Université de Tours UFR Sciences et Techniques - LMPT

Université de Tours
UFR Sciences et Techniques Année 2009-2010
Master 1 de Mathématiques mardi 15 juin 2010
Épreuve de Probabilités 2 (durée : 3 heures)
Le seul document autorisé est le formulaire joint au sujet.
Tout matériel électronique est interdit.
Les trois exercices sont indépendants
Exercice I
Nous rappelons que par commodité d’écriture, nous écrivons les vecteurs de Rnsous
forme de vecteurs lignes mais quand ils interviennent dans des calculs matriciels, ce sont des
vecteurs colonnes.
1) Soit X= (X1, X2)un vecteur aléatoire de R2. Démontrer que les variables aléatoires
composantes Xi(1≤i≤2) sont indépendantes et de loi normale N(0, σ2)si et seulement
si la fonction caractéristique φXde Xest de la forme
φX(t) = exp(−1
2σ2(t2
1+t2 2)) t= (t1, t2)∈R2(∗).
2) On considère le vecteur aléatoire X0=AX transformé du vecteur aléatoire Xpar la
matrice
A= 1
√2
1
√2
−1
√2
1
√2!.
Démontrer que les composantes X0
1et X0 2du vecteur X0dans la base canonique de R2sont
des variables aléatoires indépendantes.
3) En déduire que les variables aléatoires X=X1+X2
2et Z= (X1−X)2+ (X2−X)2sont
indépendantes.
4) Calculer explicitement les lois des variables aléatoires Xet Zde la question 3).
Exercice II
Soient Xet Ydes variables aléatoires définies sur un espace probabilisé(Ω,F,P)et soit
A∈ F un événement.
On notera E(Y|X)l’espérance conditionnelle de Ysachant X(lorsqu’elle existe) et on notera
P(A|X) := E(1A|X).
I) Soit φ:R2→Rune fonction mesurable bornée. On considère des variables aléatoires Zet
Xindépendantes. Montrer que la variable aléatoire φ(Z, X)a une espérance conditionnelle
sachant Xdonnée par la formule :
E(φ(Z, X)|X) = f(X)p.s.,
où f(x) = E(φ(Z, x)), (x∈R) (indication : on pourra utiliser la propriété caractéristique de
l’espérance conditionnelle). Dans la suite de l’exercice, on admettra que la formule précédente
1

est encore vraie si φ:Rn×R→Ret Zest un vecteur aléatoire à valeurs dans Rnindépendant
de la variable aléatoire X.
II) Soient X, Z1, Z2, . . . , Zn, . . . des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans [0,1].
On suppose que la suite (Zn)n≥1est i.i.d. et de loi uniforme et pour tout entier n≥1, on
pose
Yn=1[Zn≤X].
1. Prouver que pour toute suite finie (u1, . . . , un)∈ {0,1}n, on a
P(Y1=u1, . . . , Yn=un|X) = Xs(1 −X)n−sp.s.
où s=u1+· · · un.
2. Démontrer que E(Yn|X) = P(Yn= 1|X)(n≥1).
3. On pose Sn=Y1+· · · +Yn. Pour tout n≥1trouver la valeur de E(Sn|X)et prouver
que E((Sn−nX)2|X) = nX(1 −X)p.s.
4. En déduire que limn→+∞
Sn
n=Xdans L2et en probabilité.
Exercice III
Soit (Nt)t≥0un processus de Poisson d’intensité λ > 0représentant les désintégrations ra-
dioactives enregistrées par un compteur Geiger, Ntétant le nombre de désintégrations qui se
produisent pendant le temps t. On suppose N0= 0. Pour t > 0, on note Ftla tribu engendrée
par les variables aléatoires (Ns)s≤t.
1) On pose Xt=Nt−λt. Pour tout t > 0et tout h > 0, calculer E(Nt+h−Nt|Ft)et en
déduire que
∀t > 0,∀h > 0,E(Xt+h|Ft) = Xt(p.s.)
(on dit que le processus (Xt)t≥0est une Ft-martingale à temps continu).
2) On suppose que le compteur Geiger a des ratés ; chaque atome qui se décompose n’est
enregistré par le compteur qu’avec la probabilité p(0< p < 1). Soit Ytle nombre de
désintégrations qui sont détectées par le compteur jusqu’au temps t. On peut modéliser ce
comportement de la façon suivante :
Soit (χn)n≥1une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre pet
indépendantes du processus (Nt)t≥0. La variable χnvaut 1si le nième atome qui se désintégre
est détecté et 0sinon. On écrira donc
Yt=1[Nt>0]
Nt
X
k=1
χk
1. Déterminer pour tout t≥0fixé, la loi de probabilité de Yt.
2. Déterminer la loi de probabilité du nombre de désintégrations non détectées Nt−Yt
pendant le temps t.
3. Démontrer que (Yt)t≥0est un processus de Poisson dont on précisera l’intensité.
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