CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE
1998
Mathématiques
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3.
A
quelle condition doit satisfaire le nombre
c
2
O
pour qu'il existe une valeur de
h
pour laquelle
(EL)
I
admette une solution
y
appartenant
à
T,(I)
?
Cette condition étant supposée remplie, montrer que la valeur de
h
est unique
;
on
la
désignera par
h(c).
Vérifier
alors que la seule solution de
(Eicc))
qui appartienne
à
r,(I)
est
I
PARTIE
IV
Les notations étant celles de la partie
II,
on
s'intéresse désormais
à
I'étude des minima locaux stricts de l'application
:
F:Y
-+
F(Y)
=
'f(x,Yt(x)) dx
I
I
de
rc
(1)
dans
W,
dans le cas particulier
où
la fonction
f
est définie sur
A
=
Z
x
W
par
f(x,r)
=
a(xd1
+t2
,
a
Btant
la fonction introduite au
III.
1.
Etudier, pour tout triplet
(x,r,s)
de
Ax
R
le
signe de
:
@(X,f,S)
=
f(.Y,f
+
s)
-
f(x,r)-
S-(XJ)
af
.
at
2.
Montrer que si la fonction
y
Er:([)
correspond
à
un
minimum local strict parmi
les
fonctions de
rhz)
de
l'application
F,
elle est nécessairement égale
à
la
fonction
y~(~,
définie dans
la
partie
III.
3.
Réciproquement. on
se
propose de montrer que cette fonction
r
=
yk(c)
correspond non seulement
B
un
minimum local strict de
F,
mais au minimum strict absolu. Déduire ce résultat de I'étude du signe de l'intégrale
:
I
j$(.v,
~'(.v),u'(.r))
dx
oh
4
est la fonction définie
à
la question
IV.1
et
u
E
r'(
1).
4.
Ce qui suit est une application au cas particulier
où
V
.I
E
1
a(x)
=
1
+
X.
Déterminer
L
défini
au
III.
1.
Vérifier que,
V
h
E
L,
V
x
E
1
:
I+X+J-
T~(.Y)
=
h
Ln
I+J-S
5.
Dans le
cas
où
l
=
1
.
pour quelles fonctions
v(x,y)
sait-on montrer, en utilisant la partie
IV,
qu'il existe
un
arc joignant le point origine
O
et le point particulier
A
de coordonnées
(1.c)
pour lequel
le
temps de parcours est
minimum
'?
Cet arc est-il unique
'?
Fin
de
I'CnoncC