Analyse Fonctionnelle - Institut de Mathématiques de Toulouse

Analyse Fonctionnelle
Vincent GUEDJ

R´esum´e
Ce texte rassemble des notes de cours et des exercices portant sur la premi`ere
moiti´e du module ”Analyse fonctionnelle” qui intervient au premier semestre
du Master de Math´ematiques fondamentales de l’Universit´e Paul Sabatier
(Toulouse, France), pour la maquette 2011-2016.
On y ´etudie en d´etail un certains nombres d’espaces fonctionnel classiques,
leurs diff´erentes topologies, sous-espaces remarquables, ainsi que leurs appli-
cations lin´eaires. On y d´emontre et utilise les th´eor`emes de Riesz, Arzela-
Ascoli, Weierstrass, Baire, Banach-Steinhaus, l’application ouverte, graphe
ferm´e, ainsi que la propri´et´e de Montel et ses cons´equences.
La seconde partie (analyse hilbertienne) fera l’objet d’autres notes.

Introduction
Un des objectifs de ce module est de m´elanger Topologie et Alg`ebre lin´eaire
–deux disciplines que vous avez jusqu’`a pr´esent consid´er´ees s´epar´ement– en
´etudiant les propri´et´es topologiques fines de certains espaces vectoriels de
dimension infinie.
Voici une liste non exhaustive de diff´erences importantes avec ce que vous
avez l’habitude d’utiliser en dimension finie :
– les normes ne sont pas toutes ´equivalentes ;
– les applications lin´eaires ne sont pas n´ecessairement continues ;
– les espaces vectoriels topologiques ne sont pas n´ecessairement complets ;
– les sous-espaces vectoriels ne sont pas n´ecessairement ferm´es ;
– les compacts ne sont pas n´ecessairement les ferm´es-born´es ;
– la continuit´e s´equentielle n’implique pas n´ecessairement la continuit´e ;
– etc 1.
Les notes qui suivent concernent les six premi`ere semaines de ce module
et constituent donc le menu de votre partiel. Elles sont r´eparties en trois
chapitres de longueurs in´egales. Le tempo approximatif est
– chapitre 1 : environ 3 semaines,
– chapitre 2 : environ 2 semaines,
– chapitre 3 : environ 1 semaine.
Comme vous le constaterez `a l’aide des quelques indications historiques,
il s’agit d’un sujet classique sur lequel il est difficile de faire preuve d’origi-
nalit´e. Nous indiquons dans les r´ef´erences quelques ouvrages dont nous nous
sommes librement inspir´es et qu’il est vivement recommand´e de consulter
pour approfondir votre compr´ehension.
Bonne lecture !
1. ` A vous de compl´eter cette liste au fil de votre lecture
1

Table des mati`eres
1 Espaces fonctionnels classiques 4
1.1 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Premi`eres d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Topologie associ´ee `a une famille de semi-normes. . . . 5
1.1.3 Famille d´enombrable de semi-normes. . . . . . . . . . 7
1.1.4 Espaces Ck(I, R) ..................... 8
1.2 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Cas des espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Formes lin´eaires, dual topologique . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Cas des semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Espacescomplets ......................... 14
1.3.1 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Exemples ......................... 15
1.3.3 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Compacit´e............................. 19
1.4.1 Ensembles born´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Un th´eor`eme de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Th´eor`eme d’Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Densit´e............................... 26
1.5.1 Sous-espaces de ℓp(R)................... 26
1.5.2 Th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.3 Convolution........................ 30
1.6 Exercices.............................. 30
1.6.1 Rappels de topologie de Licence . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Exercices d’entraˆınement . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.3 Grands classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Les th´eor`emes de Banach 36
2.1 LelemmedeBaire ........................ 36
2.1.1 Le grand th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Terminologie ....................... 38
2

2.1.3 Applications........................ 39
2.2 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Th´eor`eme de la borne uniforme . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Cons´equences ....................... 41
2.3 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Applications ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Leth´eor`eme........................ 43
2.3.3 Applications........................ 45
2.4 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Leth´eor`eme........................ 46
2.4.2 Applications........................ 47
2.5 Exercices.............................. 47
3 Espaces de fonctions holomorphes 51
3.1 Rappels sur les fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Fonctions D.S.E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Cauchy et Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Topologie sur O(Ω)........................ 54
3.2.1 Th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Propri´et´e de Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Espaces de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Topologie ......................... 56
3.3.2 Noyau de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Exercices.............................. 57
Bibliography 59
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