CIRCUITS EN REGIME SINUSOÏDAL PERMANENT

Université du Sud TOULON ~ VAR Génie Electrique et Informatique Industrielle
Institut Universitaire de Technologie
CIRCUITS EN REGIME SINUSOÏDAL
PERMANENT
1 Introduction
1.1 Définitions - Chronogramme
1.2 Propriétés des sinusoïdes
1.3 Représentation de Fresnel
1.4 Transformation Cissoïdale
2 Impédance - Admittance
2.1 Définitions
2.2 Application aux éléments simples R, L, C
2.3 Associations de dipôles
2.4 Modèles d’un dipôle : Série – Dérivation – Equivalence
3 Puissances en sinusoïdal monophasé
3.1 Puissances active, réactive, apparente
3.2 Puissance apparente complexe
3.3 Application aux dipôles passifs
3.4 Théorème de Boucherot
4 Adaptation d’impédance
5 Relèvement du facteur de puissance
M. GARNERO

M. GARNERO Chapitre 3 Page : GE11-3.doc
2
Circuits en régime sinusoïdal
permanent
Permettant d’étudier tous les phénomènes
ondulatoires, les fonctions sinusoïdales sont,
sans conteste, les plus répandues et les plus
utiles dans notre environnement.
1 Introduction
1.1 Définitions -Chronogramme
On qualifie de « sinusoïdale » une grandeur dont
les variations en fonction du temps sont de la
forme : y
(t)
= A sin(2π
T
t
+ θ)
ou de préférence
y
(t)
= A cos(2π
ππ
π
T
t
+ θ
θθ
θ)
pour laquelle :
A désigne l’amplitude
(2π
ππ
π
T
t
+ θ
θθ
θ) = α désigne la phase angulaire
ω
ωω
ω = 2π
T
1
= 2πf est la pulsation
θ
θθ
θ = α
(t=0)
étant la phase à l’origine.
La valeur de θ peut s’obtenir en considérant
y
(t=0)
= Y
0
= A cos(θ).
Plus simplement : On note t
1
la date à laquelle le
signal passe par un maximum (sur l’intervalle – ½
T, +½ T) et α
1
=ωt
1
la phase correspondante.
Pour cette date cos(2π
T
1 t
+ θ) = 1, c’est à dire
(2π
T
1 t
+ θ) = 0 ce qui donne θ = - 2π
T
1 t
= - α
1
1.2 Propriétés des sinusoïdes
En observant le chronogramme d’une sinusoïde,
nous constatons que :
- la valeur maximale est égale à l’amplitude A,
- la valeur minimale vaut –A,
- la valeur moyenne est nulle compte tenu de
la symétrie de chaque alternance.
Ainsi est-il fréquent d’adopter la notation :
y
(t)
= Y
max
cos(ωt+ θ) puisque A = Y
max
Pour déterminer la valeur efficace il faut élever
y(t) au carré, en prendre la moyenne, puis la
racine carrée, ce qui donne :
Y
eff
=
max
2
Y
2
1 =
2
Y max
d’où un facteur de
crête F
C
= 2 qui permet d’écrire :
y
(t)
= 2 Y
eff
cos(ω
ωω
ωt+ θ
θθ
θ) ou
y
(t)
= 2 Y cos(ω
ωω
ωt+ θ
θθ
θ)
Par convention, pour ne pas alourdir l’écriture,
une majuscule sans indice signifie qu’il s’agit de
la valeur efficace.
En présence de deux sinusoïdes de même
fréquence, nous pouvons définir le déphasage
existant entre elles. Il s’agit de la différence de
leurs phases :
ϕ
ϕϕ
ϕ
2/1
= θ
θθ
θ
1
- θ
θθ
θ
2
ϕ
2/1
est positif lorsque θ
1
> θ
2
c’est à dire lorsque
la sinusoïde 2 est en retard sur la 1.
Le déphasage est donc, par définition, un retard
de phase (comme dans la vie de tous les jours).
y
t
ω
t
T
2
π
0
A
t
1
α
1
Y
0
θ
1
y
1
t
ω
t
2
π
0
ϕ
2/1
α
1
α
2
y
2
y
2
t
T
0
Y
2
max
½ Y
2
max
y
t
T
0
Y
max

M. GARNERO Chapitre 3 Page : GE11-3.doc
3
On dit de y
2
qu’elle est en retard sur y
1
, si le déphasage
de y
2
sur y
1
est positif.
θ
2
= - α
2
< θ
1
= - α
1
Ont dit de deux sinusoïdes qu’elles sont en opposition de
phase lorsque ϕ
2/1
= ± π, alors qu’elles sont dites en
quadrature lorsque
ϕ
2/1
= ±
2
π
L’étude des circuits fait intervenir, pour un même
montage, plusieurs sinusoïdes de même fréquence
(tensions et courants). Il est commun d’en choisir une
comme référence, (le plus souvent celle qui est à l’origine
du fonctionnement du circuit).
Ainsi, celle choisie comme référence a une phase à
l’origine nulle , elle s’écrira donc :
y
ref(t)
= 2 Y
ref
cos(ωt) puisque θ
ref
= 0
Les phases à l’origine des autres peuvent alors s’écrire :
θ
1
= -ϕ
1/ref
= - ϕ
1
, θ
2
= - ϕ
2/ref
= - ϕ
2
, etc.
ce qui permet d’avoir :
y
1(t)
= 2 Y
1
cos(ωt + θ
1
) = 2 Y
1
cos(ωt - ϕ
1
)
y
2(t)
= 2 Y
2
cos(ωt + θ
2
) = 2 Y
2
cos(ωt - ϕ
2
) etc.
Cependant, cette notation peut prêter à confusion et il
vaut mieux l’éviter.
1.3 Représentation de FRESNEL
Le tracé des sinusoïdes n’est pas aisé, aussi a-t-on
recours à une représentation plus simple.
A une sinusoïde de la forme 2Y cos(ωt + θ), on peut
associer un vecteur dit vecteur de Fresnel. Il a comme
norme la valeur efficace Y et comme position angulaire
la phase α
αα
α
(t)
. C’est à dire que c ‘est un vecteur qui
tourne, dans le sens trigonométrique à la vitesse
angulaire ω. Cependant, le dessin ne pouvant être animé,
on adopte comme convention de le représenter à t = 0.
Ainsi ce vecteur pointera la direction θ
θθ
θ.
Il faut remarquer que sur une figure de Fresnel, tous les
vecteurs tournent à la même vitesse, toutes les
sinusoïdes doivent avoir même fréquence
Notes personnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Y
Y
1
O
θ
θθ
θ
Y
eff
ω
ωω
ω
à t = 0
Vecteur unité
Direction origine

M. GARNERO Chapitre 3 Page : GE11-3.doc
4
La mention sur la rotation du vecteur et la date
de la représentation est généralement omise.
On constate que la projection du vecteur de
Fresnel sur l’axe origine, multipliée par 2donne
l’expression instantanée y(t)
La figure ci-contre
met en évidence le
déphasage de y
2
par
rapport à y
1
ainsi que
la soustraction
y
3
= y
2
– y
1
1.4 Transformation Cissoïdale
La représentation de Fresnel simplifie la tâche
mais reste une construction graphique. La
transformation Cissoïdale fait disparaître cet
inconvénient.
A une sinusoïde y(t) on fait correspondre un
nombre complexe Y, de module égal à la valeur
efficace Y et d’argument égal à la phase à
l’origine ψ.
y(t) = 2Y cos(ωt + θ) Y = Y e
jθ
θθ
θ
Y est l’image de y(t) et réciproquement
y(t) est l’original de Y
Il arrive parfois que l’on donne au module de Y non pas la
valeur efficace, mais l’amplitude (la valeur max)
Cela revient à représenter le vecteur de Fresnel
dans le plan complexe, l’affixe de son extrémité
étant Y
L’expression algébrique de Y s’obtient
simplement par :
Y = Y e
jθ
= Y(cos θ + j sin θ) = Y
a
+ j Y
b
réciproquement :
Y =
b
a22
Y
Y+
tan θ = a
b
Y
Y
Les calculs sur les sinusoïdes de même
fréquence (additions, soustractions, produit,
rapport, dérivation, intégration etc.) deviennent
alors simples. Ainsi pour
y(t) = 2 Y cos(ωt + θ
Y
) et x(t) = 2 X cos(ωt + θ
X
)
donnant Y = Y e
jθy
et X = X e
jθx
La somme s’obtiendra par :
σ (t) = x(t) + y(t) Σ = X + Y avec
Σ = (Y
a
+ X
a
) + j (X
b
+ Y
b
)
Le produit par :
π (t) = x(t) * y(t) Π = X * Y avec
Π = X*Y e
j(θx + θy)
La transformation C préfigure les
transformations L (Laplace) et F (Fourier). Elle
fournit un cadre rigoureux et simple pour
l’étude du régime permanent sinusoïdal des
systèmes linéaires.
Au lieu de traiter les problèmes dans l’espace
temporel
, certes familier, on les traite dans un
espace image s’appuyant sur le corps des
nombres complexes
En plus des opérations d’addition et de produit,
voyons ce qu’il en est pour la dérivation :
y(t) = 2 Y cos(ωt + θ) Y = Y e
jθ
y’(t) = -ω 2 Y sin(ωt + θ) = ω 2 Y cos(ωt + θ +
2
π
)
y’(t) Y’ = ωY e
j(θ+
2
π
)
= jω Y e
jθ
= jω Y
Ainsi, une dérivation dans le domaine temporel,
se traduit par la multiplication par jω dans
l’espace image.
De ce fait, il ne faut pas séparer le « j » du
« ω ». Par exemple, bien que mathématiquement
équivalent,
jCω
1
est préférable à
Cω
j−
. Les
puissances paires de ω seront réelles, celles
impaires seront imaginaires pures. cette
pratique fournit un instrument de vérification
précieux.
Y
1
O
θ
1
θ
2
ϕ
2/1
Y
2
Y
3
= Y
2
– Y
1
C
ω
Ensemble des fonctions
sinusoïdales du temps
Ensemble des nombres
complexes
originaux
images
y(t)
Y
X
x(t)
C
ω
C
-
1
ω
C
ω
C
ω
C
ω
C
ω
Y
O
θ
θθ
θ
Y
eff
ℜ
e
ℑ
m
y
a
y
b

M. GARNERO Chapitre 3 Page : GE11-3.doc
5
2 Impédance – Admittance
2.1 Définitions
Lorsqu’un dipôle linéaire passif D est soumis à une tension
sinusoïdale u(t) = 2U cos(ωt + θ
u
), il est traversé par un
courant également sinusoïdal. Après que le régime
transitoire se soit éteint, le courant aura une équation du
type : i(t) = 2I cos(ωt + θ
i
),
L’amplitude du courant est proportionnelle à celle de la
tension : 2I ∝ 2U. Le coefficient de proportionnalité
est appelé « Admittance » du dipôle notée Y, son inverse
étant « l’Impédance » notée Z :
U
I
= Y
I
U
=
Y
1
= Z
Y se mesure en Siemens [S] et Z en Ohm [Ω]
Par ailleurs, le courant n’est pas nécessairement en phase
avec la tension, cela dépend du dipôle. On notera ϕ le
déphasage de i par rapport à u
ϕ
ϕϕ
ϕ = ϕ
ϕϕ
ϕ
i/u
= θ
θθ
θ
u
- θ
θθ
θ
i
en radian
En utilisant les images complexes nous aurons :
I
U
= Z =
I
U
e
j(θu - θi)
= Z e
jϕ
qui est l’impédance complexe, de même :
U
I
= Y =
U
I
e
j(θi - θu)
= Y e
jϕ*
qui est l’admittance complexe avec ϕ* = - ϕ.
Lorsqu’on donne la forme cartésienne, il vient :
Z e
jϕ
= Z (cosϕ + jsinϕ) = R + j X
la partie réelle R = Z cosϕ
ϕϕ
ϕ porte le nom de « Résistance
de l’impédance », alors que la partie imaginaire X = Z
sinϕ
ϕϕ
ϕ est appelée « Réactance » (toutes deux se
mesurent en Ω)
Z =
X
R
22
+
tan ϕ =
R
X
Y e
jϕ*
= Y (cosϕ* + jsinϕ*) = G + j B
la partie réelle G = Y cosϕ
ϕϕ
ϕ* porte le nom de
« Conductance de l’impédance », alors que la partie
imaginaire B = Y sinϕ
ϕϕ
ϕ* est appelée « Susceptance »
(toutes deux se mesurent en S)
Y =
B
G
22
+
tan ϕ* =
G
B
Notes personnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .