CIRCUITS EN REGIME SINUSOÏDAL PERMANENT

Université du Sud TOULON ~ VAR
Institut Universitaire de Technologie
Génie Electrique et Informatique Industrielle
CIRCUITS EN REGIME SINUSOÏDAL
PERMANENT
1
Introduction
1.1
1.2
1.3
1.4
2
Impédance - Admittance
2.1
2.2
2.3
2.4
3
Définitions - Chronogramme
Propriétés des sinusoïdes
Représentation de Fresnel
Transformation Cissoïdale
Définitions
Application aux éléments simples R, L, C
Associations de dipôles
Modèles d’un dipôle : Série – Dérivation – Equivalence
Puissances en sinusoïdal monophasé
3.1
3.2
3.3
3.4
Puissances active, réactive, apparente
Puissance apparente complexe
Application aux dipôles passifs
Théorème de Boucherot
4
Adaptation d’impédance
5
Relèvement du facteur de puissance
M. GARNERO
la symétrie de chaque alternance.
Circuits en régime sinusoïdal
permanent
Ainsi est-il fréquent d’adopter la notation :
Permettant d’étudier tous les phénomènes
ondulatoires, les fonctions sinusoïdales sont,
sans conteste, les plus répandues et les plus
utiles dans notre environnement.
y(t) = Ymax cos(ωt+ θ) puisque A = Ymax
Pour déterminer la valeur efficace il faut élever
y(t) au carré, en prendre la moyenne, puis la
racine carrée, ce qui donne :
y
1 Introduction
Ymax
1.1 Définitions -Chronogramme
forme :
t
T
On qualifie de « sinusoïdale » une grandeur dont
les variations en fonction du temps sont de la
0
y(t) = A sin(2π t + θ)
T
y2 Y2max
ou de préférence
y(t) = A cos(2π
π t + θ)
T
½ Y2max
pour laquelle :
A
désigne l’amplitude
t + θ) = α
T
ω = 2π 1 = 2πf
T
désigne la phase angulaire
(2π
π
θ = α(t=0)
est la pulsation
0
Yeff =
étant la phase à l’origine.
2
1
= Ymax
Y
max
2
2
crête FC =
y
θ1
t1
T
t
α1
2π
ωt
La valeur de θ peut s’obtenir en considérant
y(t=0) = Y0 = A cos(θ).
Plus simplement : On note t1 la date à laquelle le
signal passe par un maximum (sur l’intervalle – ½
T, +½ T) et α1 =ωt1 la phase correspondante.
t1 + θ) = 1, c’est à dire
T
(2π t1 + θ) = 0 ce qui donne θ = - 2π t1 = - α1
T
T
Pour cette date cos(2π
1.2 Propriétés des sinusoïdes
En observant le chronogramme d’une sinusoïde,
nous constatons que :
la valeur maximale est égale à l’amplitude A,
la valeur minimale vaut –A,
la valeur moyenne est nulle compte tenu de
M. GARNERO
2 Yeff cos(ω
ωt+ θ) ou
Chapitre 3
2 Y cos(ω
ωt+ θ)
y(t) =
A
Page : 2
d’où un facteur de
2 qui permet d’écrire :
y(t) =
Y0
0
t
T
Par convention, pour ne pas alourdir l’écriture,
une majuscule sans indice signifie qu’il s’agit de
la valeur efficace.
En présence de deux sinusoïdes de même
fréquence, nous pouvons définir le déphasage
existant entre elles. Il s’agit de la différence de
leurs phases :
ϕ2/1 = θ1 - θ2
ϕ2/1 est positif lorsque θ1 > θ2 c’est à dire lorsque
la sinusoïde 2 est en retard sur la 1.
Le déphasage est donc, par définition, un retard
de phase (comme dans la vie de tous les jours).
ϕ2/1
y1
y2
t
0
α1 α2
2π
ωt
GE11-3.doc
Notes personnelles
On dit de y2 qu’elle est en retard sur y1, si le déphasage
de y2 sur y1 est positif.
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θ2 = - α2 < θ1 = - α1
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Les phases à l’origine des autres peuvent alors s’écrire :
θ1 = -ϕ1/ref = - ϕ1,
θ2 = - ϕ2/ref = - ϕ2, etc.
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ce qui permet d’avoir :
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Ont dit de deux sinusoïdes qu’elles sont en opposition de
phase lorsque ϕ2/1 = ± π, alors qu’elles sont dites en
quadrature lorsque
ϕ2/1 = ± π
2
L’étude des circuits fait intervenir, pour un même
montage, plusieurs sinusoïdes de même fréquence
(tensions et courants). Il est commun d’en choisir une
comme référence, (le plus souvent celle qui est à l’origine
du fonctionnement du circuit).
Ainsi, celle choisie comme référence a une phase à
l’origine nulle , elle s’écrira donc :
yref(t) = 2 Yref cos(ωt)
y1(t) =
y2(t) =
puisque θref = 0
2 Y1 cos(ωt + θ1) = 2 Y1 cos(ωt - ϕ1)
2 Y2 cos(ωt + θ2) = 2 Y2 cos(ωt - ϕ2) etc.
Cependant, cette notation peut prêter à confusion et il
vaut mieux l’éviter.
1.3 Représentation de FRESNEL
Le tracé des sinusoïdes n’est pas aisé, aussi a-t-on
recours à une représentation plus simple.
A une sinusoïde de la forme 2 Y cos(ωt + θ), on peut
associer un vecteur
dit vecteur Y
de Fresnel. Il a comme
norme la valeur efficace Y et comme position angulaire
la phase α(t) . C’est à dire que c ‘est un vecteur qui
tourne, dans le sens trigonométrique à la vitesse
angulaire ω. Cependant, le dessin ne pouvant être animé,
on adopte comme convention de le représenter à t = 0.
Ainsi ce vecteur pointera la direction θ.
Il faut remarquer que sur une figure de Fresnel, tous les
vecteurs tournent à la même vitesse, toutes les
sinusoïdes doivent avoir même fréquence
Y
Yeff
θ
ω
àt=0
O
1
M. GARNERO
Vecteur unité
Chapitre 3
Direction origine
Page : 3
GE11-3.doc
La mention sur la rotation du vecteur et la date
de la représentation est généralement omise.
On constate que la projection du vecteur de
Fresnel sur l’axe origine, multipliée par 2 donne
l’expression instantanée y(t)
Y1
La figure ci-contre
met en évidence le
déphasage de y2 par
θ1
rapport à y1 ainsi que
ϕ2/1
la soustraction
O
y3 = y2 – y1
θ2
L’expression algébrique de Y s’obtient
simplement par :
Y = Y ejθ = Y(cos θ + j sin θ) = Ya + j Yb
réciproquement :
Ya
Les calculs sur les sinusoïdes de même
fréquence (additions, soustractions, produit,
rapport, dérivation, intégration etc.) deviennent
alors simples. Ainsi pour
y(t) =
Y2
tan θ = Yb
Y = Ya 2+ Yb 2
2 Y cos(ωt + θY) et x(t) =
donnant
2 X cos(ωt + θX)
Y = Y ejθy et X = X ejθx
La somme s’obtiendra par :
σ(t) = x(t) + y(t)
Cω
Σ=X+Y
avec
Σ = (Ya + Xa) + j (Xb + Yb)
Y3 = Y2 – Y1
Le produit par :
1.4 Transformation Cissoïdale
π(t) = x(t) * y(t)
La représentation de Fresnel simplifie la tâche
mais reste une construction graphique. La
transformation Cissoïdale fait disparaître cet
inconvénient.
A une sinusoïde y(t) on fait correspondre un
nombre complexe Y, de module égal à la valeur
efficace Y et d’argument égal à la phase à
l’origine ψ.
y(t) =
2 Y cos(ωt + θ)
Cω
Y = Y ejθθ
Y est l’image de y(t) et réciproquement
y(t) est l’original de Y
Il arrive parfois que l’on donne au module de Y non pas la
valeur efficace, mais l’amplitude (la valeur max)
Ensemble des fonctions
sinusoïdales du temps
Ensemble des nombres
complexes
Cω
y(t)
Y
originaux
X
O
M. GARNERO
Chapitre 3
Π = X*Y ej(θx + θy)
La transformation C préfigure les
transformations L (Laplace) et F (Fourier). Elle
fournit un cadre rigoureux et simple pour
l’étude du régime permanent sinusoïdal des
systèmes linéaires.
Au lieu de traiter les problèmes dans l’espace
temporel, certes familier, on les traite dans un
espace image s’appuyant sur le corps des
nombres complexes
En plus des opérations d’addition et de produit,
voyons ce qu’il en est pour la dérivation :
y(t) =
2 Y cos(ωt + θ)
Cω
Y = Y ejθ
y’(t) = -ω 2 Y sin(ωt + θ) = ω 2 Y cos(ωt + θ + π )
2
π
y’(t) Cω
Y’ = ωY ej(θ+ 2 ) = jω Y ejθ = jω Y
Y
ya
puissances paires de ω seront réelles, celles
impaires seront imaginaires pures. cette
pratique fournit un instrument de vérification
précieux.
Yeff
θ
avec
Ainsi, une dérivation dans le domaine temporel,
se traduit par la multiplication par jω dans
l’espace image.
De ce fait, il ne faut pas séparer le « j » du
« ω ». Par exemple, bien que mathématiquement
−j
équivalent, 1 est préférable à
. Les
Cω
jCω
Cela revient à représenter le vecteur de Fresnel
dans le plan complexe, l’affixe de son extrémité
étant Y ℑm
yb
Π=X*Y
images
C-1ω
x(t)
Cω
ℜe
Page : 4
GE11-3.doc
2
Impédance – Admittance
2.1
Définitions
Notes personnelles
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Lorsqu’un dipôle linéaire passif D est soumis à une tension
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sinusoïdale u(t) = 2 U cos(ωt + θu), il est traversé par un
courant également sinusoïdal. Après que le régime
transitoire se soit éteint, le courant aura une équation du
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qui est l’admittance complexe avec ϕ* = - ϕ.
Lorsqu’on donne la forme cartésienne, il vient :
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Z ejϕ = Z (cosϕ + jsinϕ) = R + j X
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sinϕ
ϕ est appelée « Réactance » (toutes deux se
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mesurent en Ω)
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type : i(t) = 2 I cos(ωt + θi),
L’amplitude du courant est proportionnelle à celle de la
tension : 2 I ∝ 2 U. Le coefficient de proportionnalité
est appelé « Admittance » du dipôle notée Y, son inverse
étant « l’Impédance » notée Z :
U= 1 = Z
I = Y
U
I
Y
Y se mesure en Siemens [S] et Z en Ohm [Ω]
Par ailleurs, le courant n’est pas nécessairement en phase
avec la tension, cela dépend du dipôle. On notera ϕ le
déphasage de i par rapport à u
ϕ = ϕi/u = θu - θi
en radian
En utilisant les images complexes nous aurons :
U
I
= Z=
U ej(θu - θi) = Z ejϕ
I
qui est l’impédance complexe, de même :
I
U
= Y = I ej(θi - θu) = Y ejϕ*
U
la partie réelle R = Z cosϕ
ϕ porte le nom de « Résistance
de l’impédance », alors que la partie imaginaire X = Z
tan ϕ = X
Z = R 2+ X 2
R
Y ejϕ* = Y (cosϕ* + jsinϕ*) = G + j B
la partie réelle G = Y cosϕ
ϕ* porte le nom de
« Conductance de l’impédance », alors que la partie
imaginaire B = Y sinϕ
ϕ* est appelée « Susceptance »
(toutes deux se mesurent en S)
tan ϕ* = B
Y = G 2 + B2
M. GARNERO
G
Chapitre 3
Page : 5
GE11-3.doc
2.2
Application aux éléments simples
a)
la Résistance R
La loi d’ohm s’écrivant i = G u , pour une
sollicitation sinusoïdale
2 U cos(ωt + θu) → U, le courant sera :
u(t) =
i(t) = G 2 U cos(ωt + θi) → I ce qui permet
d’établir :
Y = G e0j = G + 0j
donc B = 0 et ϕ* = 0
de même
Z = R e0j = R + 0j
donc X = 0 et ϕ = 0
ϕi/u =
π
2
u
U
t
ωt
0
ϕi/u = 0
θi = θu -
u
π
2
1
i
O
ϕ =+
t
π
2
I
ωt
c)
U
ω
àt=0
I
le Condensateur C
La loi de commande s’écrivant i = C du , pour
dt
obtenir une tension sinusoïdale
θi = θ u
u(t) =
2 U cos(ωt + θu) → U il faudra faire
circuler un courant i(t) =
ce qui permet d’établir :
π
Y = 0 + jCω = Cω ej 2
O
1
2 I cos(ωt + θi) → I,
I = C(jω)U
donc G = 0 et ϕ* = π
2
de même
b)
La loi de commande s’écrivant u = L di , pour
dt
obtenir un courant sinusoïdal
i(t) =
1 = 1 e-j π
2
Cω
jCω
donc R = 0 et ϕ = - π
2
ϕi/u = - π2
u
Z=0+
la Bobine L
2 I cos(ωt + θi) → I il faudra appliquer une
tension u(t) = 2 U cos(ωt + θu) → U,
ce qui permet d’établir :
U = L(jω)I
i
t
ωt
0
π
Z = 0 + jLω = Lω e 2
j
donc R = 0 et ϕ = π
2
de même
Y=0+
1 = 1 e-j π
2
Lω
jLω
donc G = 0 et ϕ* = - π
2
θi = θu +
π
U
2
ϕ =-
π
2
I
1
O
M. GARNERO
Chapitre 3
Page : 6
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Notes personnelles
2.3
Associations des dipôles
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En série
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comme Y1 = G1 + jB1, Y2 = G2 + jB2, etc.
Yeq = (G1 + G2 + G3) + j(B1 + B2 + B3) soit donc
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Geq = (G1 + G2 + G3) et Beq = (B1 + B2 + B3)
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a)
Des dipôles linéaires passifs ,lorsqu’ils sont associés en
série, sont traversés par le même courant, la tension
totale est égale à la somme des tensions aux bornes de
chacun d’eux.
Ainsi l’impédance équivalente à l’ensemble est égale à la
somme des impédances :
D 1 ⊕ D 2 ⊕ D 3 ⇔ Zeq = Z1 + Z 2 + Z 3
v = v1 + v2 + v3
i
v3
v2
v1
D1
D3
D2
comme Z1 = R1 + jX1, Z2 = R2 + jX2, etc.
Zeq = (R1 + R2 + R3) + j(X1 + X2 + X3) soit donc
Req = (R1 + R2 + R3)
et Xeq = (X1 + X2 + X3)
Les impédances, les résistances et les réactances
s’ajoutent entre elles.
Il n’en est pas de même pour les admittances et à fortiori
les conductances et les susceptances puisque l’inverse
d’une somme n’est pas la somme des inverses.
b)
En dérivation
Des dipôles linéaires passifs ,lorsqu’ils sont associés en
dérivation, sont soumis à la même tension, le courant total
est égal à la somme des courants au travers de chacun
d’eux.
Ainsi l’admittance équivalente à l’ensemble est égale à la
somme des admittances :
D 1 ‖ D 2 ‖ D 3 ⇔ Yeq = Y1 + Y 2 + Y 3
i = i1 + i2 + i3
i1
i3
i2
v
D1
M. GARNERO
D2
Chapitre 3
D3
Page : 7
GE11-3.doc
Les admittances, les conductances et les
susceptances s’ajoutent entre elles.
Il n’en est pas de même pour les impédances et à
fortiori les résistances et les réactances
puisque l’inverse d’une somme n’est pas la somme
des inverses.
2.4
Modèles d’un dipôle
a)
Modèles Série et dérivation
Un dipôle passif linéaire D, possède une
impédance Z = R + jX . Il peut donc être
représenté comme l ‘association en série d’une
résistance R et d’une réactance pure X.
Ce même dipôle, possède une admittance
Y = G + jB. Il peut donc être également
représenté par l’association en dérivation d’une
résistance G et d’une susceptance B.
L’élément réactif pur sera une inductance L ou
un condensateur C suivant le signe de l’argument
de son impédance (une inductance si ϕ > 0).
R
X
G
Dipôle passif
linéaire
et
B=
−X
R 2+ X 2
2
(ou X2) et en constatant que X 2 = q2 cela donne:
R
G=
1
R.(1+ q 2)
et
B=
−q 2
−1
=
X.(1+ q 2)
X.(1+ 12 )
q
Par ailleurs nous constatons que le rapport de X sur R
vaut, au signe près le rapport de B sur G. Cela signifie que
q = X = B et d = G
R
G
B
3
Puissances en sinusoïdal monophasé
3.1
Puissances active – réactive - apparente
Concernant les puissances, il est nécessaire de connaître
les définitions qui s’appliquent quelle que soit la forme
du signal :
P = Pmoy = (p(t) )moy
La « puissance fluctuante » p~(t) est la composante
alternative de la puissance instantanée.
p(t) = P +
Les deux représentations sont parfaitement
équivalentes.
On note « q » le coefficient de qualité du dipôle
et « d » son coefficient de dissipation. Ils
valent :
q = | X | et d = 1
R
q
Plus la partie réactive est importante par
rapport à la partie résistive, plus le coefficient
de qualité est grand. Un dipôle parfaitement
réactif a un coefficient de qualité infini et donc
un coefficient de dissipation nul.
On remarque que q = |tg ϕ|. Puisque d est
l’inverse de q, d = |cotg ϕ|.= |tg ( π - ϕ)|.
2
Le supplément de ϕ est noté δ, il porte le nom
d’angle de fuites
δ= π-ϕ
2
b)
Equivalence
On peut chercher la correspondance entre ces
quatre éléments, ainsi en utilisant le conjugué :
R − jX
R − jX
1
1
=
= 2
Y= 1 =
Z
R+ jX
R+ jX R − jX
R +X 2
Chapitre 3
R
R 2+ X 2
en mettant R2 en facteur au dénominateur
B
Représentation dérivation
M. GARNERO
G=
On appelle « Puissance active », la valeur moyenne de la
puissance instantanée, elle est notée P et se mesure en
Watt [W]
Représentation série
D
comme Y = G +jB, en identifiant il vient :
Page : 8
p~(t)
Le produit des valeurs efficaces de la tension et du
courant est appelé « Puissance apparente », il est noté S
et se mesure en Volt-ampère [VA]
S = Ueff * Ieff
Le rapport de la puissance active sur la puissance
apparente est appelé facteur de puissance fP
fp = P
S
Soit D, un dipôle linéaire (actif ou passif). Soumis à une
tension sinusoïdale u(t), il est traversé par un courant
également sinusoïdal i(t)
La puissance instantanée mise en jeu dans le dipôle sera :
p(t) = u(t)*i(t) soit donc
p(t) =
comme
2 U cos(ωt + θu)* 2 I cos(ωt + θi)
cos a * cos b = ½ [cos (a-b) + cos (a+b)]
p(t) = 2 U I ½ [cos(θu - θi) + cos(2ωt +θu + θi)]
soit encore, puisque (θu - θi) = ϕi/u
p(t) = U I cos(ϕ) + U I cos(2ωt +θu + θi)
GE11-3.doc
En appliquant les définitions au cas présent nous aurons
une puissance active égale au terme constant de la somme
alors que la puissance fluctuante oscille à la pulsation 2ω.
Notes personnelles
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Remarque :
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Jusqu’à un passé relativement récent, l’alternatif sinusoïdal était le cas
unique à traiter. Aussi, le facteur de puissance valant toujours cosϕ,
était-il fréquent de confondre, dans le jargon, la propriété et la
définition.
Avec l’apparition de l’électronique de puissance et des formes d’ondes
pas nécessairement sinusoïdales, il est impératif de faire la distinction.
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ϕi/u
u
i
t
t
ωt
p
P = (p)moy
+
t
P = U.I.cosϕ
ϕi/u
Avec S = U.I le facteur de puissance vaut :
fp = P = cos ϕ
S
Lorsque tension et courant sont en phase, la puissance
instantanée est strictement positive et le facteur de
puissance est égal à l’unité.
Lorsqu’ils sont en quadrature, la puissance active est
nulle, la puissance instantanée est purement alternative,
pendant une demi-période elle « rentre » dans le dipôle,
pendant l’autre demi-période elle en « ressort ». le dipôle
est purement réactif (il restitue toute l’énergie qu’on lui
cède).
Pour préciser le signe de ϕi/u on indique si le courant est
en retard ou en avance sur la tension.
Par exemple cosϕ = 0,8 AR signifie que le courant est en
retard donc que ϕ est positif alors que cosϕ = 0,8 AV
indique que ϕ est négatif.
M. GARNERO
Chapitre 3
Page : 9
GE11-3.doc
La « puissance réactive » vaut par définition :
Après identification
Q = U.I.sinϕ
ϕ
P = G.U2
Q = -BU2
et
Elle se mesure en var [var] (mot dérivé de voltampère-réactif). C’est un être mathématique
ainsi défini pour simplifier les calculs, mais elle
n’a pas signification physique.
Dans le cas des dipôles élémentaires parfaits
cela conduit à :
- Pour la Résistance (conducteur ohmique)
ZR = R
2
PR = R.I2 = U = G U2
3.2
ϕR = 0
QR = 0
Puissance apparente complexe
Elle est notée S et vaut par définition :
R
- Pour la Bobine d’inductance
S = P + jQ = S.ejϕϕ
Cela permet de tracer dans le plan complexe, le
« triangle des puissances »
ZL = Lω
PL = 0
ϕR = π
QL = Lω.I2 = - U
2
2
Lω
- Pour le Condensateur parfait
ℑm
S
0
PC = 0
ϕC = - π
2
QC = - Cω.U2 = - I
2
Q
ϕ
YC = Cω
ℜe
Cω
Nous constatons qu’alors que la bobine
« consomme » de l’énergie réactive, le
condensateur en « génère ».
P
Nous constatons que :
3.4
tan ϕ = Q
S = P 2+Q 2
Théorème de Boucherot
P
Cherchons si S est liée de façon simple à U et I.
Le produit de U par I donnerait :
U.I = Uejθu. Iejθi = U.I.ej(θu + θi) = S ej(θu + θi)
qui n’est pas S car (θu + θi) n’est pas ϕ. Par
contre, en notant I* = Ie-jθi le conjugué de I nous
aurons bien :
U.I* = Uejθu. Ie-jθi = U.I.ej(θu - θi) = S ejϕ
Considérons un circuit composé de N éléments
en dérivation (une installation électrique),
l’ensemble étant alimenté en sinusoïdal par une
tension U
iT = i1 + i2 + i3
i2
i3
E1
E2
E3
u
S = U.I* = P + jQ = S.ejϕ
3.3
i1
Application aux dipôles passifs
Nous avons vu qu’un dipôle passif possédait une
impédance Z et une admittance Y permettant
d’écrire : I = Y.U ou U = Z.I ce qui donne pour
la puissance apparente complexe.
Chaque élément k « consomme » une puissance
*
apparente complexe Sk = U.Ik = Pk + j Qk
L’ensemble consomme lui une puissance totale
S = Z.I.I* = Z.I2 puisque I.I* = |I|2 soit encore
S = (R + j X).I2 = R.I2 + j XI2 = P + j Q
La loi des nœuds donne IT =
En identifiant les parties réelles et les parties
imaginaires nous aurons :
conjugué d’une somme est égal à la somme des
conjugués,
P = R.I
2
et
Q = XI
Chapitre 3
k =N
Page : 10
∑I
k
et comme le
k =1
k =N
k =N
k =N
k =1
k =1
k =1
ST = U ∑ I*k =
2
De même S = U (Y.U) * = U.Y*.U* le conjugué d’un
produit étant le produit des conjugués. Soit en
développant :
S = Y*. U.U* = Y*.U2
2
2
S = (G – j B).U = G.U - j B.U2 = P + j Q
M. GARNERO
ST = U.IT* = PT + j QT
∑ U I*k =
∑S
k
k =N
ST =
∑S
k
k =1
k =N
ST =
∑ (P + jQ ) = PT + j QT
k
k
k =1
GE11-3.doc
Notes personnelles
en identifiant parties les parties réelles et les parties
imaginaires il vient :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k =N
k =N
∑ Pk
PT =
QT =
k =1
∑Q
k
k =1
Les puissances actives, réactives et apparentes complexes
s’ajoutent entre elles (elles sont conservatives), mais pas
les puissances apparentes.
ST ≠
k =N
∑S
k
k =1
Le résultat aurait été identique si l’on avait supposé une
association en série. Il aurait fallu ajouter les tensions
pour obtenir la tension totale. En fait, la conservation des
puissances a pour origine la conservation de l’énergie, peu
importe le mode de câblage.
Cette propriété d’additivité des puissances P, Q et S
porte le nom de théorème de Boucherot.
Ce théorème est très utile pour calculer le courant
consommé par une installation. On dresse un tableau des
divers éléments qui la constitue et on fait un bilan.
En se servant des indications des plaques signalétiques, on
peut déterminer la consommation de puissance active et
de puissance réactive de chaque élément.
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Pk
Qk
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E1
E2
E3
P1
P2
P3
Q1
Q2
Q3
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PT = ΣPk
QT = ΣQk
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Après addition des P et des Q, on peut connaître ST par
ST =
PT + QT
que
fp =
2
IT = ST
U
puis calculer IT par
ainsi
PT
ST
(l’addition des puissances apparentes et des courants de
chaque élément ne donne pas le bon résultat puisque le
module d’une somme n’est pas la somme des modules).
4
.
Élément
Total
2
.
Adaptation d’impédance
Lorsqu’une source, de F.E.M. EG et de résistance interne
ZG est connectée à une charge ZL, la puissance utile,
cédée par la source à la charge s’écrit :
2
Pu = RL I2 = RL
Zg
EG
Z G +Z L
i
u
ZL
Charge
M. GARNERO
Chapitre 3
Page : 11
GE11-3.doc
Il est des cas où les puissances mises en jeu
sont très faibles et pour lesquels une
optimisation s’impose:
antenne → préamplificateur,
microphone → amplificateur,
capteur → conditionneur, etc.
L’étude des variations de Pu en fonction de ZL
fait apparaître que lorsque cette dernière tend
vers zéro ou vers l’infini, la puissance est nulle
(soit parce que u tend vers zéro, soit parce que i
tend vers zéro)
Pu
Pumax = E2g/4Rg
XL = -Xg
RL
RLopt = Rg
La courbe passe par un maximum qui correspond
à l’impédance de charge optimale.
PU sera d’autant plus grande que le courant sera
important. Il faut pour cela que |ZG + ZL| soit le
plus faible possible. Donc que :
|(RG + RL) + j (XG + XL)| soit minimal. Une
Plus le courant est élevé, plus la section des fils doit
être importante ou à section constante (donc à
résistance constante) plus les pertes par effet Joule
dans les fils seront importantes (pertes en ligne).
Pour une installation importante, on a donc intérêt à
avoir un facteur de puissance global le plus proche de
l’unité.
Cette remarque est d’autant plus justifiée que, pour
une installation industrielle, le prix de l’énergie n ‘est
pas le même suivant la valeur de fP. En effet, lorsque fp
< 0,98 EDF fait payer le kWh plus cher (ce qui est
compréhensible puisque les pertes en ligne sont à sa
charge).
Vu sous cet angle, fP est un indicateur économique
(ratio) permettant de juger le coût d’investissement.
Afin de ne pas être pénalisé sur le prix de l’énergie, les
industriels veillent donc à avoir un « bon » facteur de
puissance.
La plupart des éléments qui constituent une installation
électrique sont de nature inductive : Moteurs,
éclairage fluorescent, etc. Le courant total consommé
est donc généralement en retard sur la tension ce qui
conduit à un mauvais facteur de puissance. On peut
corriger simplement ce défaut en rajoutant une
batterie de condensateurs qui ne consomment pas
d’énergie, mais qui déphasent le courant en avance.
première étape consiste à réduire à zéro la
partie imaginaire ce qui est possible en donnant
à XL la valeur opposée à XG ainsi lorsque
i’T après relèvement
XL = - XG le module |ZG + ZL| se ramène à
RG + R L
|i’T | < |i’T |
Pour déterminer le maximum maximorum, il faut
annuler la dérivée de Pu par rapport à RL, c’est à
dire faire :
 (R +R )2*1− RL*2*(R +R )EG 2
L
G 
 L G

(Pu )'= 
=0
4
(R L +RG )
Ce maximum se produit lorsque RL = RLopt = RG
On dit qu’il y a adaptation d’impédance ou que la
charge est adaptée à la source lorsque :
XL = - XG
et
RL = RG
iT avant relèvement
induct.
capacit.
C
E1
induct.
E2
induct.
E3
La capacité devra être calculée pour compenser
exactement le déphasage. Si C était trop élevée, le
facteur de puissance deviendrait à nouveau mauvais.
Pour dimensionner ce condensateur, il suffit d’observer
le tableau précédent.
Si le condensateur fournit une puissance
réactive égale et opposée à la consommation
avant relèvement, le facteur de puissance
vaudra l’unité.
2
((Pu)max)max = EG
4RG
5 Relèvement du facteur de puissance
Dans ce cas
E2
E3
Total
C
Pour une consommation d’énergie donnée, donc
pour puissance active une donnée, plus le
facteur de puissance est faible, plus le courant
doit être élevé : IT =
M. GARNERO
Chapitre 3
PT
Ucosϕ
Q2
Q3
PT = ΣPk QT = ΣQk
- QT
0
Total’
Comme QC
Page : 12
P2
P3
= - Cω.U2
0
PT
C=
QT
2πf U 2
GE11-3.doc