France métropolitaine 2016. Enseignement spécifique

France métro p olitaine 2016 . Enseigneme nt sp é cifique
EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Partie A
Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x)=x−ln !x2+1
".
1) Résoudre dans Rl’équation : f(x)=x.
2) Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction fen +∞que
l’on admet.
x−∞ 1+∞
f′(x)+0+
−∞
+∞
f(x)
3) Montrer que, pour tout réel xappartenant à [0 ; 1],f(x)appartient à [0 ; 1].
4) On considère l’algorithme suivant :
Variables Net Ades entiers naturels
Entrée Saisir la valeur de A
Traitement Nprend la valeur 0
Tant que N−ln !N2+1
"<A
Nprend la valeur N+1
Fin tant que
Sortie Afficher N
a) Que fait cet algorithme ?
b) Déterminer la valeur Nfournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour Aest 100.
Partie B
Soit (un)la suite définie par u0=1et, pour tout entier naturel n,un+1 =un−ln !u2
n+1
".
1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,unappartient à [0 ; 1].
2) Étudier les variations de la suite (un).
3) Montrer que la suite (un)est convergente.
4) On note ℓsa limite, et on admet que ℓvérifie l’égalité f(ℓ)=ℓ.
En déduire la valeur de ℓ.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

France métro p oli tai ne 20 16. En sei gnement s p écifique
EXERCICE 3 : corrigé
Partie A
1) Soit xun réel.
f(x)=x⇔x−ln !x2+1
"=x⇔ln !x2+1 "=0⇔x2+1=1⇔x2=0⇔x=0.
L’équation f(x)=xadmet sur Rune solution et une seule à savoir 0.
2) Dérivée et variations. Pour tout réel x,x2+1>0et donc la fonction fest dérivable sur R.Deplus,pourx
réel,
f′(x)=1−2x
x2+1 =x2−2x+1 x2+1 =(x−1)2 x2+1 .
La fonction f′est strictement positive sur R\{1}(et s’annule en 1). Donc
la fonction fest strictement croissante sur R.
Limite en −∞.lim
x→−∞ ln !x2+1
"= lim
X→+∞ln(X)=+∞et donc lim
x→−∞ −ln !x2+1
"=−∞.D’autrepart, lim
x→−∞ x=
−∞ et en additionnant, on obtient
lim
x→−∞ f(x)=−∞.
3) Soit xun réel de [0,1].Puisquelafonctionfest croissante sur [0,1],si0!x!1,alorsf(0) !f(x)!f(1) avec
f(0) = 0 (d’après la question 1)) et f(1) = 1 −ln 2 = 0,3....Enparticulier,six∈[0,1],alorsf(x)∈[0,1].
4) a) Aétant un réel donné, l’algorithme affiche la plus petite valeurdel’entierNpour laquelle on a f(N)"A.
b) D’après le tableau de variations de f,lasuite!N−ln !N2+1
""N∈Nest strictement croissante.
La calculatrice fournit f(109) = 99,6... et f(110) = 100,5... L’algorithme affiche donc 110.
Partie B
1) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n,un∈[0,1].
•u0=1et donc la propriété est vraie quand n=0.
•Soit n"0.Supposonsqueun∈[0,1].Alors,f(un)∈[0,1] d’après la question 3 de la partie A ou encore
un+1 ∈[0,1].
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n,un∈[0,1].
2) Soit nun entier naturel. un+1 −un=−ln !u2
n+1
".Or,u2
n+1>1puis ln !u2 n+1
">0et donc un+1 −un<0.
On a montré que pour tout entier naturel n,un+1 <u
net donc
la suite (un)n∈Nest strictement décroissante.
3) La suite (un)n∈Nest décroissante et minorée par 0.Donc,lasuite(un)n∈Nconverge vers un certain réel ℓpositif
ou nul.
4) D’après la question 1) de la partie A, l’équation f(x)=xadmet une solution et une seule à savoir 0.Donc,
ℓ=0.
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