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Université de Carthage
Ecole Supérieure de la Statistique et de l’Analyse de l’Information
Calcul de Probabilité
Notes de Cours
Kaoukeb Turki Moalla
Année Universitaire 2011-2012

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Table des matières
1 Variables Aléatoires Unidimensionnelles 3
1.1 Dé…nitions et Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Loi de Probabilité d’une Variable Aléatoire . . . . . . . 4
1.1.2 Fonction de Répartition d’une Variable Aléatoire . . . 7
1.2 Caractéristiques d’une Variable Aléatoire . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Espérance d’une Variable Aléatoire . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Variance d’une Variable Aléatoire . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Moments d’ordre Supérieur . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Les variables Aléatoires Usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Les Variables Aléatoires Discrètes . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Les variables Aléatoires Absoluments Continues . . . . 23
1.3.3 Approximations Usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Variables Aléatoires Vectorielles 29
2.1 Dé…nitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Lois d’un Vecteur Aléatoire : loi conjointe, lois marginales 30
2.1.2 Fonction de Répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Changements de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.4 Caractéristiques d’un Vecteur Aléatoire . . . . . . . . . 37
2.2 Indépendance ........................... 40
2.2.1 Propriétés Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Indépendance de Variables Aléatoires Scalaires . . . . . 44
2.2.3 Somme de Variables Aléatoires indépendantes . . . . . 45
2.3 Espérances et Lois Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Espérance Conditionnelle, Propriétés . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Lois Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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iv TABLE DES MATIÈRES
3 La Fonction Caractéristique 55
3.1 Dé…nitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Applications de la fonction caractéristique . . . . . . . . . . . 58
3.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 La fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 La fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . 63
4 Les Vecteurs Gaussiens 65
4.1 Dé…nitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Densité d’un Vecteur Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Exercices 71

Avant-propos
Ce polycopié est destiné aux étudiants de la première année de l’ESSAI.
Il couvre les di¤érents éléments de calcul de probabilité et introduit les outils
nécessaires à une étude asymptotique. Il est composé de quatre chapitres
enrichis d’une liste d’exercices assez variés couvrant di¤érents aspects des
concepts étudiés.
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