170
CONCOURS COMMUN
POLYTECHNIQUE
1998
Mathématiques
1
1/4
SESSION
1998
CONCOURS COMMUNS POLYlECHNlQUES
MATH~MATIQUES
I
DUR&
:
4
heures
EPREUVE SP6CIFIQUE-FILIERE MP
Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées,
sous
réserve des conditions définies
dans
la
circulaire no
86-228
du
28
juillet
1986.
Le
problème étudie la minimisation d'une fonctionnelle sur un espace de fonctions vérifiant
y(0)
=
O
et
y(
1)
=
c
.
La
première partie consiste
à
démontrer un lemme qui sera utilisé dans la deuxième partie.
Les
troisième et quatrième
parties traitent de cas particuliers.
Dans
un
plan rapporté
21
un
repère orthonormé d'axes
Ox,
Oy,
le déplacement d'un point mobile
M
est soumis
h
la
contrainte suivante
:
lorsque le point occupe la position
(x,y)
,
sa vitesse algébrique a pour valeur imposCe
v(x,y)
,
v
est une fonction donnée des
2
variables réelles
x
et
y.
Le temps mis par
M
pour parcourir
un
arc
l-
de classe
C'
,
d'origine
O,
d'extrémité
A
de coordonnées
(e,
c)
et déquation
y
=
q(x)
a donc pour valeur
:
PARTIE
1
1
désigne l'intervalle
[OJ]
et
C'
(1)
l'espace vectoriel sur
R
des applications de
1
dans
W
de classe
C'
sur
1,
muni de
la norme de la convergence uniforme sur
1.
1.
Montrer que l'ensemble
T'(1)
des fonctions
u
E
C'(1)
telles que
u(0)
=
u(1)
=
O
est un sous espace
vectoriel de
C'(1)
fermé (c'est
à
dire tel que la limite
f,
de toute suite
f,
,
d'C1Cments de
r'(l),
convergente dans
c'(I),
appartientà
rl(i)).
CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE
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Mathématiques
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171
2.
Soient
a
et
b
deux nombres réels tels que
O
2
a
I
b
I
1
et
h
la fonction définie
sur
1
par
:
vx
E
[O,
a[
h(x)
=
O
Vx
E
[a,
b]
h(x)
=
(x
-
aP
(b
-
x)z
VXE
IbJ]
h(x)=
O
3.
Dans ce qui suit,
g
désigne une fonction réelle définie et continue
sur
1.
Montrer que l'application
G
de
T'(1)
dans
R
définie par
:
I
G:u
-+
G(u)
=
Jpu(x)dr
est linéaire et continue
sur
P(t)
.
4.
Montrer que, s'il existe
xo
E
1
tel que la fonction
g
vérifie l'inégalité
g(xo)
>
O,
il
existe
un
intervalle
[a,b]
avec
a
<
b
inclus dans
1
et
un
nombre
a
>
O
tels que l'on ait
:
VXE
[a,b]
g(x12a
En déduire alors que, pour que l'on ait
G(u)
=
O
Vu
E
r'
(1)
,
il faut et il suffit que
g
soit la fonction nulle.
5.
G,
est la forme linéaire
sur
r
'
(1)
définie par
:
Soit
g
E
C'(1)
,
montrer que
G,
(u)
=O
Vu
E
r'(l)
si
et seulement
si
g
est constante
sur
1.
6.
On suppose dans cette question que
g
est uniquement continue
sur
1.
Quelle valeur faut-il donner
à
la constante réelle
p
pour qu'il existe une fonction
up
E
T'(I),
dont la dérivée
u;
est la.
fonction
x
+
g(x)
-
p
?
Vérifier que,
pour
cette valeur de
p,
on a
:
En déduire que
Cl
(u)
=
O
Vu
E
r'
(1)
si et seulement si la fonction
g
est constante
sur
1.
PARTIE II
1.
c
étant un
réel
positif
ou
nul
donné,
l-:
(1)
désigne le sous-ensemble de
C'(
1)
dont les éléments sont les
fonctions y telles que y(0)
=
O
et y(1)
=
c
.
Que peut-on dire de la différence y2
-
y,
de deux Bléments
YI
et
y2
de
r:(t)
?
172
CONCOURS
COMMUN POLYTECHNIQUE
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Mathématiques
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2.
f
:(x,t)
+
f
(x,t)
désignant une fonction réelle donnée, définie sur
A
=
1
x
W,
continue, ayant une
af
at
dérivée partielle
-
continue sur
A,
on considère l'application
:
I
O
F:Y
+
F(Y)
=j
f
(x,Y'(x))dr
de
ri(1)
dans
R.
Prouver que si
y
correspond
à
un
minimum local de
F,
alors,
pour toute fonction
u
E
FI(
1)
non nulle, l'application
:
I
c,:e+c,(e)=J
O
f(x,y'(x)+w(x))dx
de
R
dans
R
présente
un
minimum local pour
0
=
O.
3.
Soient
u
et
y
deux Cléments respectivement de
r'
(1)
et
r:
(f)
;
vérifier que
Gu
est dérivable sur
W,
donner l'expression de
C,;(0)
sous forme d'intégrale et déterminer
G:(O)
.
4.
Déduire alors de ce qui précède qu'une condition nécessaire pour que la fonction
y
E
r:
(1)
corresponde
h
un
minimum local de
F
est l'existence d'un réel
h
tel que
y
soit solution sur
f
de I'équation différentielle
:
3h~
w
telque
VxEf -(x,y'(x))=h.
af
Z(x,y')
=
h
c'est
à
dire
at
at
PARTIE
III
1.
U:x+U(~)Ctant une fonction définie sur
1,
continue et croissante, telle que
a(O)>O,
déterminer
l'ensemble
L
des réels
h
2
O
pour lesquels l'équation différentielle
:
I
admet des solutions appartenant
à
C
(1).
Pour tout
A,
E
L,
exprimer sous forme d'intégrale la solution particulière
.v7,
E
C'(1)
de
(EL)
telle que
YL(O)
=O.
2.
Soit la fonction
k
définie sur
L
par
:
h
a>
b)
Montrer que
k
est continue, dérivable et injective sur
L.
On suppose désormais qu'il existe
un
réel strictement positif tel que
~(x)
-
a(0)
2
px
pour tout
x
de
I.
Montrer que
k
est bornée et en déduire que
k
possède une limite finie
K
lorsque
h
tend vers
a(0).
CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE
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Mathématiques
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173
3.
A
quelle condition doit satisfaire le nombre
c
2
O
pour qu'il existe une valeur de
h
pour laquelle
(EL)
I
admette une solution
y
appartenant
à
T,(I)
?
Cette condition étant supposée remplie, montrer que la valeur de
h
est unique
;
on
la
désignera par
h(c).
Vérifier
alors que la seule solution de
(Eicc))
qui appartienne
à
r,(I)
est
I
PARTIE
IV
Les notations étant celles de la partie
II,
on
s'intéresse désormais
à
I'étude des minima locaux stricts de l'application
:
F:Y
-+
F(Y)
=
'f(x,Yt(x)) dx
I
I
de
rc
(1)
dans
W,
dans le cas particulier
la fonction
f
est définie sur
A
=
Z
x
W
par
f(x,r)
=
a(xd1
+t2
,
a
Btant
la fonction introduite au
III.
1.
Etudier, pour tout triplet
(x,r,s)
de
Ax
R
le
signe de
:
@(X,f,S)
=
f(.Y,f
+
s)
-
f(x,r)-
S-(XJ)
af
.
at
2.
Montrer que si la fonction
y
Er:([)
correspond
à
un
minimum local strict parmi
les
fonctions de
rhz)
de
l'application
F,
elle est nécessairement égale
à
la
fonction
y~(~,
définie dans
la
partie
III.
3.
Réciproquement. on
se
propose de montrer que cette fonction
r
=
yk(c)
correspond non seulement
B
un
minimum local strict de
F,
mais au minimum strict absolu. Déduire ce résultat de I'étude du signe de l'intégrale
:
I
j$(.v,
~'(.v),u'(.r))
dx
oh
4
est la fonction définie
à
la question
IV.1
et
u
E
r'(
1).
4.
Ce qui suit est une application au cas particulier
V
.I
E
1
a(x)
=
1
+
X.
Déterminer
L
défini
au
III.
1.
Vérifier que,
V
h
E
L,
V
x
E
1
:
I+X+J-
T~(.Y)
=
h
Ln
I+J-S
5.
Dans le
cas
l
=
1
.
pour quelles fonctions
v(x,y)
sait-on montrer, en utilisant la partie
IV,
qu'il existe
un
arc joignant le point origine
O
et le point particulier
A
de coordonnées
(1.c)
pour lequel
le
temps de parcours est
minimum
'?
Cet arc est-il unique
'?
Fin
de
I'CnoncC
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