Électrostatique - Jean

Électrostatique
I54.
Un carré ABCD de coté a porte la densité linéaire de charge λ uniforme sur les deux cotés DA et AB. Déterminer le
champ électrique à son sommet C.
II32.
Soit une sphère de centre O et de rayon R, A et B deux points fixes de cette sphère diamétralement opposés et
une constante. Pour un point M de la sphère, on définit l’angle compris entre et π. La sphère porte la
densité superficielle de charge
0
σ
(, )OA OMθ=0
0
() cos
2
Mθ σσ=. Calculer le potentiel et le champ en B.
III.
A86.
Montrer que la loi exprimant le champ gravitationnel en fonction des masses est semblable à la loi exprimant le
champ électrique en fonction des charges à condition de réaliser une substitution à préciser entre les constantes
intervenant dans ces deux lois.
B52.
1) Un disque de rayon a porte une densité superficielle de charge σ uniforme. Calculer le champ électrique en un
point de l’axe du disque d’où l’on voit le rayon du disque sous l’angle α.
2) Quel est le rayon d’un disque portant une densité superficielle de charge σ uniforme tel que le champ électrique
sur son axe à la distance b ne diffère que de 1% du champ d’un plan infini ?
3) Un cône de révolution de demi angle au sommet α et de hauteur h contient une densité volumique de charge ρ.
Quel champ électrique crée-t-il en son sommet ? On décomposera le cône en minces tranches.
4) Quel est la pesanteur créée en son sommet par un cône de révolution de demi angle au sommet α et de hauteur
contenant une densité volumique de masse µ ? h
5) Soit , et
MRµ la masse, le rayon et la masse volumique moyenne de la Terre. Calculer la différence relative
entre la pesanteur dans une plaine et celle à l’altitude h au dessus de cette plaine en fonction de .
0
g1 g/hR
6) Soit un volcan en forme de cône de hauteur h, dont la base est au niveau de la plaine, dont la pente fait avec
l’horizontale un angle et qui est constitué de roches de masse volumique µ. Calculer la différence relative entre la
pesanteur dans la plaine et la pesanteur au sommet du volcan en fonction de , et
β
0
g2 g/hRβ/µµ.
IV45.
1) Soit x,y,z les coordonnées cartésiennes d’un point, ρ une constante algébrique et a une constante positive. Une
distribution de charge est répartie en volume avec une densité volumique nulle si |x| > a et égale à ρ si |x| < a.
Démontrer par des arguments précis tout ce que la symétrie impose au champ électrique.
2) Calculer le champ électrique dans tout l’espace. On distinguera plusieurs cas.
3) Une galaxie peut être décrite comme une couche contenant une masse volumique µ uniforme entre deux plans
parallèles distants de 2a. Déterminer le champ gravitationnel g dû à cette couche à l’intérieur et à l’extérieur.
4) Calculer la période du mouvement d’une étoile de masse m qui initialement serait immobile à une distance
du plan médian de la galaxie.
0
x<a
a
5) Calculer la période du mouvement d’une étoile de masse m qui initialement serait immobile à une distance
du plan médian de la galaxie.
0
x
V33.
On donne en coordonnées sphériques ),,(
ϕ
θ
r :
ϕθ
ϕθθ
u
f
r
u
f
r
u
r
f
fr
G
G
G
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=sin
11
grad .
1) Une sphère de centre O et de rayon porte une densité superficielle de charge
R
σ
uniforme. Calculer le champ
électrique et le potentiel dans tout l’espace. On note ),,(
ϕ
θ
r les coordonnées sphériques par rapport à Oz.
2) Une demi-sphère de centre O, de rayon et d’axe Oz est délimitée par le plan (P) perpendiculaire à Oz et passant
par O. Elle porte une densité superficielle de charge
R
σ
uniforme. Calculer le potentiel dans le plan (P). Pour cela, on
accolera à la demi-sphère sa symétrique par rapport à (P).
3) Que peut-on en déduire sur les coordonnées sphériques par rapport à Oz du champ électrique en un point de (P)
a) si R
r
< ?
b) si R
r
> ?
VI52. Modélisation d’un condensateur plan.
1) Le plan (infini) d’équation en coordonnées cartésiennes porte une densité superficielle de charge σ
uniforme. 0x=
1.a) Montrer qu’il crée un champ électrique de la forme ()x
EExu=
G
G
.
1.b) Déterminer la fonction . ()Ex
DS : électrostatique, page 1

2) Le plan (P1) d’équation porte une densité superficielle de charge uniforme et le plan (P/2xe=−σ−2)
d’équation porte une densité superficielle de charge σ uniforme. /2xe=
2.a) Déterminer le champ électrique créé par ces deux plans dans tout l’espace.
2.b) Calculer la différence de potentiel . ( / 2) ( / 2)UVe Ve=−−
DS : électrostatique, page 2
e
)
3) En réalité, (P1) et (P2) ne sont chargés que sur deux carrés en regard de coté a ; ces deux carrés portent les
charges et Q. Exprimer la capacité en fonction de ,a et e.
Q−/CQU=0 ε
4) Calculer la force exercée par (P1) sur (P2).
5) Primitivement, , de sorte que les deux charges et Q sont confondues. Un opérateur agit sur Q, de
sorte qu’il obtient la situation de la question 2). Quel est son travail ?
0e=Q−
op
W
VII36. Champ d’un segment.
O
dA
y
M
x
θ
d
θ
y
x
M
B
O α
β
A
1) Un segment élémentaire de longueur
(figure de gauche) porte une densité
linéaire de charge λ. Exprimer la mesure
sur l’axe allant de ce segment à M du
champ électrique qu’il crée en M en
fonction de , de OM et de l’angle
sous lequel il est vu de M.
dA
λa=
dθ2) Un segment AB (figure de droite)
porte une densité linéaire de charge λ
uniforme.
2.a) Exprimer les coordonnées du champ électrique qu’il crée en M en fonction de a et des angles
et . Pour faire ce calcul, on ajoutera les contributions à et des éléments d
du segment AB .
,
xy
EE OM=
()
,MO MAα=
(
,MO MBβ=x Ey
EA
2.b) Montrer que le champ électrique est dirigé selon la bissectrice de l’angle (MA,MB). On pourra comparer les
champs créés par des éléments situés dans des angles symétriques par rapport à la bissectrice, ou bien utiliser les
coordonnées du champ électrique et les formules :
cos cos 2 sin sin sin sin 2 cos sin
22 22
pq pq pq pq
pq pq
+−+−
−=−−=
2.c) La bissectrice de l’angle que font les segments joignant un point d’une conique à ses foyers est la normale ou la
tangente à cette conique. Quelles sont les lignes de champ et les équipotentielles d’un segment uniformément chargé ?
Les dessiner.
3) Soit a, b, c et quatre constantes positives. Calculer au point M de coordonnées
()
le champ
électrique créé par la droite Oy portant la densité linéaire de charge :
0
λ,0xay==
a) 0
2
a
ay
λ
λ=+2
; b) 0
22
y
ay
λ
λ=+ ; c) 22
bcy
ay
+
λ=+.
VIII26. Champ électrostatique créé par un cercle uniformément chargé.
1. Champ sur l'axe.
Soit un cercle de rayon , de centre , d'axe , portant une charge
positive répartie uniformément avec une densité linéique de charge
R O Oz
Q
λ
en
.
1
m.C −
1-1) Montrer qu’en un point de son axe le champ électrostatique
E
G
est
porté par cet axe. On l’écrit z
EEu=
G
G
où z u
G
est le vecteur unitaire de l'axe
. Oz1-2. Comparer et . )( zE −)(zE
1-3. Calculer le champ électrostatique créé en un point
M
de l'axe tel que zOM
=
. On donnera le résultat en
fonction de , la charge totale, du rayon , de la permittivité du vide Q R 0
ε
et de la distance
z
.
1-4. Tracer le graphe de la fonction . )(zE
2. Champ au voisinage de l'axe.
On s'intéresse maintenant au champ électrostatique au voisinage de l'axe.
Soit E
() () ()
,, ,, ,,
rr zz
r zu E r zu E r zu
θθ
θ+θ+θ
G
GG
le champ électrique en
un point
M
de coordonnées cylindriques ),,( zr
θ
.
2-1. En précisant les symétries invoquées, déterminer tout ce que la
symétrie nous apprend sur cette expression du champ électrique.

DS : électrostatique, page 3
,,z∈θ
2-2. On se place au voisinage de l’axe. Alors est un infiniment petit. Les composantes du champ électrique
peuvent être développées en puissance successives de r selon un développement du type
oùir . On arrête ce développement à l’ordre 1. Préciser quels termes de
ces développements sont non nuls en tenant compte de la symétrie.
r
(,,) (,) (,) ...
iii
Er z A z rB zθ≈ θ+θ+
{}
2-3. Montrer qu'au voisinage de l'axe le flux du champ
E
G
est conservatif.
2-4. Soit une surface fermée formée par deux disques de rayon r
infiniment petit, d’axe Oz et de cotes
z
et et par la portion de c
d’axe Oz, de rayon r, compr se entre les cotes
dzz +ylindre
i
z
et zz d
+
.
Exprimer le flux de
E
G
à travers cette surface en fonction des coordonnées
du champ électrique, de r et de dz . En déduire que
(,0)
(, ) 2
z
r
dE z
r
Ezr dz ≈−
es
.
2-5. Calculer l'expression approximative de . ),( rzEr
2-6. A l'aide d'un logiciel de simulation, on trace les lignes de champ et les équipotentielles.
2-6-1. Reproduire cette figure avec en pointillés l
équipotentielles et en traits pleins les lignes de
champ ; orienter ces dernières avec des flèches pour
0>
λ
.
2-6-2. Quelle est l’allure des lignes de champ à
grande distance ?
2-6-3. Quelle est l’allure des équipotentielles à
grande distance ?
2-6-4. Montrer que les lignes de champs sont
perpendiculaires aux équipotentielles. Que se passe-t-
il au centre ?
2-6-5. Justifier le fait que les lignes de champ se
rapprochent puis s'éloignent de l'axe. On pourra
utiliser l'expression de E
G
précédente. Préciser
l’étendue des régions concernées.
IX25. Formule de Bouguer.
1) La loi reliant le champ gravitationnel g
G
aux masses est formellement analogue à celle reliant le champ électrique
aux charges. Quelle substitution faut-il réaliser entre les constantes G et
0
1
4πε pour passer d’une loi à l’autre ?
2) Soit le rayon de la Terre, sa masse volumique moyenne, la masse volumique près de la surface. En
appliquant le théorème de Gauss, montrer que la pesanteur à la profondeur x dans la Terre est
Rm µ µ
R
()
()
3
01 2
m
x
gx g R
⎡⎛ µ⎞⎤
⎟
⎜
+−
⎢⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
µ
⎢⎥
⎣⎦
.
3) µµ ; . Quelle est la variation relative de la période d’un pendule pesant si on s’enfonce
dans la Terre de 3200 m ?
/0,5
m=6400 kmR=
ε
X79. Champ électrique d’une boule uniformément chargée.
Une boule de centre O et de rayon aporte une charge Q positive uniformément répartie dans son volume.
1) Déterminer par un argument précis la direction du champ électrique.
2) Exprimer sa grandeur à la distance r de O en fonction de Qra .
0
,,,
3) Déterminer sa valeur maximale quand r varie.
XI38. Potentiel quadrupolaire.
On donne que
()
2
1/2 3
11
28
−εε
+ε−++...
)
,,0, ,,0, , ,0, ,0aa aa a a a−−−−
Soit a et q deux constantes positives. Quatre charges ponctuelles égales à q sont situées aux sommets ABCD d’un
carré. Leurs coordonnées cartésiennes sont
(
. On considère le potentiel V au
point M de coordonnées cartésiennes
)()( )(
,a
(
)
,,xyz voisin de O. En développant ce potentiel en puissances croissantes de
et en négligeant les termes d’ordre supérieur à 2, ce développement est à priori de la forme :
,,xyz
()
222
01V V bx cy dz x y z uyz vzx wxy= ++++α+β+γ+++
où les V sont fonctions de a, q et ε.
0,,, , ,, , ,,bcd uvwαβγ
x y z=+α++γ
zε
0
1) Montrer par des arguments précis de symétrie qu’il est de la forme VV .
()()
22 2
01
2) Exprimer le potentiel sur l’axe Oz en fonction de qa .
0
,, ,

3) En déduire et .
0
Vγ
4) Exprimer le potentiel sur l’axe Ox en fonction de .
0
,, ,qa xε
5) En déduire que . /2α=−γ
6) On considère un champ électrique qui dérive du potentiel quadrupolaire
()
022 2
22
2
V
Vxy
d
=+−z
où V et d
sont deux constantes positives.
0
6.a) Montrer que le champ électrique en un point d’un plan contenant Oz est toujours contenu dans ce plan.
6.b) Représenter l’allure des équipotentielles et des lignes de champ dans ce plan.
6.c) Trouver l’équation des lignes de champ.
XII27. Perturbation par une masse localisée.
Un mobile P de masse m est isolé ; il décrit donc une droite à vitesse v
G
constante dans
un référentiel inertiel. On ajoute en O, à une distance h de cette droite, une masse M
ponctuelle fixe. Pour calculer la petite déviation de P provoquée par l’attraction
gravitationnelle de cette masse, on utilise la méthode de calcul en perturbation qui suit. En
première approximation, on suppose la trajectoire et la vitesse de P inchangées.
1) Calculer dans ces conditions l'expression iFd=x
∫
G
G
, où F
G
est la force
gravitationnelle exercée sur P par la masse ponctuelle située en O, dx est un élément de trajectoire et où l'intégrale
porte sur la trajectoire rectiligne infinie.
2) En déduire la valeur de pF=∫
DS : électrostatique, page 4
dt
G
G
intégrée sur la durée infinie de l'action de O sur P.
3) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, exprimer la variation ∆v
G
que subit la vitesse v
G
de P
entre ses deux valeurs à l’infini.
4) En déduire l’angle de déviation de P. ∆α
5) On suppose que ce modèle est applicable à un satellite d'altitude h au dessus de la Terre de rayon
et de masse M pour calculer la déviation due à une hétérogénéité de masse
située à la surface de la Terre. Calculer la valeur de MM correspondant à un angle de déviation d’une seconde
d’arc.
300 km=
=6400 kmR=24 6.10 kg
T∆α M
/T
XIII33.
1) Un cylindre d’axe Oz, de rayon a et de longueur infinie contient une densité volumique de charge uniforme et
crée un champ électrique E
ρ
1
G
. Déterminer en précisant la ou les symétries utilisées la direction de 1 E
G
et la façon dont
dépendent des coordonnées cylindriques r du point considéré ses coordonnées. ,,zθ
2) Calculer sa grandeur sur la surface du cylindre.
3) Un demi cylindre, délimité par un cylindre de rayon a et de longueur infinie et par un plan
(
qui passe par son
axe contient une densité volumique de charge uniforme ρ et crée un champ électrique E
)
Π
2
G
en un point de l’intersection
de sa surface cylindrique et du plan
(
. Que peut-on dire des trois coordonnées cylindriques de E
)
Π2
G
? On imaginera
pour cela d’associer à ce demi cylindre son symétrique par rapport à
()
. Π
4) Soit une plaine où s’élève une montagne en forme de demi cylindre d’axe horizontal situé dans le plan de la
plaine, de rayon a, de longueur grande par rapport à a et de masse volumique µ. Soit A
g
G
la pesanteur observée au
pied A de la montagne et g0
G
la pesanteur qu’on y observerait en l’absence de montagne. On note le rayon de la
Terre et T
R
µ sa masse volumique moyenne. Exprimer l’angle α entre gA
G
et g0
G
en fonction de a et /T R/µ. µ
a
ρ
a
)
XIV37. ddp d’une membrane.
Soit les coordonnées cartésiennes d’un point, et deux constantes algébriques et a et b deux constantes
positives. La densité volumique de charge est nulle si x ou si x ; elle vaut si − et si
; il n’y a pas d’autres formes de charge et la charge totale est nulle.
,,xyz ρρ′
<−b>ρ0ax<< ρ′
0xb<<
1) Quelle est la relation entre ab et ρ qui traduit cette nullité de la charge totale ? ,, ′
2) Qu’est-ce que la symétrie impose au champ électrique ? Préciser les symétries considérées.
3) Montrer que le champ électrique est nul si x ou si x et calculer le champ électrique dans la région
chargée. On choisira librement les intermédiaires de raisonnement, qui seront notés même si le problème n’est pas
globalement résolu.
<−b>
4) Une membrane peut être représentée par le schéma précédent. Calculer la différence de potentiel
entre ses deux faces en fonction de ρ, a et b.
()
(
UVb Va=−− ′
Réponses
I.
0
2
4
E.
a
λ
=πε
x
y
O
h
x
P
θ
v
G
r

II. 0
0
2
R
Vσ =ε ; 0
0
4
Eσ =ε
G
.
III. A remplacer
0
1
4πε par . G−
B. 1)
()
0
1cos
2x
Eu
σ
=−α
ε
G
G
; 2) ab ; 3) 100=
()
0
1cos
2
h
Eρ =−α
ε ; 4) ; 5)
()
21cosgGh=πµ−α
10
0
2gg h
gR
−≈− ; 6)
()
20
0
3
21sin
2
gg h
gR
⎡⎤
−µ
≈−+−β
⎢⎥
µ
⎢⎥
⎣⎦
.
IV. 1)
()
x
EExu=
G
G
; est une fonction impaire de ; 2) si
()
Ex xxa≤,
0
x
Eρ =ε ; sinon,
()
0
signe a Ex
ρ
=ε ;
3) si xa≤, 4x
gG=−π µxu
G
G ; si xa≥, g
()
signe 4 x xGa=−πµu
DS : électrostatique, page 5
G
G ; 4) T ; 5)
G
π
=µ
0
8x
T.
Ga
=πµ
=V. 1) Si rR, E<0
G
G
, si rR, >
2
2
0
r
R
Eu
r
σ
=ε
G
G
; Si , rR≤
0
R
V, si rR,
σ
=ε≥2
0
R
V ; 2) Si rR,
r
σ
=ε≤
0
2
R
Vσ =ε, si , rR≥2
0
2
R
V ; 3.a) E inconnu et E ; si rR, E, sinon,
r
σ
=εϕ= =
θ0<0 r
2
2
0
2
r
R
Er
σ
=ε.
VI. 1.b)
00
si 0 , si 0
22
x
xEuxE
σσ
>= <=−
εε
G
G
G
; 2.a) si 0
2
e
xE>=
G
G
; si
0
2x
e
xE
σ
<=−εu
G
G
; 2.b)
0
e
U ; 3)
σ
=ε
2
0a
C ; 4)
e
ε
=
22
12 0
2x
a
Fu
→σ
=−ε
G
G
; 5) 22
0
2
op
ae
W.
σ
=ε
VII. 1)
0
4
d
dE ; 2.a)
a
λθ
=πε
()
0
sin sin
4
x
E ;
a
λβ−α
=πε
)(
0
cos cos
4
y
E ; 2. c) Les équipotentielles sont des
ellipsoïdes de révolution de foyers A et B ; les lignes de champ sont des hyperboles de foyers A et B ; voir tracé sur
corrigé ; 3)
a
λβ−α
=πε
0
0
8x
Eu
a
λ
=ε
G
G
; 4) 0
0
8y
Eu
a
λ
=−ε
G
G
; 5) 20
08
8xy
bc
Eu
a
a
=−ε
εu
G
G
G.
VIII. 1-1. Oz axe de révolution ; 1-2.Ez impair ; 1-3.
()
22
0
4
Q
VRz =πε + ; 2 2 3/2
0
4( )
Qz
ERz =πε + ; 1-4. est
représenté ci-contre ; 2-1. ; est une fonction paire de z et
impaire de r ; Er une fonction impaire de et paire de r ; 2-2.
; Ez ; 2-3. pas de charge au voisinage de l’axe ; 2-4.
()
Ez
0Eθ=
(
,
r
Erz
)
)
z
)
,0r Ez
(
,
zz
()
()
,
r
Ezr rfz
() (
,
zz
),(2)]0,()0,([
2rzrdzEzEdzzErdSE rzz
ππ +−+=⋅
∫∫
G
; 2-5. 22
225/
0
(2 )
(, ) 8( )
2
Qr z R
rRz
−
πε +
r
Ez = ; 2-6-2. lignes de champ
voisines des droites passant par O ; 2-6-3. équipotentielles voisines de sphères centrées sur O.
IX. 1)
0
1
4πε correspond à ; 3) G−
()
()
4
1 1,25.10
0
Tx
T.
−
=−
X. 2) si ra, >2
0
4
Q
E ; si ,
r
=πε ra<3
0
4
Qr
Ea =πε ; 3) ra : =max 2
0
4
Q
E.
a
=πε
XI. 2) 2
02
q
2
az
=πε + V ; 3) 0
02
q
V ;
a
=πε 2
1
4a
γ=− ; 4)
()
222
0
11
222 22
q
VM aaxx aaxx
⎛⎞
⎟
⎜
=+
⎟
⎜⎟
⎟
⎜
πε ⎝⎠
−+++
2r=
; 6.c) zk .
2
/
XII. 1) 2
y
GMm
iu
h
=
G
G
; 2) /piv=
G
G
; 3) 2
y
GM
vu
hv
∆ ; 4) 2
2GM
hv
∆α = ; 5)
()
7
10
21 /
T
M
MRh
−
∆α
==
+.
=
G
G
XIII. 1) EE
()
11r
ru=
G
G
; 2) 10
2
a
E=ρ
ε ; 3) 20
4
r
a
E ; E ; 4) =ρ
ε=
20 z
3
4T
a
R
=µ
αµ.
XIV. 1) ; 2) EE0abρρ
′
+=
()
x
xu=
G
G
; 3) si −≤ , 0ax≤
()
0
ax
E ; si 0,
ρ
ε
+
=xb<<
()
0
xb
E ;
4)
ρ
ε
′−
=
()
()
()
0
2
ba b
Vb . V a ′+
−−=ρ
ε