SIMULATION DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET

Ch.VI – Simulation des systèmes - p1
SIMULATION DES SYSTEMES
LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS
I – Réponse indicielle d'un système linaire continu invariant
1. Gain statique d'un système
1.1. Définition : pour un système linéaire continu invariant stable, sollicité par une entrée
constante d'amplitude A, on note que le signal de sortie s(∞), limite de s(t) pour t → ∞, est constant,
et on définit le gain statique K, par :
K=
s(∞ ) s(∞ )
=
e(∞ )
A
1.1. Détermination du gain statique
Soit H(p) la fonction de transfert du système. On se place
dans les conditions d'Heaviside.
L
e(t) = A →
E(p) =
Alors : S(p) = H(p)
E(p)
H(p)
Y(p)
A
p
A
,
p
Puis avec le théorème de la valeur finale, s(∞ ) = limp → 0 (pS(p)) = limp → 0 ( A H(p))
Enfin : K =
( A H(p))
s(∞ ) lim
p→0
=
= lim(H(p)) = H(0)
p→0
e(∞ )
A
Remarques : si H(p) a un pôle en 0, alors il s'agit d'un système intégrateur, la sortie obtenue pour
une entrée constante est donc une rampe, est s(∞) = ∞ ... le système n'est pas stable.
Conclusion : Nous verrons que l'augmentation du gain statique, peut améliorer certaines
performances du système (la précision), mais qu'à l'inverse il peut générer d'autres problèmes, le
dépassement, l'instabilité par exemple.
II – Réponse indicielle d'un système du premier ordre
1. Exemple du circuit RC
Reprenons le circuit RC étudié chapitres III et V.
# On a déterminé la fonction de transfert : H(p) =
U(p)
1
=
E(p) 1 + RCp
On trouve bien H(0) = 1 = K gain statique du circuit.
# On impose au système un échelon de tension e(t) = 1, pour t > 0. On cherche alors
l'expression temporelle de la sortie u(t), et ses caractéristiques.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p2
I
K
M
R
i(t)
e(t)
C
J
E(p) =
E(p)
L
H(p)
u(t)
U(p)
N
1
1
et U(p) = E(p) [H(p)] =
p.(1 + RCp)
p
Puis en décomposant cette fraction, U(p) =
1
p
1
p+
Et enfin par transformation inverse, u ( t ) = 1 − e
1
RC
−t
RC
On peut alors tracer la courbe de réponse indicielle du circuit RC, u(t) voir cas général ciaprès.
2. Cas général, premier ordre simple
E(p)
K, gain statique : K = H(0)
τ constante de temps du système.
# Soit la réponse à un échelon d'amplitude A : S(p) =
H(p) =
K
1+ τ p
S(p)
K
A
AK
× =
1 + τ p p p(1 + τ p)
# Etudions les limites en zéro et en l'infini :
s(0) = Lim t→0 (s(t)) = Lim t→∞ (p S (p)) = 0 valeur initiale nulle
s(∞) = Lim t→∞ (s(t)) = Lim t→0 (p S (p)) = AK valeur finale AK
# Etudions la fonction dérivée et ses limites en zéro et en l'infini :
S' (p) = PS(p) − s(0+ ) = p ×
AK
AK
=
p(1 + τ p) (1 + τ p)
valeur initiale nulle
s' (0) = lim(s' ( t )) = lim (pS' (p)) =
t →0
p→+∞
AK
τ
s' ( +∞) = lim (s' ( t )) = lim(pS' (p)) = 0
t →+∞
p→0
pente initiale non nulle
asymptote horizontale à l'infini
# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :
−
t
s(t ) = AK [1 − e ]
τ
Ch.VI – Simulation des systèmes - p3
Points particuliers : t = τ, s(τ) = 0,63 AK ; t = 3τ, s(3τ) = 0,95 AK
Conclusion :
On observe sur cette courbe temporelle :
La tangente à t = 0 coupe l'asymptote à l'infini pour t = τ.
D'autre part à t = τ on atteint soit 63% de la valeur finale.
Enfin on atteint 95% de la valeur finale pour t = 3τ. Ainsi Tr5% = 3τ.
Dans le paragraphe sur l'identification, et dans différentes applications, on verra qu'à partir d'une
réponse à un échelon expérimentale, on peut retrouver les caractéristiques du système (tr5%, τ...)
en utilisant les propriétés observées sur la courbe de réponse.
Remarques : pour un premier ordre généralisé, l'équation est s( t ) + τ
ds( t )
de( t )
= K [ e( t ) + τ'
].
dt
dt
On note alors la présence d'un zéro dans la fonction de transfert, et pour la réponse indicielle une
discontinuité de la position en t = 0+. Mais les caractéristiques générales de la réponse indicielle
d'un premier ordre sont conservées (il faut néanmoins procéder à un décalage d'origine en
ordonnée pour retrouver ces caractéristiques).
Ch.VI – Simulation des systèmes - p4
III - Réponse indicielle - Système du second ordre
1. Exemple : système mécanique
On reprend le système [masse – ressort – amortisseur] étudié dans le chapitre III.
Solide M de masse m, ressort de raideur k, amortisseur de coefficient de frottement visqueux f.
m
d2 y( t )
dy( t )
k
L
+f
+ ky( t ) = kx( t ) →
Y(p) =
X(p)
2
2
dt
dt
(mp + fp + k )
x(t)
Y(p)
H(p) =
=
X(p)
1
X
k
Entrée échelon d'amplitude A :
Y(p) =
Y
A
p(1 +
X0
f
m
1 + p + p2
k
k
y(t)
Y0
M
f
m
p + p2 )
k
k
f
2. Cas général, deuxième ordre simple
2.1. Expression symbolique de la réponse indicielle
L'équation différentielle d'un système du 2nd ordre s'écrit : s( t ) + a1
Fonction de transfert s'écrit : H(p) =
ds( t )
d2s( t )
+ a2
= Ke( t )
dt
dt 2
K
 p 
1 + 2ξ
+  
ω0  ω0 
p
2
En pratique, à partir de la fonction de transfert obtenue après modélisation, on identifie les
différents coefficients afin de déterminer les caractéristiques K, ξ et ω0.
La réponse indicielle d'amplitude A dans les conditions d'Heaviside est en symbolique :
S(p) =
AK
2

p  p  

p 1 + 2ξ
+ 

ω0  ω0  


Pour obtenir l'expression temporelle de la sortie, on décompose S(p) en éléments simples. Pour
cela une discussion suivant les différentes valeurs de ξ est nécessaire, en effet les racines de la
fonction de transfert dépendent de la valeur de ξ.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p5
2.2. Cas ξ > 1, régime apériodique
# Expression des pôles de la fonction de transfert
Le dénominateur de H(p) possède deux racines réelles, le système a donc deux pôles réels
distincts P1 et P2 :
P1 = − ξ ω0 + ω0 (ξ 2 − 1) et P2 = − ξ ω0 − ω0 (ξ 2 − 1)
Ainsi S(p) =
AK
p(1 + τ1p )(1 + τ 2p )
avec τ1 = −
1
P1
et τ 2 = −
1
P2
# Etudions les limites en zéro et en l'infini :
s(0) = Lim t→0 (s(t)) = Lim t→∞ (p S (p)) = 0 valeur initiale nulle
s(∞) = Lim t→∞ (s(t)) = Lim t→0 (p S (p)) = AK valeur finale AK
# Etudions la fonction dérivée et ses limites en zéro et en l'infini :
S' (p) = PS(p) − s(0+) = p ×
AK
AK
=
p(1 + τ1 p)(1 + τ2 p) (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)
valeur initiale nulle
s' (0) = lim(s' ( t )) = lim (pS' (p)) = 0
t →0
p→+∞
pente initiale nulle
s' ( +∞) = lim (s' ( t )) = lim(pS' (p)) = 0
t →+∞
p→0
asymptote horizontale à l'infini
# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :
Décomposition en éléments simples
S(p) =
1
τ 22 
AK
1  τ12


= A K +
−
p(1 + τ1p )(1 + τ 2p )
p
τ
−
τ
1
+
τ
p
1
+
τ
p
2
1
1
2



Expression temporelle de la réponse indicielle
s( t ) = A K +
−t
−t

A K 
τ1e τ1 − τ 2 e τ2 

τ 2 − τ1 

Conclusion : la réponse obtenue est apériodique, son allure assez proche de celle de la réponse
d'un système du premier ordre, diffère néanmoins par la tangente horizontale en zéro.
Principales caractéristiques :
- En t = 0 la pente est nulle, tangente horizontale ;
- Pas de dépassement ;
- Valeur finale A K, asymptote horizontale.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p6
Remarques :
Si une des deux constantes de temps est très supérieure à l'autre (τ1 << τ2), alors la réponse
indicielle peut s'assimiler à la réponse d'un système du premier ordre, ou d'un système du premier
ordre retardé de τ1.
Sur la courbe on peut alors déterminer la constante de temps dominante, et en déduire une valeur
approchée du temps de réponse.
2.3. Cas ξ = 1, régime critique
# Expression du pôle double de la fonction de transfert
ξ = 1 alors le dénominateur de H(p) possède deux racines réelles confondues, le système a un
pôle double réel P0.
P0 = ωm
S(p) =
et
K
p(1 + τ Op )
2
avec
τ0 = −
1
P0
# L'étude des limites de la fonction et de la fonction dérivée est identique à celle du cas ξ > 1.
# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :
Décomposition en éléments simples
S(p) =
K
p(1 + τ Op )
2
1

τ0
τ0
=K  −
−
2
 p (1 + τ Op ) (1 + τ Op ) 
Ch.VI – Simulation des systèmes - p7
Expression temporelle de la réponse indicielle (voir ci-dessus)
−t
−t


t
s( t ) = K1 − e τ − e τ 
τ


Conclusion : c'est un cas particulier du régime apériodique, la réponse a la même forme, mais on
remarque que le système est plus rapide. Physiquement l'amortissement correspond à des pertes
énergétiques, donc la diminution de ce facteur, entraîne une augmentation du rendement.
C'est la réponse la plus rapide sans dépassement de la valeur finale.
2.4. Cas ξ < 1, régime pseudo-périodique
# Expression des pôles de la fonction de transfert
ξ < 1 alors le dénominateur de H(p) possède deux racines complexes conjuguées, le système
admets deux pôles complexes.
P1 = − ξ ω0 + j ω0 (1 − ξ 2 )
et P2 = − ξ ω0 − j ω0 (1 − ξ 2 )
# L'étude des limites de la fonction et de la fonction dérivée est identique à celle du cas ξ > 1.
# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :
Décomposition en éléments simples
S(p) =
1

ξω 0
ξω 0 + p
A K ω02
A
K
=
−
−


p ω02 + 2ξω 0p + p 2
 p (p + ξω 0 )2 + (ω0 1 − ξ 2 )2 (p + ξω 0 )2 + (ω0 1 − ξ 2 )2 
(
)
Expression temporelle de la réponse indicielle
Après transformation inverse, et une opération mathématique (voir en annexe les tableaux
des transformées de Laplace) :


e − ξ ωmt
s(t ) = K1 +
sin(ωm (1 − ξ 2 ) t − ψ ) 


(1 − ξ 2 )


 (1 − ξ 2 ) 

 −ξ



avec ψ = arctg
Conclusion : la réponse obtenue est pseudo-périodique, avec dépassements. Le système est plus
nerveux, mais pas nécessairement plus rapide. Si le coefficient d'amortissement est trop faible, les
oscillations seront longues à amortir.
Principales caractéristiques :
- En t = 0 la pente est nulle, tangente horizontale ;
- Dépassements et oscillations amorties (oscillations non visibles si 0,7 ≤ ξ < 1) ;
- Valeur finale A K, asymptote horizontale.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p8
Remarque : la valeur ξ = 0,7 correspond à la réponse la plus rapide.
IV - Influence du bouclage
1. Bouclage d'un système du premier ordre
On se place dans le cas d'un système à retour unitaire.
E(p)
S(p)
+
-
E(p)
O(p)
Ko
F.T.B.O.(p) = O(p) =
1 + τ op
F(p) =
F(p)
U(p)
Ko
(1 + K o )
Ko
=
K o + (1 + τ op) 1 +
τo
(1 + K o )
p
Le bouclage ne change pas l'ordre du système.
Considérons les deux fonctions de transfert, en boucle ouverte puis en boucle fermée. On peut
facilement identifier la fonction de transfert en boucle fermée d'un système asservi linéaire du
premier ordre sous la forme :
Ko
τ
KF
F(p) =
KF =
τF = o
1 + τ Fp
1+ Ko
1+ K o
Ch.VI – Simulation des systèmes - p9
KF < Ko et KF < 1 ⇒ Le gain statique diminue avec le bouclage.
τF < τo
⇒ La constante de temps diminue avec le bouclage.
L'évolution s'effectue avec un rapport de (1 + Ko), appelé coefficient de rétro-action.
Réponse indicielle dans les conditions d'Heaviside :
Les deux fonctions de transfert étant identiques, les deux fonctions temporelles de sortie auront
-t
-t
τo
F
la même forme, so ( t ) = K o [1 − e ] en boucle ouverte, et sF ( t ) = K F [1 − eτ ] en boucle fermée. En
conclusion il n'y a pas de modification de la forme de la réponse indicielle, entre le système ouvert
ou bouclé.
On note de plus que s'o (0) =
Ko
τo
et sF' (0) =
KF
soit s'o (0) = sF' (0) , même pente à l'origine.
τF
Résultats obtenus pour un système à retour unitaire dans les conditions d'Heaviside.
2. Bouclage d'un système du deuxième ordre
Les deux fonctions de transfert s'écrivent de la manière suivante :
O(p) =
Ko
 p 
1 + 2ξo
+  
ωo  ωo 
p
ξF =
KF =
ξo
(1 + K o )
Ko
1+ K o
ωF = ωo (1 + K o )
2
et
F(p) =
KF
 p 
1 + 2ξ F
+  
ωF  ωF 
p
2
ξF diminue
→ Le système est plus nerveux, mais il y a risque
d'oscillations et de dépassement. Tr5% n'est pas forcément meilleur.
diminue
premier ordre.
KF
→ Même influence sur le gain statique que pour un
ωF augmente → Augmentation de la rapidité
V – Conclusion influence des différentes caractéristiques
# Influence du coefficient d'amortissement sur les réponses indicielles : le graphe ci-dessous
visualise l'ensemble des courbes obtenues pour K = 1 et ω = 10 rd/s, pour différentes valeurs de ξ.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p10
Si l'amortissement est trop important, le système devient excessivement lent, par contre si ξ est
trop faible, il y a dépassement et oscillations. Pour ξ = 1 ni dépassement ni oscillation.
# Influence de la pulsation des oscillations non amorties :
Les trois graphiques sont établis pour K = 1. Pulsation ω0 = 20 rd/s ; 10 rd/s ; 5 rd/s
Ch.VI – Simulation des systèmes - p11
Conclusion : influence du bouclage
On a déjà explicité les modifications engendrées par le bouclage : ξ ↓ ; KF ↓ ; ωF ↑.
# L'augmentation du gain sur un système, améliore la précision. Le système bouclé est donc
moins précis. Une correction possible sera une action proportionnelle. Mais l'augmentation du gain
comporte aussi des limitations technologiques (gain infini impossible). De plus, un fort gain
augmente les risques d'instabilité.
# La diminution du coefficient d'amortissement influe sur le temps de réponse, sur le
dépassement, et sur l'oscillation du système. Le temps de réponse minimum est obtenu pour un
coefficient d'amortissement de 0.7, on peut alors régler le coefficient en B.F. à cette valeur. Si on
admet un dépassement de 20% (maximum toléré), on pourra régler ce coefficient à la valeur de
0.43, augmentant alors la nervosité, sans nuire à la stabilité.
# L'augmentation de la pulsation, entraîne une augmentation de la rapidité du système.
VI - Importance des pôles et des zéros de la fonction de transfert
1. Influence d'un pôle sur la réponse d'un système
Im
Premier ordre :
H(p) =
1
K
→ un pôle réel P = −
1+ τ p
τ
Dans le plan complexe, plus le pôle est proche de l'axe des
imaginaires, plus son influence est grande : le temps de réponse
augmente, le régime transitoire est plus long.
τ
Re
Pôle P1
Deuxième ordre :
Deux pôles complexes conjugués ξ < 1 :
Im
Lieu des pôles,
pour ξ variable
P1
P1 = − ξωm + jωm (1 − ξ )
2
Re
P2 = − ξωm − jωm (1 − ξ 2 )
Plus les pôles se rapprochent de l'axe des imaginaires,
plus le régime transitoire est long.
P2
Deux pôles réels distincts ξ > 1 :
P1 = − ξωm + ωm (ξ 2 − 1)
P2 = − ξωm − ωm (ξ 2 − 1)
ξ=0
Pôle P1
Pôle P2
ξ=0
Im
Re
Ch.VI – Simulation des systèmes - p12
Lorsque ξ augmente, P1 se rapproche de l'axe des imaginaires, et P2 s'en éloigne. Le système se
rapproche d'un système du premier ordre, il y a un mode dominant. On trouve alors :
1 2ξ
6ξ
τ =− #
(équivalent pour ξ grand) soit un temps de réponse tr5% #
ωm
p1 ω m
Cette simplification est justifiée dès que ξ ≥ 1,5. On montre aussi que si τ1 > 8τ2 alors tr 5% = 3τ1.
2. Influence d'un zéro ou d'un pôle supplémentaire
H(p) =
Soit un système du deuxième ordre, de fonction de transfert
K
 p 
1 + 2ξ
+  
ω0  ω0 
p
2
On procède à une analyse en réponse indicielle, d'amplitude A. On considère successivement
l'ajout d'un zéro Z0, d'un pôle P3, et enfin des deux simultanément, pour visualiser leur influence
sur la réponse indicielle.
Premier cas : ajout d'un zéro
Système du deuxième ordre, avec deux pôles complexes conjugués, et un zéro supplémentaire.
Im
Pôle P1
s(t)
Avec Zo
AK
Zéro Z0
Sans Zo
Re
1/(τoωo²)
Pôle P2
t
Augmentation de la nervosité : augmentation des dépassements, et pente initiale non nulle.
Influence négligeable si Z0 est trop éloigné de l'axe des imaginaires ( τ 0 <
1
3ω0
)
Deuxième cas : ajout d'un zéro
Système du deuxième ordre, avec deux pôles réels, et un zéro supplémentaire.
s(t)
Pôles P1 et P2
Im
Avec Z0
AK
Sans Z0
Zéro Z0
Re
1/(τoωo²)
t
Augmentation de la nervosité : génération de dépassements si Z0 est situé entre l'origine et P1,
pente initiale non nulle, diminution éventuelle du temps de réponse tr5%.
Influence négligeable si Z0 est trop éloigné de l'axe des imaginaires ( τ 0 <
1
3ω0
²)
Ch.VI – Simulation des systèmes - p13
Troisième cas: ajout d'un pôle
système du deuxième ordre, avec deux pôles complexe conjugués, et un pôle supplémentaire
(nécessairement réel).
Pôle P1
Im
s(t)
Sans P3
AK
Pôle P3
Avec P3
Re
t
Pôle P2
Diminution de la nervosité : diminution des dépassements (suppression même si τ3 ≥
1
),
3ω0
augmentation éventuelle du temps de réponse tr5%.
Influence négligeable si P3 est trop éloigné de l'axe des imaginaires ( τ 3 <
1
3ω0
)
Influence simultanée d'un zéro et d'un pôle supplémentaire :
On montre facilement que si le zéro est plus influent (plus proche de l'axe des imaginaires), le
système sera plus nerveux, à l'inverse, si c'est le pôle le plus influent, le système sera moins
nerveux.
Influence d'un zéro et d'un pôle supplémentaire sur la réponse en vitesse :
On montre de façon similaire, que l'ajout d'un zéro diminue l'erreur de traînage, et qu'à l'inverse,
l'ajout d'un pôle augmente cette erreur.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p14
EXERCICES D'APPLICATION
Ex. 1 - Circuit RC
Soit le circuit RC suivant. On considère le condensateur déchargé à l'instant t = 0 et on note e(t) et
u(t), les tensions respectives d'entrée et de sortie.
I
K
M
R1
i(t)
R2
e(t)
u(t)
C
J
L
N
On se propose de mettre ce problème en équation et de déterminer ensuite sa fonction de
transfert. Enfin on souhaite connaître l'allure de sa réponse indicielle.
1. Déterminer la fonction de transfert de ce système électrique.
2. Tracer un diagramme fonctionnel, faisant apparaître le courant.
3. On donne R2 C = 1 ms et (R2 + R1) C = 5 ms. On applique un échelon de tension de 10 V
en entrée.
Déterminer les valeurs limites de u(t), sans déterminer la fonction temporelle.
Déterminer ensuite l'expression temporelle de u(t), et tracer l'allure de la réponse indicielle.
Ex. 2 - Circuit RLC
Soit un circuit RLC classique, on se propose de déterminer la fonction de transfert, et l'ordre de
ce sous-système.
I
I'
R
M
L
e(t)
J
u(t)
C
J'
N
1. Mettre en équations le système. Les équations qui régissent ce système sont bien sûr les
équations de l'électricité.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p15
2. A l'aide de la transformée de Laplace et des différents théorèmes déterminer la fonction de
transfert du circuit. Quel est l'ordre de ce système? Identifier la fonction de transfert avec la forme
suivante :
H(p) =
1 + 2ξ
K
p
ω0
+
p2
ω02
Préciser les expressions des trois données K, ξ et ω0.
3. Donner alors une représentation du schéma fonctionnel, en faisant apparaître en entrée la tension
E(p), et en sortie, à la fois la tension U(p) et le courant I(p).
4. On pose e(t) = 10 V pour t > 0. Déterminer l'expression de u(t) pour les valeurs de R, L et C
suivantes : R = 103 Ω ; L = 0,1 H ; et C1 = 1 µ F. Procéder en trouvant les racines (en numérique)
du dénominateur, puis en utilisant la transformée de Laplace inverse. Tracer alors la courbe de
réponse, déterminer graphiquement le temps de réponse à 5%.
Que se passe-t-il si C2 = 0,1 µF ? Retracer alors sur le même graphe, l'allure de la sortie, en
utilisant cette fois l'expression temporelle de la sortie donnée en cours.
Ex. 3 - MISE EN MOUVEMENT DE BACS
On se propose de déterminer les caractéristiques d'un mécanisme qui permet la mise en mouvement
de bacs, dans une chaîne automatisée. La configuration du dispositif est indiquée sur la figure cidessous ; le mécanisme est embarqué sur un chariot. Les grandeurs numériques sont en fin de sujet.
Le système comprend :
Un moteur électrique à courant continu ; Un réducteur de vitesse de rapport de réduction
β=1/6,25 ; Un système poulie courroie, le diamètre commun des poulies est Φ=44mm ; Un
poussoir solidaire de la courroie, en liaison glissière avec le chariot.
Le bac repose sur un tapis, il possède une masse m = 14 kg. Le contact entre le bac et le tapis
s'effectue avec un coefficient de frottement f1 = 0,3. Le système est asservi en vitesse à l'aide d'une
génératrice tachymétrique.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p16
1. Modélisation du moteur à courant continu
ke
E(p)
U(p)
Cr(p)
I(p)
1
R + Lp
1
f + JT p
kc
Ωm(p)
Déterminer à partir du schéma ci-dessus les expressions de F1(p) et F2(p), donnés par :
Ωm (p) = F1(p) U(p) + F2 (p) Cr(p)
2. Etude de la commande en vitesse
On étudie maintenant le schéma fonctionnel du système (voir annexe), où le bloc BM(p) représente
le bloc-moteur.
Cr(p)
CONS Ω(p)
UC(p)
U(p)
Kb
AD
MES Ω(p)
BM(p)
Ωm(p)
GT
# Justifier la nécessité du bloc d'adaptation AD.
# Transformer le schéma précédent en système à retour unitaire.
# Quelle doit être la fonction de transfert du bloc AD pour satisfaire la condition suivante : une
consigne en tour par minute permet d'obtenir une vitesse de rotation du moteur en tour par minute
de valeur sensiblement identique.
3. Etude de la fonction de transfert F1(p)
On considère maintenant pour les deux questions suivantes uniquement l'entrée de
commande du moteur. On se place dans le cas où l'entrée de perturbation Cr(p) est nulle.
# Déterminer l'expression littérale de O(p), fonction de transfert de la chaîne d'action définie par le
schéma ci-dessous (on néglige le frottement fluide f = 0) :
UC(p)
+-
O(p)
MesΩ
Ω(p)
# Donner son expression numérique sous forme canonique (pour Kb=1), puis les valeurs
numériques de ses grandeurs caractéristiques K, ξ, ω0.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p17
# Procéder de même pour F(p). Pour l'expression littérale de F(p), on utilisera O(p) sans
développer son expression. Donner les valeurs numériques des deux pôles P1 et P2 de F(p).
Toujours pour Kb = 1 pour les applications numériques.
F(p) =
MesΩ(p)
Uc(p)
4. Réponse indicielle
On simplifie le problème à partir des valeurs obtenues précédemment : le dénominateur de F(p)
peut se mettre sous la forme :
(1 + τ 1 p)(1 + τ 2 p)
Une des constantes de temps est nettement plus grande que l'autre, le système peut s'assimiler à un
premier ordre. Donner la valeur numérique de τ1.
On considère la réponse à un échelon de vitesse CONS(Ω) = 2000 tr.mn-1. Donner l'expression
littérale de la sortie obtenue Ω(p). Déterminer alors les principales caractéristiques de cette sortie,
sans revenir dans le domaine temporel.
5. Erreur statique
Pour une entrée d'échelon unitaire, exprimer ε(p) (signal en sortie du comparateur) en fonction de
O(p), puis déterminer l'erreur statique.
Caractéristiques du moteur et de la génératrice tachymétrique
Puissance P = 900 W ; Tension maximum U = 120 V ; Constante de couple KC = 0,24 N.m/A ;
Constante de F.C.E.M. Ke = 25,5 V/1000 tr.mn-1 ; Résistance d'induit R = 2 Ω ; Inductance
d'induit L = 0,5 mH ; Inertie de l'ensemble mobile, ramenée à l'arbre moteur JT = 2,68.10-4
m².kg ; Génératrice tachymétrique GT = 10 V/1000 tr.mn-1.
Ex. 4 – Ascenseur fluvial funiculaire de Strepy-Thieu
PRESENTATION
En vue de moderniser les voies d’eau
navigables d’Europe, il fut décidé en 1954 de
porter le gabarit du réseau d’intérêt international à
celui des péniches de 1350 tonnes. Les défis
technologiques à relever sont de taille, notamment
pour le franchissement des dénivelés.
Sur le canal du centre en Belgique, l'ascenseur
fluvial funiculaire de STREPY-THIEU permet de
franchir un dénivelé de 73,15 mètres. Il voit le
jour et fonctionne pour la première fois en 2001.
Ch.VI – Simulation des systèmes - p18
DESCRIPTION DU DISPOSITIF ETUDIE
On s’intéresse ici à une utilisation en
montée de cet ascenseur, assurée par la
fonction de service FS1 «Transborder
une péniche du canal aval au canal
amont».
Plus précisément on s'intéresse à la
commande des moteurs qui assurent le
levage du bac.
Niveau dans la canal
amont et aval
Energie
Péniche dans le
canal aval
Quantité d’eau
dans le bac
Autorisation
Transborder une
péniche du canal
aval au canal amont
A-0
Péniche dans le
canal amont
Quantité d’eau
dans le bac
Ascenseur fluvial
funiculaire.
Le cœur du système de levage se trouve dans la salle des machines. On y trouve, pour chaque bac :
- Quatre moteurs asynchrones, associés à un réducteur grande vitesse (RGV) et des treuils. La
fréquence de rotation des moteurs asynchrones en charge est voisine de Nmot = 985 tr.min-1.
- La vitesse des treuils est encore réduite, pour entraîner des tambours.
- Les tambours agissent sur des câbles liés d’un côté au bac, et de l’autre aux contrepoids.
La montée proprement dite comprend trois phases : accélération constante pendant 25s, Vitesse
constante (de 0,2 m.s-1), Décélération constante pendant 25s. Au cours de ces trois phases le couple
résistant qui agit sur l'ensemble en rotation est variable (créé par le poids des divers éléments,
notamment des câbles, du bac et des contrepoids). Dans cette partie, on ne s’intéressera qu’à la
commande du couple moteur.
MODELISATION DU MOTEUR
La modélisation et la commande des moteurs asynchrones qui créent le mouvement vertical du bac
étant très complexes, on travaillera sur un modèle de méga-moteur équivalent (hypothétique) à courant
continu, entraînant directement l’axe du tambour. On suppose que dans les différents régimes de
fonctionnement considérés (accélération, décélération, vitesse constante), le comportement linéarisé
du méga-moteur reste toujours décrit par les équations suivantes :
Ch.VI – Simulation des systèmes - p19
di( t )
dt
Equation de couplage tension-vitesse : em ( t ) = k e ω (t)
Equation électrique : u( t ) = k R i(t) + em ( t ) + k L
Equation de couplage couple-intensité : c mot ( t ) = k t i(t)
Avec les variables :
et les paramètres :
u(t) : tension d'alimentation du moteur
i(t) : intensité dans l'induit du moteur
em(t) : force électromotrice du bobinage
ω(t) : vitesse angulaire du rotor
cmot(t) : couple fourni par le moteur
kR : résistance d'induit
kL : inductance d'induit
kt : constante de couplage mécanique
ke : constante de couplage électromoteur
Pour les applications numériques : kR = 2,35 Ω , kE = 9,7 V/rad.s-1, kL = 0,8 H, kt = 46 N.m/A
Les données nominales du moteur sont les suivantes : Tension 1000 V ; Intensité 420 A ; Couple
moteur 19320 N.m ; fréquence de rotation 985 tr.min-1
1. Schéma fonctionnel
U(p)
Décrire le fonctionnement du moteur par un schémablocs de la forme ci-contre, en supposant les conditions
initiales nulles
Donner les expressions de la
transmittance T(p) (sous forme canonique) et du gain k.
Ω(p)
T(p)
kT(p)
Cmot(p)
+
COMMANDE DU MOTEUR
C*mot(p)
XC(p)
On appelle c*mot(t) la consigne de
+ couple moteur définie par le niveau
supérieur, et cmot(t) le couple moteur réel.
Celui-ci est mesuré par un capteur de gain
GC(p)
pur kc qui en donne une image xc(t). De
même, la vitesse de rotation ω(t) est
U(p)
mesurée par un capteur de vitesse de gain
+
pur kω. Les deux gains sont connus.
+
Le but de la commande mise en place
est d'asservir le moteur en couple
indépendamment de la vitesse de rotation.
La figure ci-contre présente le schéma de
régulation de couple moteur retenu qui
implémente1 une loi de commande définie
par GC (p) et Gω (p) . On cherche à
déterminer ces deux fonctions de transfert.
Implémenter : utiliser en tant qu'outil.
T(p)
+
-
Gω(p)
kω
kT(p)
Ω(p)
1
kC
Cmot(p)
Ch.VI – Simulation des systèmes - p20
2. Modélisation de la régulation de couple
2.1. Etablir deux schémas-blocs présentant une modélisation fonctionnelle d'un système bouclé
*
classique et montrer que le couple moteur peut s'écrire : Cmot (p) = HC (p) Cmot
(p) + Hω (p) Ω(p) . Donner
l’expression des fonctions de transfert HC (p) et Hω (p) en fonction de GC (p) et Gω (p) .
2.2. Montrer que l’on peut choisir Gω (p) de façon à annuler Hω (p) .
3. Commande proportionnelle et intégrale
Avec ce choix de Gω (p) , et en supposant le capteur de couple de gain unitaire (kc=1), on étudie les
performances d'une commande proportionnelle et intégrale GC (p) = A +
3.1. Mettre HC (p) sous forme canonique HC (p) =
B
.
p
K(1 + τ p)
et calculer les différentes constantes
1 + ap + bp 2
K, τ, a et b en fonction de A et B. Application numérique, avec les valeurs de kt, kR et kL.
3.2. Donner la valeur des coefficients A et B qui mettent HC (p) sous la forme HC (p) =
(1 + τ p)
.
(1 + 0,1 p)2
En déduire la valeur de τ .
4. Réponse indicielle – Performance : précision
4.1. On procède à une réponse indicielle unitaire : donner l'expression littérale du couple obtenu,
procéder aux applications numériques.
4.2. Sans revenir en temporel, évaluer les limites de Cm(t) et de la fonction dérivée
dCm( t )
. En
dt
déduire l'allure de la réponse indicielle.
4.3. Calculer l’erreur statique sur le couple moteur résultant de ce choix. Expliquer pourquoi on
s’intéresse en fait à l’erreur de traînage, et la calculer.