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Université de Bejaia
Faculté de technologie
Département de génie électrique
Nom : BENMEZIANE
Prénom : Yanis
Groupe : ELM 1
Année Universitaire : 2019/2020
TP N°1 : Simulation dans l’espace d’état des systèmes linéaires.
I.1) introduction: Dans ce type on va faire la modélisation des systèmes électromécaniques
comme les machines à courant continu en utilisant Matlab grâce à Simulink qui est une plateforme de simulation multi domaines et de modélisation de systèmes dynamique.
I.2) PREPARATION:
Les équations fondamentales régissant le fonctionnement du MCC sont :
I.3) Schéma fonctionnel d’un MCC :
Résultats de Simulation :
Commentaire :
Avant t= 0.1s le système est rapide est stable, et après la réponse indicielle il diminue à
Cause de la perturbation qu’on a imposée.
I1.4) Représentation dans l’espace d’état:
Résultats de Simulation :
Commentaire :
Avant t= 0.1s le système est rapide est stable, et après la réponse indicielle il diminue à
Cause de la perturbation qu’on a imposée.
2eme forme : Représenter le MCC sous forme :
Résultats de Simulation :
Commentaire :
Le système diminue rapidement ensuite il se stabilise.
I1.5) Représentation par la fonction transfert :
A partir des équations fondamentales régissant le fonctionnement du MCC on obtient les
fonctions de transfert :
Résultats de Simulation :
Commentaire :
Avant t= 0.1s le système est rapide est stable, et après la réponse indicielle diminue à cause de la
perturbation qu’on a imposé.
I.6 CONCLUSION
D’après les résultats de nos simulations, on peut dire que les trois méthodes qu’on a utilisées donnent
des résultats identiques donc pour simuler le comportement d’une machine à courant continu, on peut
le faire soit en réalisant son schéma fonctionnel ou soit par sa représentation d’état (1ere ou 2eme
forme).
TP N02 : commande dans l’espace d’état par placement de pôles
II.1) introduction :
Ce TP a pour objectif d’illustrer les concepts de commande par retour d’état de systèmes linéaires
mono-variables. Les principes et propriétés d’une commande par retour d’état sont étudiés en
simulation dans l’environnement logiciel MATLAB/SIMULINK. Les pôles de la fonction de transfert
étant les valeurs propres de la matrice d’état, le but donc est de réaliser un asservissement
modifiant convenablement la matrice d’évolution du système.
II.2) MANIPULATION :
On considère les équations d’état d’un MCC ci-dessous.
di ( t )
dt
d
dt
  RL i(t )  KeL   L1 u

Ke
J
i  Jf   1J Cr
 le vecteur d’état : x(t)=(x1 x2) avec x1(t)=i(t) et x2(t)=  (t)
 l’entrée u(t)
 la sortie y(t)=x2(t)=  (t)
On établit le modèle d’état d’un MCC sous la forme :
.
x(t )  Ax(t )  B1u (t )  B2Cr (t )
y (t )  Cx(t )
Avec :
 LR LK 
A   Ke  f 
 J J 
1
B1   L 
0 
0 
B2   1 
J
C  10
Dans Matlab M-file :
 on a introduit les paramètres du MCC dans un programme M-file
 on à générer les matrices A, B 1, B2, B, C et C 1
 commandabilité :
-on a calculé la matrice de commandabilité notée Mc,
-on a déterminé le rang de la matrice Mc,
-déduction si le système est commandable ou pas :
Pour utiliser une commande par retour d'état, il est nécessaire que le système soit commandable.
Une condition nécessaire et suffisante pour la commandabilite du système est
Que la matrice de commandabilité soit de rang plein.
II.3.1) commande par retour d’état par placement de pôles :
Le schéma fonctionnel de la commande par retour d’état
Paramètres de simulation :
La référence :
signal carré
Le temps de simulation 10s
Fréquence 0.25
La perturbation Cr=0
Amplitude 12
Pour différentes paires pôles (P 1 P2) :
 on a calculé les gains K 1 et K2 (la fonction place)
 on a simulé la réponse indicielle
 on a visualisé l’allure de la vitesse ainsi que le courant d’induit
 les résultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant :
Tableau 1 :
P1
P2
K1
K2
Le temps Le
L’erreur
de
premier
de
réponse
pic
vitesse
vitesse
1)
-6
-7
-0.3750
0.7050
1.46
0.66
2.2
2)
-7
-7.01
-0.3649
0.8363
1.3
0.97
0.2
3)
-8
-8.01
-0.3449
1.1165
1.12
0
-3.6
4)
-2+2i
-2-2i
-0.4650
0.1150
1.5
0.57
68
5)
-5+5i
-5-5i
-0.4050
0.8950
1.7
0.5
0
6)
-7+7i
-7-7i
-0.3650
1.8150
1.05
0
-6
Exemple :
Pour le 5éme pair de pôles (P 1=-5+5i
P2=-5-5i)
La fonction place
Les gains K 1 et K2
La réponse indicielle
L’allure de la vitesse ainsi que le courant d’induit
II.3.2) commande par retour d’état et action intégrale:
Dans le but d’améliorer les performances dynamiques (annuler l’erreur au régime permanent et le
rejet de perturbation), on insère une action intégrale comme le montre le schéma
Pour différentes de pôles (P 1 P2 P3):




on a calculé les gains K 1, K2 et Kr (la fonction place)
on a simulé la réponse indicielle
on à visualiser l’allure de la vitesse et de ca référence ainsi que le courant d’induit
les résultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant :
les pôles
1)
2)
3)
4)
P1
-1
-10
-40
-500
P2
-2
-11
-41
-501
P3
-3
-12
-42
-502
K1
-0.4450
-0.1750
0.7250
0.0015
K2
0.1550
6.9050
99.6050
1.5045
Kr
0.1200
26.4000
1.3776e+003
2.5150e+006
Les pôles
1)
2)
3)
4)
Le temps de
réponse
1.2
0.4
0.04
Le premier pic
vitesse
0
0
0
Exemple:
Pour le 4éme pôles (P 1=-500
P2=-501
P3=-502)
Les gains K 1, K2, et Kr
L’erreur de
vitesse
0
0
0
La réponse indicielle
II.4) Conclusion :
La méthode de placement de pôles consiste à calculer le gain de retour K de manière a placer les
pôles (les valeurs propres) de la matrice A-BK à une valeur précise. Les valeurs choisies sont
évidemment stables, et sont souvent tirées des performances souhaitées sur le système corrige. Il
faut par contre veiller à ce que la valeur de K ne soit pas aberrante. La fonction place de Matlab
permet d'effectuer un placement de pôles direct.
Lorsqu'on effectue une commande par retour d'état, l'erreur statique n'est pas forcement nulle.
Ceci n'est généralement pas gênant dans la mesure où l'objectif poursuivi est une régulation.
Néanmoins, dans le cas où l'objectif consiste à suivre une trajectoire, on peut alors procéder de la
même manière que pour les systèmes asservis classiques en insérant un intégrateur dans la
chaine directe.
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