CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES

Dérivation des fonctions composées Cours
© Gérard Hirsch – Maths54 1
CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS
COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES
1. DERIVATION d’une FONCTION COMPOSEE
1.1. Dérivée d’une fonction composée
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur
()
f
I.
La fonction composée gfo est dérivable sur I et
00 ,( )'( )
x
Igf x∀∈ o
[
]
00
'() '()gfx fx=
La démonstration de ce théorème est admise
Formulation différentielle de ce résultat :
Posons ()yfx=et () ( )()zgy gfx
=
=o
On a alors :
00
'( ) ( )
dy
f
xx
dx
= 00 '( ) ( )
dz
gy y
dy
= puis 00 ()'()()
dz
gf x x
dx
ο=
La propriété précédente s’écrit donc : 0
()
dz
x
dx 0
()
dz y
dy
=0
()
dy
x
dx
ce qui donne par abus de notation dz
dx
dz
dy
=dy
dx
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 43 :coscos2cos3hx x x x
+
−+a ainsi que
sa fonction dérivée

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La fonction h est définie sur D=R
La fonction h peut s’écrire gf
o avec : cos
f
xxa et 43 :23gy y y y
+
−+a
Ces deux dernières fonctions sont dérivables sur R, par conséquent h aussi.
Puisque '( ) sin
f
xx=− et 32
'( ) 4 3 2gy y y=+−
Alors 32
' '( ) (4 cos 3cos 2)( sin )
x
Dhxxxx∀∈ = = + − −R
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 2 :23hx x x
+
−a ainsi que sa fonction
dérivée
La fonction h est définie sur
[
[
1,D=+∞
(ou sur
]
]
,3D
=
−∞ − )
La fonction h peut s’écrire gfο avec 2
:23
f
xx x
+
−a et :gy ya
La fonction f étant un polynôme est dérivable sur R tout entier et '( ) 2 2fx x=+
la fonction g n’est dérivable que sur
]
[
0,
+
∞ et 1
'( ) 2 gy y =
La fonction h n’est dérivable que sur
]
[
'1,D
=
+∞ (ou sur
]
[
',3D
=
−∞ − )
et
][] [
2
1
'1, ( ,3) '()
23
x
xD ou hx
xx
+
∀∈ = +∞ −∞− =
+
−
Vérifions que h n’est pas dérivable en 1 puisque
22
00 0
(1 ) 2(1 ) 3
(1 ) (1) 4
lim lim lim
xx x
xx
hxh x x
xxx
→→ →
+++−
+− +
== 0
4
lim
x
x
x
→
+
=
=+∞
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 1
:coshx
x
a ainsi que sa fonction dérivée
La fonction h est définie sur D∗
=R
La fonction h peut s’écrire gfο avec 1
:fx
x
a et :cosgy ya
La fonction f est dérivable sur ∗
R et 2
1
'( )fx
x
=
−
la fonction g est dérivable sur R et '( ) singy y
=
−

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La fonction h est dérivable sur ∗ R et 2
11
''()sinxD hx
x
x
∗
∀∈ = =R
2. Résultats classiques pour une autre utilisation du
théorème de dérivation des fonctions composées
On montre facilement que
• la fonction sin( )
x
ax b+a est dérivable sur R, de fonction dérivée :
cos( )
x
aaxb+a
• la fonction cos( )
x
ax b+aest dérivable sur R, de fonction dérivée :
sin( )
x
aaxb−+a
• Soit n un entier strictement supérieur à 1, et f une application d’un intervalle I dans
R, dérivable sur I, la fonction n
f
est dérivable sur I, de fonction dérivée :
1
(())'()
n
x
nf x f x
−
a
• Soit n un entier strictement supérieur à 1, et f une application d’un intervalle I dans
R, dérivable sur I et telle que f ne s’annule pas sur I, la fonction 1
n
f
est dérivable sur
I, de fonction dérivée :
'
1
()
()
n
f
x
xn
f
x
+
−a
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 22
1
:(2 3 5) hx xx
++
a ainsi que sa fonction
dérivée
D’après le signe du trinôme du second degré 2
2350xxx
∀
∈++>R et la fonction h est
définie sur D=R
et 23
2(4 3)
''()
(2 3 5)
x
xD D hx xx
+
∀∈ = = =− ++ R

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• Soit f une application d’un intervalle I dans
+
R, dérivable sur I, la fonction
f
est
dérivable en tout point x de I tel que ( ) 0fx>, de fonction dérivée '( )
:2()
f
x
x
f
x
a
3. Nouvelle utilisation du théorème de dérivation des
fonctions composées :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J, et g
une fonction définie sur l’intervalle J
Si f et g ont le même sens de variation, l’une sur I et l’autre sur J, alors la fonction composée
gfo est croissante sur I
Si f et g ont des sens de variation contraires, l’une sur I et l’autre sur J, alors la fonction
composée gfo est décroissante sur I
4. DERIVEES SUCCESSIVES.
Soit I un intervalle de R.
On suppose que les fonctions f et f’ sont dérivables sur I. Si la fonction f’ admet une fonction
dérivée, celle ci est appelée dérivée seconde de f et est notée " ( ') '
f
f
=
La fonction '
f
est appelée dérivée première pour éviter toute confusion.
On définit par récurrence la fonction dérivée ième
n ou d’ordre n de f, et est notée ()n
f
et () ( 1)
()'
nn
nff
−
∀∈ =N avec les conventions (0)
f
f
=
et (1) '
f
f
=
Remarque
On écrira symboliquement
df
dx au lieu de '
f
,
2
2
df
dx au lieu de "
f
et
n
n
df
dx au lieu de ()n
f
Si pour tout entier naturel non nul, la fonction f est n fois dérivable, on dit que la fonction f est
indéfiniment dérivable

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Les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables sur R
Par récurrence, on montre que
()
(sin ) sin( )
2
nn
xx
π
=+
()
(cos ) cos( )
2
nn
xx
π
=+
!()
()!
,()!
0
kn
n
k
n
k
x
asikn
kn
d
Soit a x x a k si k n
dx si k n
−
−>
−
∈∀∈ −= =
<
RR
{}
1
1(1)!
,()
nn
nn
dn
Soit a x a dx x a x a
+
−
∈∀∈− =
−−
RR
Exemple
Dérivée d’un polynôme
Soit un polynôme de degré n défini par 1
110
( ) ...... 0
nn
nn n
P x a x a x a x a avec a
−
−
=
++++ ≠
alors 12
11
'( ) ( 1) ......
nn
nn
Px nax n a x a
−−
−
=+− ++ et () () (!)
n
n
Px na= puis (1) () 0
n
Px
+=
Toute fonction polynomiale de degré n est indéfiniment dérivable sur R et la dérivée
(1)
ème
n+ est la fonction identiquement nulle.
Exemple
Soit f la fonction définie par 2
() 1
f
xx x=+ +
1° Déterminer sa fonction dérivée première et vérifier la relation : 2
1 '() ()
x
fx fx+=
2° En déduire que la fonction dérivée seconde vérifie la relation :
2
(1 ) "( ) '( ) ( ) 0xfxxfx fx++−=
1° ( )
f
x est définie x
∀
∈R, et en dérivant on obtient
2
22
1
'( ) 1
11
x
xx
fx
x
x
++
=+ =
++
(ou
encore produit des extrêmes égal au produit des moyens)
2
1 '() ()
x
xfx fx∀∈ + =R