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ème
Cours : puissances
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I Puissances d'exposant entier positif
Définition
Soit a un nombre non nul et n un entier positif :
On note " a exposant n" le nombre noté a
n
égal à : a
n
= a × a × a × ……. × a
n fois
n s'appelle l' exposant.
Exemples : 6
3
= 6 × 6 × 6 = 216
(-2)
4
= (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16.
2
3
2
= 2
3×2 3 = 4 9
Cas particuliers Exemples
n = 1 : a
1
= a 19
1
= 19
n = 2 : a² se lit aussi « a au carré » 3² = 3×3 = 9
n = 3 : a
3
si lit aussi « a au cube » (-2)
3
= (-2)×(-2)×(-2) = 8
Remarque :
Il est utile de connaître les carrés des premiers nombres entiers.
1² = 1 4² = 16 7² = 49 10² = 100 13² = 169
2² = 4 5² = 25 8² = 64 11² = 121 14² = 196
3² = 9 6² = 36 9² = 81 12² = 144 15² = 225
Convention :
Pour a ≠ 0, on vient que a
0
= 1.
Exemple : (-7)
0
= 1
Attention
• Il ne faut pas confondre 5
3
= 5×5×5 = 125 et 5×3 = 15 ; donc 5
3
≠ 5×3
• Attention au rôle des parenthèses !
(-4)² = (-4)×(-4) = 16 et -4² = -(4×4) = -16 ; donc (-4)² ≠ -4²
Puissance et calculatrice
Les puissances de nombres peuvent se calculer à la machine ; il suffit d'utiliser la touche
ou
x
y
^

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II Puissances d'exposant entier négatif
Définition
a désigne un nombre relatif non nul.
n désigne un entier non nul.
a
-n
désigne l’inverse de a
n
.
a
-n
= 1
a
n
.
Exemples :
• 3
-2
est l’inverse de 3².
Donc 3
-2
= 1
3² = 1 3×3 = 1 9
• (-2)
-3
= 1
(-2)
-3
= 1
(-2)×(-2)×(-2) = - 1 8
Cas particulier
Pour a ≠ 0, a
-1
est l’inverse de a ; donc a
-1
= 1
a.
Exemple : 3
-1
est l’inverse de 3 ; donc 3
-1
= 1
3

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III Calculer avec des puissances
a) Exemples de calcul
Calcul littéral
Exemple numérique
a désigne un nombre relatif
a
2
×a
3
= a × a × a × a × a = a
5
2 facteurs 3 facteurs
5 facteurs égaux à a
5²
×
5
3
= 5
×
5
×
5
×
5
×
5 = 5
5
a désigne un nombre
relatif
non nul
a
2
a
5
= a×a
a×a×a×a×a = 1 a×a×a = 1 a
3
= a
-3
(
-
2
)
²
(-2)
5
=
(
-
2
)
×
(
-
2
)
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) =
1
(-2)
3
= (-2)
-3
b) Règle de priorité
Pour calculer une expression sans parenthèses, on calcule d’abord les puissances.
Exemples
A = 7- 5×4² B = 2×[7 :10² - (-2)
3
]
A = 7 - 5×16 B = 2×[7 :100 – (-8)]
A = 7 – 80 B = 2×(0,07 + 8)
A = -73 B = 2×8,07
B = 16,14