arrachés des baguettes de verre frottées)
- Corps chargé < 0 : des électrons ont été apportés (surabondants)
(des électrons ont été apportés par les baguettes d’ambre frottées)
Une des lois fondamentales de la physique : Indestructibilité de la charge électrique
Ni création, ni annihilation de la charge
(Les charges se déplacent d’un point à un autre, mais n’apparaissent jamais de nulle part)
LA CHARGE ELECTRIQUE EST CONSERVEE
F3
q1 • u 1
- Charge q placée au voisinage de plusieurs autres
⇒ Force sur q : Résultante des forces dues à chacune
r
r
qi u i
des autres charges : F = Kq ∑ 2
ri
i
r1
F2
q
q2 •
u2
r2
F1
r3
q3 •
u3
Cas q×qi > 0
•/•
15
GB
3/ Champ électrostatique (Michael Faraday 1791 – 1867)
a - Définition
Deux charges qo et q distantes de r en interaction électrostatique
q q
F = K o2 u
qo est soumise de la part de q à la force
r
On déplace qo de M en M’:
O u
q •
qo est encore soumise à une force d’interaction
On introduit une grandeur vectorielle qui ne dépend que de la charge q
F
q
= K 2 u (N.C-1)
et de la position de M : E =
qo
r
M
•
F
r
qo
Cas q×qo < 0
• M’
qo
E contient toute l’information pour calculer la force subie par qo : c’est à dire F = q o E
E : champ électrostatique créé par q
Existe dans tout l’espace, même en l’absence de qo
Le vecteur champ électrostatique est un vecteur polaire
Lignes de champ : Courbes tangentes au champ et orientées dans le sens du champ
•/•
16
GB
b - Expression du champ électrostatique créé par une charge unique
Déduite de la loi de Coulomb
r F
r
E = = K q2 u
qo
r
qo E
u
E ne dépend que de q et de la position de P
q
M
•
F
P
Cas q et qo > 0
Si q < 0 ⇒ E dirigé vers q
Si q > 0 ⇒ E dirigé de M vers P
Lignes de champ dues à une charge > 0
Lignes de champ dues à une charge < 0
•/•
17
GB
c – Principe de superposition
Charges q1 et q2 placées en O1 et O2
Force subie par la charge qo = résultante des forces que qo aurait subi en présence de q1 et q2
agissant séparément
De même pour les champs :
F1 = qE1
O2
• u2
q2
F2 = qE2
r2
E1
F = F1 + F2 = q E1 + E2 


Puisque F= qE ⇒ E = E1 + E2
N
Pour N charges : E = ∑ Ei
i =1
r
= K ∑ qi2 u i
i ri
O1
•
q1
u1
r1
M
•
q
F1
E
F
E2
F2
q, q1 et q2 > 0
Tout se passe comme si en M, on avait la résultante de chaque champ agissant séparément
C’est le principe de superposition
Résultat très important :
Permet le calcul du champ électrostatique que produit en tout point de l’espace une
distribution de charges ponctuelles
•/•
18
GB
d – Distribution volumique de charges
Domaine D chargé décomposé en éléments de volume infinitésimaux dτ portant des
charges infinitésimales dq
Chaque élément dτ contient une densité volumique de charges
ρ = dq (C/m3)
dτ
Champ créé en P par dτM : dE M (P) = K ρM d2 τM u M
rM
Pour toutes les charges situées à l’intérieur de D : E(P) = K ∫∫∫ρΜ u2M dτΜ
rM
D
P
rM
dτM u M
M
dqM
D
•/•
19
GB
e – Distribution surfacique de charges
Charges sur S délimitant le domaine D
S décomposée en éléments de surface ds portant des charges dq
σ = dq (C/m2)
ds
Chaque ds contient une densité surfacique de charge
σ ds
Champ créé en P par dsN : dE N (P) = K N 2 N u N
rN
Pour toutes les charges situées sur S :
E(P) = K ∫∫ σN u2N ds N
rN
S
P
rN
S
dsN
N
uN
dqN
•/•
20
GB
f – Distribution linéique de charges
Charges réparties sur un fil L
L décomposé en éléments de longueur dl portant des charges dq
Chaque dl contient une densité linéique de charge λ = dq
dl
(C/m)
Champ créé en P par dlN : dE K (P) = K λ K d2 l K u K
rK
Pour toutes les charges situées sur L : E(P ) = K λ K
∫
L
uK
rK2
dl
P
rK
K
dlK
uK
dqK
L
•/•
21
GB
4/ Champ électrostatique créé par diverses distributions de charges
a – Champ électrostatique créé en un point de l'axe d'un anneau circulaire chargé
Q (> 0) : charge de l’anneau de rayon R
⇒ densité linéique λ = Q
2πR
E(z)
Kλdl
dE créé en P(z) par dl Norme : dE = 2
R + z2
dEz
• P(z)
Composante effective : dE z (suivant u z )
Norme : dE z = dE cos θ =
⇒ E(z) = Kλ
Kλzdl
 2
 R

+
2 3 2
z 

( cos θ =


En P’(−z) : E(−z) = −E(z)

z
12 )
 R 2 + z2 



z 2πR u z = KQ
z
u
32
32 z
 R 2 + z2 
 R 2 + z2 




θ
dE

R
z
uz
O
dl
• P’(−z)

E(−z)
•/•
22
GB
b – Champ électrostatique créé à proximité d'une grande feuille plane et mince chargée
Plan infini : Superposition de couronnes concentriques comprises entre R et R+dR
dEz
Densité surfacique de charge : σ
Charge de la couronne élémentaire : dq = σ ds ( avec ds = 2πR dR )
• P(z)
uz
Champ élémentaire créé en P(z) par cette couronne :
R
dE(z) = 2πσKz RdR 3 2 u z
 R 2 + z2 



O
dR

Champ créé en P(z) par le plan infini : E(z ) = 2π σK z u z
∞
∫ (R
0
∞
= 2π σK z u z
dr
∫r
2
RdR
2
+ z2
)
32
(en posant r 2 = R 2 + z 2)
z
⇒ E (z > 0 ) = 2π σ K u z (Champ uniforme)
E(z < 0 ) = −E (z > 0 )
σ>0
•/•
23
GB
Chapitre II
POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE
1/ Rappel : Circulation d’un vecteur le long d’une courbe
Champ de vecteurs W ( x , y, z) dépendant des coordonnées d’espace (coordonnées de P)
Quantité scalaire dC = W • dr : circulation élémentaire
du champ de vecteurs W lors du déplacement dr
A
B
Intégrale
∫
B
CP
dr
W
r
W • dr notée C (W) : circulation du vecteur W entre les points A et B
A
A→B
Pour une courbe fermée C : C  W  = ∫ W • dr
C

C
Le champ de vecteurs est conservatif lorsque la circulation ne dépend pas du trajet suivi
Il est dissipatif sinon
•/•
24
GB
- Remarque : Circulation nulle sur une boucle fermée pour un champ conservatif
Soient deux points A et B d’une boucle fermée C :
On écrit la circulation de A à B de deux façons :
C A → B = C A→ B
C1
C A→ B
(puisque le trajet n’importe pas)
(le long de C1) (le long de C2)
Or C A→ B = −C B→ A
(le long de C2) (le long de C2)
●
A●
⇒ C A→ B = −C B→ A
C A→ B
(le long de C1) (le long de C2)
Pour la boucle fermée ABA : ⇒ C A→ B + C B→ A
(le long de C1) (le long de C2)
B
C2
=0
∫
⇒ C = W c • dr = 0
C
•/•
25
GB
2/ Définition du potentiel électrostatique
Action de E q soumise à F = qE
Déplacement élémentaire dr de q ⇒ travail effectué par F : δT = F • dr = qE • dr
Variation d’énergie potentielle d’interaction électrostatique dE p = − δT (joule : J)
dE p = − qE • dr
Variation de potentiel électrostatique = variation d'énergie potentielle par unité de charge
dE
dV = q p ⇒ dV = − E • dr
B
Pour un chemin C de A à B ⇒ VB − VA = − E • dr
∫
A
dr
A
q
3/ Circulation du champ électrostatique
B
E
dC = E • dr : Circulation élémentaire du vecteur champ E pour le déplacement dr = −dV
r B
Circulation de E entre A et B : C (E) = ∫ E • dr
A→B
A
r
⇒ VB − VA = − C (E)
A→B
•/•
26
GB
REMARQUES :
1. Unité de potentiel : joule par coulomb (J/C) ou volt (V)
2. Unité de champ électrostatique : jusqu’à présent utilisé le N/C ⇒ V/m
4/ Surface équipotentielle
Équipotentielle : Lieu des points de l’espace où le potentiel est constant
• Déplacement drt sur une surface équipotentielle :
V
drt
dV = 0 = − E drt
•
⇒ E ⊥ équipotentielles
E
• Équipotentielles V + dV et V (dV > 0 infinitésimal)
drn = ab : ⊥ équipotentielles, vers les potentiels croissants
Vb − Va = dV > 0
Vb − Va = − E drn
⇒ E drn < 0
•
V + dV
b
V
•
⇒ E vers potentiels décroissants
a
drn
E
•/•
27
GB
5/ Potentiel créé par diverses distributions de charges
a – Potentiel créé par une charge ponctuelle
Variation élémentaire de potentiel pour un déplacement infinitésimal de P à P’ :
( )
OP' − OP = PP' = d OP = udr + r du
(OP = r u )
B
q
⇒ Variation de potentiel : dV = −E • PP' = − K 2 u •  udr + rdu  = − Kq dr2

r
r 
(puisque u • du = 0 )
 
⇒ dV = Kq d  1 
• P’
r
rB
r du
q
⇒ V = K + constante
P udr
r
E
Origine des potentiels à l’∝
⇒ V(P) = K q
r
r
u
q
Cas q < 0
rA
A
O
B
Entre deux positions extrêmes A et B : VB − VA = − Kq
VB − VA ne dépend que de rA et rB
dr
∫r
A
2
1
1 

= Kq  − 
 rB rA 
•/•
28
GB
V(r ) = K
Potentiel électrostatique créé par q à la distance r
q
r
(V(r) = 0 pour r → ∝)
⇒ Équipotentielles : sphères centrées en q
Equipotentielles et Lignes de champ
dues à une charge > 0
Equipotentielles et Lignes de champ
dues à une charge < 0
(⊥ lignes de champ radiales)
b – Potentiel créé par plusieurs charges ponctuelles
N
Répartition de N charges qi situées à distance ri de P :
qi
r
i=1 i
V(P) = K∑
•/•
29
GB
c – Distribution volumique, surfacique ou linéique de charges
• Domaine D décomposé (∀ M ∈ D) en éléments de volume infinitésimaux dτ
portant une densité volumique ρM :
Vρ ( P) = K ∫∫∫
D
ρΜ d τ Μ
rM
rM
M
•
P
•
P
dτM
D
ρΜ
• Charges sur la surface fermée S délimitant D
S décomposé (∀ N ∈ S) en éléments de surface infinitésimaux ds portant
une densité surfacique σN :
Vσ (P) = K ∫∫
S
σΝ ds N
rN
S
rN
dsN
N
σΝ
•/•
30
GB
• Charges réparties sur un fil L
L décomposé en éléments de longueur infinitésimaux dl portant une densité linéique λ :
Vλ (P ) = K
∫
L
λ K dl K
rK
P
rK
K
dlK
λΚ
L
•/•
31
GB
Exemple : Potentiel électrostatique créé par un disque chargé de rayon R
• P(z)
Densité surfacique uniforme de charge : σ
Couronne élémentaire entre r et r + dr
O
r
R
dr
Toutes les charges sur la couronne sont équidistantes de P
12
∑q
⇒ dV(P) = K i
situées à distance D =  r 2 + z 2 
D
Charge de la couronne élémentaire : dq = σ ds ( avec ds = 2πr dr )
Potentiel élémentaire créé en P(z) par cette couronne : dV(z) = K
Potentiel créé en P(z) par le disque : V(z ) = 2πKσ
0
En posant u 2 = r 2 + z 2 ,
(R 2 +z2 )1 2
V(z ) = 2πKσ
∫
z

R
∫ (r
σds
12
 r 2 + z2 


rdr
2
+z
)
212

(avec V(∞) = 0)
V
2πKσR
(
)
12
du = 2πKσ  R 2 + z 2
−

z 

z
0
•/•
32
GB
Chapitre III
PROPRIÉTÉS DU CHAMP ET DU
POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUES
1/ Rappels I
a – Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface
On pose S = S n ( n : vecteur unitaire normal à la surface S)
Φ : flux du champ de vecteur W à travers la surface S
⇒ Φ =S• W
⇒ Φ = S cosθ W
S
W
n
θ
S
•/•
33
GB
Flux élémentaire de tout champ de vecteurs W à travers une surface dS : dΦ = W • dS
Où dS = dS n ( n : vecteur unitaire normal à la surface dS)
Flux Φ à travers une surface S : Φ =
∫∫
W(P ) • dS(P )
W(P) dS(P)
P
S
b – Flux à travers une surface fermée
S
Convention pour ces surfaces :
En tout point de S : orientation vers l’extérieur
du vecteur élément de surface dS
Flux du champ de vecteurs W à travers S :
Φ=
∫∫ W(P)
•
dS(P)
S
•/•
34
c − Théorème de Green – Ostrogradsky. Définition de l’opérateur ‘divergence’
On montre que : ΦS  W  = W • dS =
∫∫


S
GB
⇒ dΦ = divW dτ
div W dτ
∫∫∫
V
∂Wy ∂Wz
+
Opérateur divergence (en coordonnées cartésiennes) : div W = ∂Wx +
∂x
∂y
∂z
d − Théorème de Stokes – Ampère. Définition de l’opérateur ‘rotationnel’
Pour toute surface quelconque S s’appuyant sur un contour fermé C, le champ de vecteurs
W(x, y, z) obéit à la relation :
W ( P)
dS(P)
P
S
dr
C
∫C W dr = ∫∫S rot W
•
dS
•
dS
⇒ dC = rot W • dS
Sens de dS : convention
rotation-translation
(règle de la main droite,…)
dr
Opérateur rotationnel (en coordonnées cartésiennes) : rot W
∂


= ∂

∂

∂x   Wx 
 

∂y  ∧  Wy 
 



∂z   Wz 
•/•
35
GB
e − Définition de l’opérateur ‘gradient’
Coordonnées cartésiennes
Déplacement infinitésimal de M(x, y, z) vers M’(x+dx, y+dy, z+dz) ⇒
dx

vecteur déplacement élémentaire dr = dy

 dz

⇒ Accroissement de la fonction f(x, y, z) : df = ∂f dx + ∂f dy + ∂f dz
∂x
∂y
∂z
 ∂f

 ∂x

⇒ df = grad f • dr
⇒ Opérateur ‘gradient’ de composantes grad f =  ∂f
∂
y

 ∂f

∀ le système de coordonnées
 ∂z
f − Opérateurs ‘laplacien’ et ‘laplacien vectoriel’
Laplacien d’une fonction scalaire f
∆f = div gradf 


Laplacien vectoriel (d’une fonction vectorielle W en coordonnées cartésiennes)
∆Wx

∆ W = ∆Wy

 ∆Wz
•/•
36
GB
⇒
RÉSUMÉ
dΦ = divW dτ
dC = rot W • dS
df = grad f • dr
•/•
37
GB
CONSÉQUENCES
1.
∫C grad f
•
dr = 0 *
2. ∫ gradf • dr = 0 =
C
3.




rot
 gradf  • dS ⇒ rot  gradf  = 0
∫∫

S







div
 rot A  dτ = rot A • dS = A • dr = 0 ⇒ div rot A  = 0 **
∫∫∫
∫∫
∫
V


S

C
∫

∫
* Puisque df = grad f • dr , par définition on aura grad f • dr = df = f point final − f point initial
C
C
Or C est une courbe fermée, le point final et le point initial sont confondus, donc
∫
⇒∀ C fermée : grad f • dr = 0
C
•/•
38
∫∫∫divW dτ = ∫∫ W
** ∀ le champ de vecteurs W :
V
GB
•
dS (théorème de la divergence)
S
f
Sf : surface fermée qui délimite le volume V)
W : rotationnel d’un champ de vecteurs A ( W = rot A ) :⇒
∫∫∫div(rotA)dτ = ∫∫ rotA dS
V
Théorème du rotationnel : Pour tout champ de vecteur V :
(1)
•
∫∫ rotV
S
f
•
∫
dS = V • dr
S
C
(C : courbe fermée qui s’appuie sur une surface S quelconque non fermée, avec la
convention liant une translation avec une rotation entre dS et dr - règle du tire-bouchon -)
Or dans (1) : Sf est fermée
⇒ ∫∫ rot A
•
dS =
S
f
Si C délimite les surfaces S1 et S2 :
∫∫
rot A • dS1 +
S
∫∫ rot A
1
•
S
1
∫∫
∫∫
dS
S
2
∫
dS1 = A • dr1
dS1
∫
C
∫
C
V
S1
C
⇒ somme de deux circulations le long de C parcourues en sens inverse
∫
dr
C
2
⇒ ∫∫∫ div(rot A )dτ
C
rot A • dS2 = A • dr2
S
A • dr1 + A • dr2 = 0
S
rot A • dS2
=
∫∫
S
f
rot A • dS = 0
dr2
C
dr1
S2
( )
⇒ div rot A = 0 ∀ A
dS2
•/•
39
GB
2/ Rappels II : Vecteurs position et vitesse de P
r = OP
Définition:
Expression de r dans les différents systèmes de coordonnées:
Cylindriques
Cartésiennes
r = x ux + y uy + z uz
Sphériques
r = r ur
r = OP = OP' + P' P = HP + P' P
⇒ r = ρ uρ + z u z
z
z
H (z)
z
P(ρ, θ, z)
uz
z
uθ
•
P(r, θ, ϕ)
uρ
• P(x, y, z)
θ r
ux
x
O
uy
y
y
O
θ
x
P’
uθ
O
ρ
x
P’
uϕ
•
uz
y
ur
ϕ
y
P’
x
Expression de dr dans les différents systèmes de coordonnées:
dt
dr dx
dy
dz
=
ux +
uy + uz
dt dt
dt
dt
dr dρ
du ρ dz
=
uρ + ρ
+ uz
dt dt
dt
dt
dr dρ
dθ
dz
=
uρ + ρ uθ + u z
dt dt
dt
dt
dr dr
du r
= ur + r
dt dt
dt
•/•
40
GB
z
P(r, θ, ϕ)
uϕ
uθ
O
x
ϕ
sin θ cos ϕ
u r =  sin θ sin ϕ
 cos θ
ur
•
θ r
dθ
dϕ

cos
θ
cos
ϕ
−
sin
θ
sin
ϕ

dt
dt

du r
dθ
dϕ
= cos θ sin ϕ + sin θ cos ϕ
dt 
dt
dt
 − sin θ dθ

dt
Dans Oxyz :
Sphériques
y
z
y
O
P’
uϕ
ϕ
•
P’
x
− sin ϕ
u ϕ =  cos ϕ
 0
 cos ϕ cos θ
u θ =  sin ϕ cos θ
− sin θ
Projection de u θ
⇒
du r dθ
dϕ
=
u θ + sin θ u ϕ
dt
dt
dt
et
dr dr
dθ
dϕ
= ur + r
u θ + r sin θ u ϕ
dt dt
dt
dt
•/•
41
GB
3/ Propriété importante du champ électrostatique
Variation de potentiel entre A et B d’un trajet C (due à une charge q) :
B


VB − VA = − ∫ E • dr = Kq  r1 − r1 
A
 B
(Indépendant de C)
A
Si C est fermé : VB − VA = 0 ⇒ E • dr = 0 E est conservatif
∫
C
Généralisation à une distribution de charges :
Ej
qi
M
Champ total créé par la distribution : E = ∑ Ei
C
qj
(Principe de superposition)
⇒ ∀ contour fermé C :
Ei




 Ei • dr  = 0


C

∫ E dr = ∫ (∑ E ) dr = ∑ ∫
•
C
i
C
•
E est conservatif ∀ la distribution de charges
•/•
42
GB
4/ Relation locale entre E et V
a – Charge unique
Ej
qi
M
Ei , Vi : champ et potentiel créés en M par qi
Vi
On sait que pour f(x, y, z) : df = grad f • dr
Ei
qj
⇒ dVi = grad Vi • d r = − Ei dr
(
)
•
⇒ E i + grad Vi • d r = 0
⇒ Ei = − grad Vi
b – Distribution de charges
E = ∑ Ei
(
= ∑ − gradVi
)
(
= −grad ∑ Vi
)
= −gradV
(V = ∑ Vi )
⇒ E = − grad V
E est un champ de gradient. On dit que E dérive du potentiel électrostatique V
Remarque :
Potentiel : scalaire Principe de superposition plus facile à appliquer
On peut ensuite déduire le champ
•/•
43
GB
5/ Propriété locale fondamentale du champ électrostatique
Théorème de Stokes appliqué au champ électrostatique
∫C E dr = 0
•
⇒ ∫∫ rot E • ds = 0
S
(S surface quelconque qui s’appuie sur C)
⇒ rot E = 0
REMARQUE :
Si on applique rot E à E = − gradV⇒ rot gradV 


2
2V 
∂
 ∂   ∂V   ∂ V

−
 




∂
∂
y
z
∂
z
∂
y
 ∂x   ∂x 




 
2V
2V 

∂
∂
V
∂
∂
⇒   ∧   = 
−
=0
∂y
∂y  ∂z∂x ∂x∂z 


 
2
2
 ∂   ∂V   ∂ V − ∂ V 


 
 
 ∂z   ∂z   ∂x∂y ∂y∂x 
rot E = 0 ⇔ E = − grad V
•/•
44
GB
6/ Exemple du dipôle électrostatique
Configuration très courante dans la nature : molécules H2O, HCl, NH3 et nombre de
molécules organiques et de macromolécules ⇒ rôle très important en biochimie et en biologie
Paire de charges électriques – cas important : deux charges égales et opposées (+q, −q)
ur
distantes de a (dimension moléculaire) et observées à des distances macroscopiques
M
a – Potentiel à grande distance du dipôle
Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) avec invariance suivant ϕ
V (M ) =
⇒
⇒
r12
q 1 1
 − 
4πε o  r1 r2 
2
a
=
+ r 2 + 2r BO • u r
4
1 1 BO • u r
= −
r1 r
r2
De même
BM = BO + OM
 2
a
et r1 = r1 + BO • u r + 2
4r
 r
2
(au premier ordre en a/r)




r
p
r2
B
+ a/2 +q
θ
O
1 1 AO • u r
= −
r2 r
r2
( p = qAB)
⇒ V(M ) =
p • ur
4πε o r
z
2
qa cos θ
4πε o r 2
Équation polaire d’une équipotentielle : r 2 = A cos θ
p : moment dipolaire
r1
12
⇒ V(M ) =
A
− a/2 −q
ur
θ
M
r
O
x
ϕ
uϕ
uθ
y
•/•
45
ur
b – Champ électrostatique à grande distance du dipôle
(
M
)
⇒ E ∈ (u , u )
r
θ
E(M ) = −grad(V(M )) = −
r
qa
 cos θ 
grad 2 
4πε o
 r 
4πεo r 3
(2 cos θ u
r
+ sin θ u θ
r1
r
r2
p
B
+ a/2 +q
θ
sin θ
 cos θ  2 cos θ
⇒ −grad 2  =
u
+
uθ
r
3
3
r
r
 r 
⇒ E(M ) =
GB
θ
∂Φ
1∂Φ
grad (Φ(r, θ)) =
ur +
uθ
∂r
r ∂θ
p
E(M )
uθ
Coordonnées sphériques u r , u θ , u ϕ
(u , u ) : plan de symétrie
α
O
)
Πa
π-θ
A
− a/2 −q
Πa : Plan d’antisymétrie ⇒ E(θ, r ) = − E(π − θ, r )
r
Équation polaire d’une ligne de champ :
tan α =
Eθ
r dθ
dr
d(sin θ)
sin θ
⇒ r = C sin 2 θ
=
=
⇒ =2
E r 2 cos θ
dr
r
sin θ
E(M')
M’
•/•
46
GB
Lignes de champ
Lignes équipotentielles
Zone centrale exclue
car hypothèse r >> a
pas satisfaite
Lignes équipotentielles et lignes de champ à grande distance du dipôle
•/•
47
GB
c – Action d’un champ électrostatique sur un dipôle (cas du champ uniforme)
Cette action est représentée par l’ensemble de deux forces F1 = q E o et F2 = −q E o
avec F1 + F2 = 0
⇒ Couple dont le moment est Γ = AB ∧ q E o = p ∧ E o
F1
+q
•
B
O
Eo
A
•
−q
F2
⇒ Rotation du dipôle pour alignement suivant E o (voir polarisation des diélectriques IV-6)
•/•
48
GB
PRINCIPAUX TYPES DE COORDONNÉES ET OPÉRATEURS ASSOCIÉS
Cartésiennes
dτ = dx dy dz
z
Champ scalaire Φ(x, y, z)
Champ vectoriel W (x, y, z) = Wx (x, y, z ) u x + Wy (x, y, z ) u y + Wz (x, y, z ) u z
∂Φ
∂Φ
∂Φ
grad Φ =
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
 ∂ Wz ∂ W y
rot W = 
−
∂z
 ∂y
∂ Wx ∂ Wy ∂ Wz
div W =
+
+
∂x
∂y
∂z

 ∂ W y ∂ Wx
∂ W x ∂ Wz 
 u x + 

−
u
+

y

 ∂x − ∂y
∂
z
∂
x




(
)
uz
∂2 Φ ∂2 Φ ∂ 2 Φ
∆ Φ = div gradΦ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z

 uz


O
ux
x
dτ = ρdρ dθ dz
z
uz
dz
Champ vectoriel W (ρ , θ, z) = Wρ (ρ , θ , z ) u ρ + Wθ (ρ , θ , z ) u θ + Wz (ρ , θ , z ) u z
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
uρ +
uθ +
uz
∂ρ
ρ ∂θ
∂z
1 ∂  ∂ Φ  1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ
ρ
+
+
ρ ∂ ρ  ∂ ρ  ρ 2 ∂ θ 2 ∂ z 2
div W =
ρ
M(ρ, θ, z)•
1 ∂
1 ∂ Wθ ∂ Wz
ρWρ +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂θ
∂z
(
)
 1 ∂ Wz ∂ Wθ
rot W = 
−
∂z
ρ ∂θ
 ∂ Wρ ∂ W z

 u ρ + 
−
∂ρ

 ∂z
∂ Wρ

1 ∂
 uθ + 
(
)
ρ
W
−
θ

ρ  ∂ ρ
∂θ


 uz


)
dr
dθ
1 ∂2
1
∂2 Φ
1
∂ 
∂Φ
(
+
sin θ
r Φ)+


r ∂ r2
∂θ 
r 2 sin 2 θ ∂ ϕ 2 r 2 sin θ ∂ θ 
)
ρdθ
M(r,θ,ϕ)
rdθ •
θ r
∂ Wϕ
1 ∂ 2
1 ∂
1∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
( sin θ Wθ ) + 1
r Wr +
grad Φ =
ur +
uθ +
u ϕ div W = 2
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
r ∂r
(
dθ
z
Champ vectoriel W (r, θ , ϕ ) = Wr (r, θ , ϕ ) u r + Wθ (r, θ , ϕ ) u θ + Wϕ (r, θ , ϕ ) u ϕ
∂ Wθ
1  ∂

rot W =
sin θ Wϕ −
r sinθ  ∂θ
∂ϕ
O

1  1 ∂ Wr
∂
 u r + 
−
r Wϕ
r  sin θ ∂ ϕ ∂ r

(
)
∂W

1 ∂
 u θ + 
(r Wθ ) − r  u ϕ
r ∂r
∂θ 

uρ
dτ = r2 sinθ dr dθ dϕ
Champ scalaire Φ(r, θ, ϕ)
(
dρ
y
θ
x
uθ
z
O
Sphériques
∆Φ =
y
uy
Champ scalaire Φ(ρ, θ, z)
∆Φ =
dx
dy
Cylindriques
grad Φ =
dz
•
M (x, y, z)
x
ϕ
dϕ
ur
uϕ
uθ
y
r sinθdϕ
•/•
49
Chapitre IV
GB
THÉORÈME DE GAUSS
1/ Introduction
Utilisation des propriétés de symétries ⇒ permet de simplifier la résolution du problème
Point central du théorème de Gauss : Choix d’une surface fermée, appelée surface de
Gauss, au travers de laquelle on calcule le flux du champ électrostatique créé par la
distribution de charges, devant tenir compte des symétries du système considéré
•/•
50
GB
2/ Notion d’angle solide
a – Rappel
Segment dl situé autour de P à distance r de O
dlo
et incliné de α par rapport à la normale à OP
⇒ Vu de O sous un angle :
dl o
dl cos α
dθ =
=
r
r
O
dθ
dl
r
P
α
Unité : radiant (rd)
b – Définition de l’angle solide
dS
Élément de surface dS autour de P à distance r de O
u vecteur unitaire suivant OP dS = dS n incliné de α par rapport à u
dΣ : projection de dS sur un plan ⊥ OP
u
α n
P
dΣ
r
Angle solide élémentaire sous lequel dS
est vue de O : dΩ =
dΣ
r2
=
dS cos α
r2
=
u • dS
r2
O
Unité : stéradiant (sr)
•/•
51
GB
c – Expression de l’angle solide en coordonnées sphériques
M repéré par les coordonnées (r, θ, ϕ)
Angle solide sous-tendu par
une surface fermée entourant
le point O :
2π
Ω=
M
•
z
∫∫
dΣ
r
M’
⇒ dΣ = r2sinθdθdϕ
dΣ
⇒ dΩ = 2 = sin θdθdϕ
r
y
dθ
sin θ dθ dϕ = 4π
ϕ= 0 θ = 0
O
ϕ
MM’= rdθ
MM’’= MpM’’p = rsinθdϕ
θ
π
M’’
•
dϕ
x
•
•
M’’p
Mp
Ω indépendant de r :
Angle solide sous lequel une surface fermée est vue d’un point O situé à
l’intérieur de celle-ci ≡ 4π sr ∀ la position de O
•/•
52
GB
3/ Flux, à travers une surface fermée, du champ électrostatique créé par une charge
ponctuelle
a – Charge située à l’intérieur de cette surface
q
Charge q en O. E champ électrostatique en P créé par q: E = K 2 u
r
( u : vecteur unitaire porté par OP)
q
Flux de E à travers la surface élémentaire dS = dS n : dΦ = E • dS ⇒ dΦ = K 2 u • dS
r
u • dS
⇒ dΦ = K q dΩ
Puisque dΩ = 2
4π
r
⇒ Si surface S fermée quelconque entourant q : ΦSfermée E = K q dΩ = 4πKq
()
E'
∫
0
dS'
P’
dΩ
u'
dΩ’
O u
•q
S
r
P
E
dS
Cas q > 0
•/•
53
GB
b – Charge située à l’extérieur de cette surface
E1 : champ créé par q au voisinage de P1 sur S
Flux de E1 à travers dS1 : dΦ1 = E1 • dS1 ⇒ dΦ1 = K q dΩ
dΩ découpe sur S une autre surface élémentaire dS'2 au voisinage de P2
E 2: champ créé par q en P2
Flux de E 2 à travers dS'2 : dΦ '2 = E 2 • dS'2 = K q dΩ
Puisque dS2 = −dS'2 ⇒ Flux de E 2 à travers dS2 : dΦ 2 = − K q dΩ
⇒ Flux du champ électrostatique dans dΩ à travers S : dΦ = dΦ1 + dΦ 2 = 0
( ) ∫ dΦ ≡ 0
⇒ Flux total du champ électrostatique créé par q située à l’extérieur de S : ΦS E =
∆Ω
dΩ
q
•
dS2
u
P2
O
P1
E2
dS1
dS'2
∆Ω
E1
S
Cas q > 0
•/•
54
GB
c – Généralisation à une distribution de charges – Théorème de Gauss
Charges qi ∈ domaine D de l’espace
Surface fermée S entourant D
Principe de superposition : E i : champ créé en M (sur S) par la charge qi (∈ D)
E=
∑ Ei
( )
⇒ ΦS E =
: champ créé en M par toutes les charges du domaine D
∫∫ E dS = ∫∫
•
S
S






E
•
dS
 ∑ E i  • dS =
qi
i
 = 4πK

 i


i
i 
 S

∑ ∫∫
∑
()
⇒ Théorème de Gauss pour le champ électrostatique : ΦS
E = ∫∫ E • dS = 4πK ∑ q int
fermée
S
dS
Point important : choix de la surface S
E
M
qi •
•
•
D
q
• i+1
S
Cas
∑ qi > 0
i
•/•
55
GB
Intérêt du théorème de Gauss :
Permet de déterminer en tout point, le champ créé par des distributions de charges
présentant des symétries
Remarque : Si la distribution de charges ne présente pas de symétrie, on doit se
contenter du principe de superposition
4/ Permittivité du vide. Unité rationalisée
Angle solide Ω par rapport à 4π (angle solide lequel on voit une surface fermée) :
dΦ = K q dΩ
devient dΦ = 1 q dΩ avec
εo 4π
Ω
4π
K= 1
4πεo
⇒ Introduction de εo permittivité du vide
Système d’unité rationalisé : εo =
1
C2/Nm2 (≈ 8,8542 10-12 C2 N-1m-2)
9
36 π 10
•/•
56
GB
5/ Forme locale du théorème de Gauss (Relation locale entre E et ρ)
Distribution volumique ρ de charges dans un domaine D entouré par la surface S
⇒ ΦS  E  = ∫∫ E.ds = ε1 ∫∫∫ρ dτ


S
o
D
⇒Théorème de Gauss sous sa forme intégrale dans le cas particulier d’un domaine
renfermant un ensemble de charges libres placées dans le vide
M
•
r
E
dττ
ρ
D
V
S
L’intégrale sur D peut s’étendre au volume V enfermé par S
Théorème de la divergence :
1
E
.
ds
=
div
E
d
τ
=
∫∫
∫∫∫
εo
S
V
ρ dτ
∫∫∫
V
⇒ div E = ρ
εo
Forme locale du théorème
de Gauss dans le vide
•/•
57
GB
6/ Électrostatique dans les diélectriques
a – Milieux conducteurs et milieux diélectriques
Matière : assemblage d’atomes composés de particules électrisées (noyaux, électrons)
Deux cas :
• Sous l’action d’un champ électrostatique : des électrons (de conduction) circulent
à travers les atomes. C’est le phénomène de conduction. Il s’agit d’un conducteur
• Les électrons restent liés aux noyaux (force de rappel atomique)
En présence d’un champ extérieur ⇒ centre de gravité des charges + n’est plus confondu
avec celui des charges −
⇒ création de dipôles : les atomes ou molécules se polarisent.
C’est la polarisation. Il s’agit d’un milieu isolant ou diélectrique
+-
Eo
REMARQUE : Des diélectriques comme l’eau présentent cette caractéristique
en absence de champ électrostatique
Ce sont des diélectriques polaires
•/•
58
GB
b – Champ induit – Induction électrique
Ei
Domaine diélectrique comportant des charges libres de densité ρ
créent un champ E o et E o va créer un champ induit Ei
+-
Eo
⇒ champ électrostatique résultant E = Eo + Ei
Tout se passe comme si des charges de densité volumique ρp ont créé Ei
⇒ Densité résultante de charges : ρ + ρp
Introduction du vecteur polarisation électrique p tel que ρp = −divp
⇒ divE = 1 (ρ + ρp )
εo
⇒ div εo Ε + p  = ρ


Induction électrique D = εo E + p (electric displacement) ⇒ théorème de Gauss : divD = ρ
D continue à vérifier le théorème de Gauss dans les diélectriques polarisés alors que
cela n’est plus le cas pour E Intérêt essentiel de D
•/•
59
GB
c – Diélectrique linéaire ou parfait
Vecteur polarisation proportionnel au vecteur champ électrostatique
(tous les dipôles sont //)
On écrit : p = εo χ Ε
div εo Ε + p  = ρ


χ constante > 0 (sans dimension) : susceptibilité du diélectrique

⇒ div εo Ε

+ εoχE  = ρ ⇒ divE =

ρ
(1+ χ) εo
εr = 1 + χ : permittivité relative du milieu diélectrique (εr > 1 )
ε = εo εr : permittivité absolue du milieu.
⇒ Cas du diélectrique parfait : divE = ρε
REMARQUE :
Dans le vide (et dans les matériaux qui ne se polarisent pas) : p = 0 ⇒ χ = 0
⇒ εr = 1
⇒ Théorème de Gauss sous sa forme intégrale ΦS  E  = E • ds = 1 ρ dτ
ε ∫∫∫
  ∫∫
S
V
•/•
60
GB
d – Equations fondamentales de l’électrostatique dans les diélectriques
Champ électrostatique dérive du potentiel : E = − gradV équivalent à rot E = 0
⇒ div E
= − div gradV = ρ
ε
div gradV : laplacien de V, noté ∆V
⇒ ∆V + ρ = 0 Equation de Poisson (Siméon Denis Poisson, 1781-1840)
ε
E = − gradV
⇒ Deux groupes d’équations équivalentes :
ou
divE = ρ
ε
- En absence de charges libres :
E = − gradV
divE = 0
rot E = 0
∆V + ρ = 0
ε
rot E = 0
∆V = 0
(équation de Laplace)
- Exactement mêmes équations que celles "l’électrostatique du vide"
à condition de remplacer εo par ε
•/•
61
GB
7/ Exemples d’application du théorème de Gauss
z
u
a – Charge ponctuelle placée dans le vide
θ
M
r
Soit une charge ponctuelle Q > 0
uθ
O
y
ϕ
x
Invariance : par rotation autour du centre O
uϕ
champ électrostatique E ne dépend que de r (distance à O) ⇒ E(r )
Symétries : tout plan passant par O est plan de symétrie
E ∈ à tous ces plans à la fois ⇒ radial et s’éloigne de O (Q > 0) ⇒ E = E(r ) u (E(r) > 0)
Choix de la surface S fermée : symétrie sphérique
⇒ sphère centre O, rayon r
( )
Th. de Gauss : ΦSfermée E =
∫∫ E • dS = ∫∫ EdS = E ∫∫ dS
S
⇒E=
4πε o r
2
E
Q
εo
P
P
r
= ES
= 4π r 2 E
dS
E
r
u u
Q+
O
S
S
Q
dS
et
E=
S
Q
4πεo r
2
u
•/•
62
GB
b – Distribution uniforme de charges présentant une symétrie sphérique
Boule homogène rayon R et soit une charge -Q (avec Q > 0)
Invariance : par rotation autour du centre O
champ électrostatique E ne dépend que de r (distance à O)
⇒ E(r )
Symétries : tout plan passant par O est plan de symétrie
E ∈ à tous ces plans à la fois ⇒ radial
⇒ E = E(r ) u
Choix de la surface S fermée : symétrie sphérique ⇒ sphère centre O, rayon r
Champ à l’extérieur de la boule chargée (cas r > R) :
1
−Q
E
Φ
=
q
=
Th. de Gauss :
∑ int ε
Sfermée
εo
o
( )
∫∫ E • dS =
S
⇒E=
∫∫
EdS = E
4πεo r 2
= ES
et
E=
−Q
4πεo r 2
r
= 4π r E
u
M
O
r
u u
+
O
P
E
dS
E
E
2
u
Résultat identique à celui obtenu
pour une charge Q concentrée en O
P
P
S
S
−Q
∫∫
dS
dS
S
r
•/•
63
A l’intérieur de la boule de charge Q
ΦSfermée
Th. de Gauss :
⇒E=
− Qint
4πεo r
2
(cas r < R ) On a toujours
( )
− Qint
E =
εo
S
E(r ) = E(r ) u
GB
: sphère de rayon r < R
Qint : charge de la boule de rayon r
(intérieure à S)
u
4
ρ < 0 : densité volumique de charges)
Qint = π r 3ρ (ρ
3
⇒E=
Q
E
ρ
ru
3 εo
∼
r
4πεo R 2
∼
O
R
1
r2
r
•/•
64
GB
c – Distribution uniforme de charges présentant une symétrie cylindrique
Cylindre ∞t long, chargé en surface avec λ > 0 : charge par unité de longueur
Dans une rotation θ autour de l’axe z’z
Invariances
Dans une translation suivant z’z (cylindre ∞t long)
Coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) ⇒ Champ E indépendant de θ et z
E ne dépend que de ρ (distance à z’z) ⇒ E(ρ)
Plans de symétrie
Plans ⊥ z’z (cylindre ∞t long)
Plans passant par z’z
E ∈ à tous ces plans ⇒ E ⊥ à z’z
Si charges > 0 ⇒ E s’éloigne de z’z
⇒ E = E(ρ) u ρ
Choix de la surface S fermée : symétrie cylindrique ⇒ cylindre fermé
(hauteur L, axe z’z, rayon ρ)
Extérieur du cylindre chargé (ρ > R, Qint= λL charge ‘enfermée’ dans S )
Q
Th. de Gauss ΦS E = int
εo
Q
λ
uρ
E • dS =
E • dS +
E • dS = 2π ρL E = int ⇒ E =
2
πε
ρ
εo
o
S
Sbases
Slat
A l’extérieur du cylindre creux chargé, la norme du champ E varie en 1/ρ
( )
∫∫
∫∫
∫∫
•/•
65
À l’intérieur du cylindre chargé (ρ < R )
Th. de Gauss :
On a toujours
( )
E(ρ) = E(ρ) u ρ
GB
S : cylindre fermé, rayon ρ < R, hauteur L
ΦS E = 0 = 2π ρL E
Charge de ce cylindre de rayon ρ ≡ 0
⇒E=0
Q
E
λ
2πεo R
∼
O
R
Qint = 0
ρ
R
1
ρ
ρ
•/•
66
GB
d – Plan infini chargé avec une densité surfacique σ (plan xOy)
E
Dans une translation suivant x
Invariances
(plan ∞)
Dans une translation suivant y
z
z
Coordonnées cartésiennes (x, y, z)
⇒ E indépendant de x et y
uz
E ne dépend que de z ⇒ E(z )
Plans de symétrie : Plans ⊥ xOy
ux
x
E ∈ à tous les plans ⊥ xOy ⇒ E ⊥ xOy
Σbase
r
M
Σbase
y
uy
O
y
ds
x
ds
E
Si z > 0 E = E(z ) u z
Si σ > 0 ⇒ E s’éloigne
Si z < 0 E = −E(z ) u z
de xOy ⇒ E(z) > 0
Choix de la surface S fermée : cylindre fermé (axe z’z, surface de base S)
Q
(Q = σS : charge ‘enfermée’ dans S )
Th. de Gauss ΦS E =
εo
σS
σ
E • dS =
E • dS +
E • dS = 2S E =
⇒E=
2ε o
εo
S
Sbases
Slat
σ
σ
⇒E=
u z si z > 0
E=−
u z si z < 0
⇒ Champ uniforme
2ε o
2ε o
( )
∫∫
∫∫
∫∫
•/•
67
Chapitre V
GB
CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE
1/ Définitions
Conducteur : charges libres plus ou moins nombreuses (en général des électrons)
Action d’un champ électrostatique ⇒ mouvement (courant électrique)
Diélectrique : chaque charge est fortement liée à une charge de signe contraire
Des charges supplémentaires peuvent avoir été apportées ou arrachées lors de
l’électrisation des solides (par frottement par exemple), mais elles ne peuvent non plus se
déplacer librement
Séparation possible des charges en faisant agir un champ très intense
Le diélectrique devient alors conducteur : Gaz ionisés
2/ Propriétés des conducteurs en équilibre
a – Champ électrostatique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Si champ ≠ 0 dans conducteur ⇒ charges libres seraient soumises à une force ⇒
mouvement ⇒ courant
Or ∃ de courant permanent dans un conducteur isolé ⇒ E int = 0
•/•
68
GB
Remarque : Dans les conducteurs
Molécules ou atomes pas polarisés : p = 0 , ⇒ χ = 0 et ε r = 1 ⇒ ε = εo
b – Potentiel à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Variation de potentiel entre A et B à l’intérieur d’un conducteur en équilibre :
B
∫
VB − VA = − E int • dr = 0
A
⇒ VB = VA : potentiel constant dans le conducteur
c – Densité volumique de charges dans le conducteur
E int = 0 ⇒ théorème de Gauss
∫∫ Eint
Σ
•
dS = 0
(∀ Σ )
Σ
⇒ ρint = 0
(En fait, dans tout élément de volume, il y a autant de charges + que de – )
•/•
69
GB
d – Charges sur la surface du conducteur
Σ
Si on ajoute des charges au conducteur
⇒ Forces entre porteurs de charges
⇒ Nouvelle répartition
⇒ Après équilibre on a toujours E int = 0
Soit une surface de Gauss dans le conducteur, mais très près de sa surface externe
E = 0 en tout point de Σ ⇒ q int = 0 ⇒ Répartition des charges ajoutées sur la surface
externe (avec une densité surfacique σ)
e –Théorème de Coulomb (champ électrostatique au voisinage du conducteur chargé)
Surface du conducteur est équipotentielle
⇒ E v ⊥ au voisinage extérieur de cette surface
Détermination de E v ⇒ Théorème de Gauss
(surface fermée Σ : cube élémentaire de part
et d’autre de la surface du conducteur avec
deux faces normales à n )
⇒ E vS =
Ev
n
Σ
εο
E int = 0
σ
σS
(εo : permittivité du milieu extérieur) ⇒ théorème de Coulomb : E v = n
εo
εo
•/•
70
GB
f – Exemple de la sphère conductrice homogène et chargée
Charges en surface avec une densité surfacique σ uniforme
Théorème de Gauss + symétries ⇒ champ extérieur radial
1 Q
1 σ 4πR 2 σ
=
=
⇒ Norme du champ au voisinage sphère (rayon R) : E v =
2
2
4πε o R
4πε o R
εo
⇒ On retrouve le théorème de Coulomb
Potentiel constant à l’intérieur du conducteur ⇒ Calcul au centre (point particulier)
Potentiel créé au centre par une charge élémentaire σdS : dV =
Intégration sur la surface de la sphère ⇒ Vint
1 σ dS
4πε o R
1 σ 4πR 2 σ R
=
=
4πε o
R
εo
CONSEQUENCE : Le pouvoir des pointes
Deux sphères conductrices chargées (rayons R1 et R2) reliées par un long fil conducteur
⇒ Conducteur unique au même potentiel V avec répartition uniforme des charges sur
σ2
chaque sphère avec densités surfaciques σ1 et σ2
R1
1
σ R
σ R
⇒ V = 1 1 = 2 2 ⇒ σ1 R 1 = σ 2 R 2 ⇒ σ ≈
σ1
R
εo
εo
Conducteur chargé de forme irrégulière : Densité surfacique de charges plus grande
dans les zones où le rayon est petit ⇒ Norme du champ électrostatique plus importante
aux points anguleux d'un conducteur que dans les zones plus uniformes
R2
•/•
71
GB
g – Cas du conducteur creux
Q
Surface interne S2 : équipotentielle et entoure un volume sans charges
∫∫ E
S2
•
ds = 0 ⇒ E int = 0 et Vint = cste
Théorème de Coulomb ⇒ E int
σ
= 2
εo
Eint = 0
⇒ σ2 = 0
S2
Vint = cste
⇒ Surface intérieure non chargée
Les charges ne peuvent se trouver que sur la surface externe du conducteur
•/•
72
GB
3/ Capacité du conducteur isolé
Conducteur isolé chargé : charge Q répartie sur sa surface S
Densité surfacique de charges σ(M ) ⇒ Q =
∫∫ σ(M) dS
S
⇒ Conducteur au potentiel V = V(O ) =
1
4πε o
∫∫
S
M
O
•
σ(M)
σ(M ) dS
OM
(O quelconque à l’intérieur du conducteur)
Si on × uniformément la densité surfacique de charge par κ ⇒
Q → Q' = κ Q et V → V' = κ V ⇒
Q' Q
= = Ci
V' V
De manière générale pour un conducteur isolé : Q = Ci V
Ci ne dépend que de la forme géométrique de la surface du conducteur
C’est la capacité du conducteur isolé
Unité de capacité : le Farad (F) : 1F = 1C/1V
Cas d’un conducteur sphérique : V =
1 Q
⇒ C = 4πε R
i
o
4πε o R
(R = 1m ⇒ Ci ≈ 0,1 nF !)
NOTE : Unité de permittivité ε : Farad/mètre (F/m) à la place de C2N-1m-2 !!
•/•
73
GB
4/ Phénomènes d’influence électrostatique
+Q
a – Influence totale
Σ
-Q
B
Corps (diélectrique ou conducteur) A portant une charge +Q
placé dans la cavité d’un conducteur B initialement neutre
E = 0 à l’intérieur de B ⇒
∫∫ Ε dS = 0 ⇒ Charge nulle enfermée par Σ
•
+Q
A
Σ
Puisque A porte +Q ⇒ ∃ –Q sur la paroi intérieure de la cavité de B
Puisque B était neutre au départ ⇒ sa surface extérieure doit porter une charge +Q
(principe de conservation de la charge électrique)
Les conducteurs A et B sont en influence totale
Il y a influence totale entre les conducteurs A et B lorsque toutes
les lignes de champ issues de A aboutissent sur B de façon à ce
que la charge totale de A se retrouve au signe près en B
_
_
_ -Q + + +
A _
+ +Q +
_
_
+
+_
+
_
B
•/•
74
GB
b – Influence partielle
• Mise en présence du conducteur A (potentiel V1) et conducteur B (potentiel V2)
Toutes les lignes de champ issues de A n’aboutissent pas en B
⇒ influence partielle
⇒ La charge totale Q1 de A ne se retrouve pas en B
+
_
+
+
+
+
+
_
+
V1
+
Q2 ? B
+
+
_
V2
+
+
+
Q1 ?
_
+
A
+
+
+
+
+
Cas V1 > V2
Problème : Relier Q1 et Q2 à V1 et V2 et aux caractéristiques géométriques et
positions relatives de A et B
•/•
75
GB
Principe de superposition
≡ superposition de deux états : - Etat a : A au potentiel V = 0 B au potentiel V2
- Etat b : A au potentiel V1
B au potentiel V = 0
_
_
ETAT a
_
A
_
_
+
Si
>0 ⇒
Q1a
_
 Qa = C V
21 2
<0  1
Qa = C V
22 2
 2
+
+
+
B
Qa2
+
Qa2
+
V2
+
V1 = 0
Q1a
+
+
+
+
+
+
C21 (< 0) : coefficient d'influence de B sur A
C22 > 0
•/•
76
GB
+
+
ETAT b
+
Q1b
+
Si
Q1b
>0 ⇒
Q b2
<0
_
_
_
_
_
+
V1
+
_
A
+
_
+
_
V2 = 0
B
Q b2
_
_
Qb = C V
11 1
 1
Q b = C V
12 1
 2
C11 > 0
C12 (< 0) : coefficient d'influence de A sur B
Influence de A sur B = influence de B sur A ⇒ C12 = C21
ETAT a + b
Q = Q a + Q b = C V + C V
1
1
11 1
12 2
 1
Q = Qa + Q b = C V + C V
2
2
12 1
22 2
 2
Cij ne dépendent que de
la géométrie du système
•/•
77
GB
c – Condensateurs
− Q1
Système de deux conducteurs en influence totale
Q1
ÉTAT (V1, V2=0) (Etat b)
A au potentiel V1 et portant Q1 est entouré par
B au potentiel nul dont la charge portée par sa
surface interne est −Q1
 Q1 = C11V1
⇒ C11 = −C12
− Q = C V
12 1
 1
V1
A
V2=0
B
Q2 + Q1 = Q’
ÉTAT (V1, V2)
− Q1
A est au potentiel V1 et porte Q1 et B au potentiel V2 avec la
charge totale Q2 (sa surface interne porte −Q1 et sa surface
externe porte Q’=Q2+Q1)
(
)
Q1 = C11V1 + C12V2
 Q1 = C11 V1 − V2
Q = C V + C V ⇒ Q = −C V + C V
12 1
22 2
11 1
22 2
 2
 2
Q1
V1
A
V2
B
⇒ Charge totale portée par la surface extérieure de B : Q' = (C22 − C11 ) V2
(
• C11 = C : Capacité du condensateur ⇒ Q = C V − V
1
2
)
capacité de A en présence de B
• On pose Ci = C 22 − C ⇒ Q' = C V2 ⇒ Ci : capacité de B isolé
i
•/•
78
GB
d – Exemples
1/ Capacité du condensateur sphérique
Espace entre les armatures : le vide ⇒ εo
-Q
Champ électrostatique entre les armatures : radial (symétries)
Théorème de Gauss ⇒ E =
E
Q
Q
r
R1
Σ
4πε o r 2
R2
2
Q
Différence de potentiel entre et : V2 − V1 = − E • dr = −
4πε o
(trajet naturellement choisi : radial)
1
∫
⇒ V1 − V2 =
Q
4πε o
 1
1 
−


R
R
2
 1
⇒ C = 4πε o
R2
dr
∫r
R1
2
=
Q
4πε o
 1
1 
−


 R 2 R1 
R 1R 2
R 2 − R1
•/•
79
GB
2/ Capacité du condensateur plan
Cas où distance e entre les armatures est petite devant les dimensions de celles-ci
Espace entre les armatures : le vide
-Q
Champ électrostatique ⊥ aux plaques (symétries)
Σ
Q
Théorème de Gauss ⇒ ∫∫ E • dS =
= ES
εo
Σ
e
E
dr
+Q
(À l’extérieur des armatures : E = 0 puisque une
surface de Gauss qui entoure le condensateur enferme une charge totale nulle)
⇒ Entre les armatures E =
Q
⇒ uniforme
Sε o
2
Différence de potentiel entre et :V2 − V1 = − ∫ E • dr = −Ee ⇒ V1 − V2 =
1
εS
eQ
⇒C= o
ε oS
e
4πεo R12 
e 
1 +
 avec e = R 2 − R 1
Note: Condensateur sphérique, on peut réécrire C =
e
 R1 
ε oS
e
⟨⟨ 1 ⇒ C =
Si
R1
e
On retrouve l’expression du condensateur plan
•/•
80
GB
Remarque 1 : Si l’espace entre les armatures est rempli d’un milieu diélectrique de
permittivité relative εr ⇒ capacité est multipliée par autant
Remarque 2 : Symbole :
e – Association de condensateurs
1 / ASSOCIATION EN PARALLELE
Tous les condensateurs sont sous la même ddp VA−VB et Q i = C i (VA − VB )
Charges des condensateurs s’ajoutent : Q =
Or Q = Céq (VA − VB ) ⇒ C éq =
∑ Ci
i
A
∑ Qi
i
+++++++
---------
Ci
+++++++
---------
+++++++
---------
2 / ASSOCIATION EN SERIE
B
ddp VA − VB : somme des ddp aux bornes de chaque condensateur
VA − VB = ∑
i
Q
Ci
Puisque VA − VB =
Q
⇒
C éq
A
1
1
=∑
C éq
i Ci
+
+
+
+
+
+Q
-Q
+
+
+
+
+
+Q
C
- i
+
+
+
+
+
-Q +Q
- B
-Q
•/•
81
GB
Chapitre VI
ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE
1/ Energie propre (ou de création) d’un système de deux charges ponctuelles
Déplacement dr de q2 au voisinage de q1 :
Variation d'énergie potentielle du système dWe = − q 2 E • dr
( E : champ électrostatique créé par q1 en q2)
M2
r12
q1
M1
dr
q2
∝
E
C
Variation du potentiel électrostatique le long de dr : dV = − E • dr ⇒ dWe = q 2 dV
M2
q2 est amené en M2 depuis l’∝ par le chemin C
⇒ We = q 2
∫ dV = q [V(M ) − V(∞)]
2
2
∞
V(M 2 ) et V(∞ ) : potentiels créés par q1 en M2 et à l'∝ ⇒ We = q 2 V(M 2 )
1 q1
1 q1 q 2
r12 : distance M1M2 ⇒ V(M 2 ) =
⇒ We =
4πε o r12
4πεo r12
We : énergie potentielle électrostatique de création du système des deux charges q1 q2
•/•
82
GB
• Si q1q2 > 0 ⇒
We > 0 : Le système a reçu du travail
• Si q1q2 < 0 ⇒
We < 0 : Le système a fourni du travail (l’extérieur a reçu du travail de la
part du système lors du déplacement de q2 en M2)
Remarque : Soit q2 en M2. On amène q1 de l’∝ jusqu’en M1
Potentiel créé par q2 en M1 : V(M1 )
⇒ We =
⇒ We' = q1V(M1 ) ≡ We
[ ( )
( )]
1
q1V M1 + q 2 V M 2
2
M2
2/ Cas de plusieurs charges
a – Expression en fonction des charges
r12
r23
M1
q1
r13
Plusieurs charges en présence dans un domaine D de l’espace
Énergie électrostatique totale du système = somme des termes dus à l’interaction
mutuelle de chacune des paires de charges
Exemple : q3 à distance r13 de q1 et à distance r23 de q2 ⇒ We =
q2
q3
M3
1  q1 q 2 q1 q 3 q 2 q 3 


+
+
4πε o  r12
r13
r23 
•/•
83
1
Système de N charges : We =
4πε o
N
∑
qiq j
i, j = 1
( i< j )
GB
M2
D
q2
r12
rij
M1
q1
r13
qi
Mi
r23
rij
Mj
qj
q3
M3
Relation plus 'symétrique' :
Sommation sur i et j (de 1 à N), en évitant i = j
1
(Apparaît le facteur ½)
⇒ We =
2
b – Expression en fonction des potentiels
N
qj
∑ 4πε r
j=1
N
N
i =1
j=1
qiq j
∑ ∑ 4πε r
i≠ j
o ij
: potentiel Vi créé par toutes les charges qj placées aux distances rij de qi
o ij
⇒ We =
1
2
∑q V
i i
i
EXEMPLE POUR 3 CHARGES :
1  q 2 q3 


+
4πε o  r12 r13 
1  q1 q 3 


+
V2 : potentiel créé en M2 par q1 et q3 : V2 =
4πε o  r12 r23 
1  q1 q 2 


V3 : potentiel créé en M3 par q1 et q2 : V3 =
+
4πε o  r13 r23 
V1 : potentiel créé en M1 par q2 et q3 : V1 =
q1V1 + q 2 V2 + q 3V3
= 2We
•/•
84
GB
3/ Distribution continue de charges
r
r
r
1
Charges de densité volumique ρ( r ) dans un domaine D ⇒ We = ∫∫∫ V( r ) ρ( r ) dτ
2 D
()
V r : potentiel créé par toutes les charges du domaine
(autres que celle placée en M)
()
V r
Pas de charges à l’extérieur de D ⇒
l’intégrale s’étend à un domaine infini
⇒ We =
r
r
1
(
)
(
V
r
ρ
r ) dτ
∫∫∫
2D
()
dτ r
()
M ρ r
r
D
O
•
∞
Expression similaire pour une distribution
surfacique σ r de charges
( )
•/•
85
GB
4/ Expression en fonction du champ
( ) ρε(r )
Expression locale du théorème de Gauss : div E r =
o
⇒ We =
()
()
εo
V r div E r dτ
∫∫∫
2D
∞
( )
Identité pour fonction scalaire Φ(r ) et fonction vectorielle W(r ) :div W Φ = Φ div W + W • grad Φ
( )
2
εo
εo
E
d
τ
+
V E • dS
⇒ V divE = div V E + E ⇒ We =
∫∫∫
2D
2 S∫∫
∞
∞
1
1
1
2
V~
⇒ V E dS ~
E ~ 2
Intégrale de surface : dS ~ r
r
r
r
Intégrale sur surface fermée d’extension infinie ⇒ rayon moyen infini ⇒ V E .dS → 0
⇒ Intégrale de surface → 0
2
ε
2
⇒ We =
o
∫∫∫ E
2D
∞
dτ
Localisation de l’énergie
Cette expression en fonction du champ électrostatique est fonction du point de l'espace
⇒ Possibilité de localisation
εo 2
E
⇒En tout point de l’espace : densité d’énergie électrostatique u e =
Unité : J.m-3
2
⇒ We = ∫∫∫ u e dτ
D∞
•/•
86
GB
5/ Application
Energie emmagasinée dans un condensateur
Énergie d’un système de charges qi aux potentiels Vi : Wef =
1
1
Cas du condensateur :
= Q(V1 − V2 ) + Q' V2
2
2
1
État initial : V1 = V2 ⇒ Wei = Q' V2
2
⇒Energie emmagasinée dans le condensateur :
Wef
We = Wef
− Wei
1
2
∑ q i Vi
i
Q’ = Q2 +Q
Q
V1
A1
-Q
A2
V2
1
1 Q2 1
= Q (V1 − V2 ) =
= C (V1 − V2 )2
2
2 C
2
Note : Utilisation de la densité d’énergie électrostatique ue
Cas simple du condensateur plan avec vide entre les armatures
e : distance entre les armatures S : surface des armatures
Extérieur condensateur : champ ≡ 0
1
⇒ Energie emmagasinée : We = u e v = u e S.e = ε o E 2S.e
2
1
1
2
2
V1 − V2
(
)
C
V
V
W
=
ε
E
Se
=
−
E
=
e
o
1
2
Puisque
2
2
e
•/•
87
GB
Force qui s’exerce sur les armatures du condensateur (force d’attraction)
Une armature est fixe et est reliée au sol, l’autre est mobile (parallèlement à elle-même
suivant l’axe Oz) sans frottement et portée au potentiel Vo
z
a – Cas où la charge est constante
Une force Fext exercée par un opérateur équilibre la force
d’attraction F entre les armatures
Fext
V = Vo
++++++++++++++++++++++++++
k
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V
_ _=_0_
Principe de conservation de l’énergie (condensateur isolé) :
Travail dT fourni par l’opérateur compense la perte
d’énergie électrostatique dW du condensateur : dT + dW = 0
Soit un déplacement élémentaire de = −de k (rapprochement)
Q2
Q2 Q2
de (< 0)
=
e ⇒ dW =
W=
2εS
2C 2εS
Q2
⇒ − Fext de +
de = 0
2ε S
⇒ Fext
dT = Fext • de = −Fext de
Q2
=
2 εS
Q2
⇒ Force entre les armatures F = −
k
2ε S
•/•
88
GB
b – Armature à potentiel constant charge varie
Q = CV ⇒ dQ = VdC = −V
εS
2
de (si de <0 -rapprochement des armatures- ⇒ dQ > 0)
e
Le générateur, en fournissant dQ, a fourni le travail dWT au condensateur
εS
dWT = VdQ = − 2 V 2 de (> 0)
e
Une force Fext exercée par un opérateur équilibre la force
d’attraction F entre les armatures
Principe de conservation de l’énergie :
Travail dT fourni par l’opérateur + gain d’énergie électrostatique dW du condensateur
= Gain dénergie dWT du condensateur : dT + dW = dWT
1
εS
1
CV 2 ⇒ dW = V 2dC = − 2 V 2 de (> 0)
εS 2
εS 2
2
2
2e
⇒ − Fext de −
V
d
e
=
−
V de
2
2
2e
e
dT = −F de
W=
ext
d’où Fext =
εS
2e
2
V
2
⇒ Force entre les armatures F = −
εS V 2
2e
Remarque : Les deux expressions de la force sont équivalentes
2
k
•/•