TD 5 – Continuité et dérivation sous l`intégrale

Université de Rouen
Licence 3 Mathématiques
2016–2017
Mesure & Intégration
TD 5 – Continuité et dérivation sous l’intégrale - Théorèmes de Fubini
Exercice 1. Soit fla fonction définie sur R+par f(t)=Z+∞
0µsinx
x¶2
e−t x dx.
a) Montrer que fest continue sur R+et deux fois dérivable sur R∗
+.
b) Calculer f00 et les limites en +∞ de fet f0.
c) En déduire une expression simple de f.
Exercice 2.
a) Montrer que la fonction f:x7→ sinx
ex−1est Lebesgue-intégrable sur [0,+∞[.
b) Montrer que, pour tout x>0, on peut encore écrire f(x) sous la forme : f(x)=+∞
X
n=1
e−nx sinx.
Est-ce vrai en 0 ?
c) En déduire que Z+∞
0
sinx
ex−1dx=∞
X
n=1
1
n2+1.
Exercice 3.
a) Démontrer que h:θ7→ln(1−sin2θ) est Lebesgue-intégrable sur [0,π/2[.
b) On considère la fonction F:t7→Zπ/2
0ln(1+tsin2θ)λ(dθ) de Rdans R.
(i) Montrer que Fest définie et continue sur [−1,+∞[.
(ii) Établir que Fest de classe C1sur ] −1,+∞[ et que
∀t∈]−1,+∞[, F0(t)=Zπ/2
0
sin2θ
1+tsin2θλ(dθ).
c)
(i) Montrer que ∀t∈]−1,+∞[, F0(t)=π
2p1+t(1+p1+t).
(ii) En déduire que ∀t∈[−1,+∞[, F(t)=πhln¡1+p1+t¢−ln2i.
Exercice 4. Soit fla fonction définie sur l’espace produit R+×[0,1] par f(x,y)=2e−2x y −
e−x y .
a) Montrer que fest B(R+)⊗B([0,1])-mesurable.
Calculer Z[0,1] ³ZR+ f(x,y)dx´dyet ZR+³Z[0,1] f(x,y)dy´dx. Conclure.
Exercice 5.
a) Montrer que l’intégrale I=Z+∞
0
lnx
x2−1dxest bien définie et vérifie I=−2Z1
0
lnx
1−x2dx.
b) Calculer de deux façons l’intégrale ZR2
+
dxdy
(1+y)(1+x2y)et en déduire la valeur de I.
c) Déduire de la question précédente et d’un développement en série entière de 1/(1−x2)
les égalités
X
n≥0
1
(2n+1)2=π2 8, puis X
n≥1
1
n2=π2 6.
1

CONTINUITÉ ET DÉRIVATION SOUS L’INTÉGRALE - THÉORÈMES DE FUBINI 2
Exercice 6. Soit (X,F,µ) un espace mesuré. Soit fet gdeux fonctions mesurables positives
sur (X,F).
a) Montrer que A=©(x,t)∈E×R+:f(x)≥tª∈F⊗B(R+).
b) Montrer que ZX f dµ=ZR+ µ(©f≥tª)λ(dt).
c) En déduire que, pour tout p≥1, ZX gpdµ=ZR+ pt p−1µ(©g≥tª)λ(dt).
d) Que dire de ZX ϕ◦fdµsi ϕest une fonction croissante de classe C1sur R+nulle en 0 ?
e) En considérant l’application de X×R+×R+dans R+,F: (x,s,t)7→1[s,+∞[(f(x))1[t,+∞[(g(x)),
montrer que
ZX
f g dµ=ZR2
+
µ¡©f≥sª∩©g≥tª¢λ(ds)λ(dt).
Exercice 7. Soit f:R→R+une fonction borélienne positive.
a) Montrer que l’ensemble Af=©(x,y)∈R2: 0 ≤y≤f(x)ªest un borélien de R2et calculer
λ(2)(Af).
[Indication : On pourra procéder par méthode standard]
b) Même question pour le graphe de fdéfini par Gf=©(x,f(x)) : x∈Rª.
c) En déduire que pour λ-presque tout y∈R+,λ¡©x∈R:f(x)=yª¢=0.
Exercice 8. Une formule d’intégration par parties généralisée.
a) Si µest une mesure sur (R,B(R)), on désigne par F=Fµsa fonction de répartition, qui
est une fonction définie sur Rpar F(t)=µ(]−∞,t]).
(i) Montrer que Fest une fonction croissante, admet en tout point une limite à gauche
et est continue à droite.
(ii) À quelle condition sur Fla mesure µest-elle finie, de probabilité ?
(iii) Pour tout x∈R, exprimer µ({x}) en fonction de F. Montrer que Fest continue en x
ssi µ({x}) =0 (xn’est pas un atome de µ).
b) Soit µet νdes mesures finies sur B(R). On désigne par Fet Gleurs fonctions de répar-
tition respectives. Pour des réels fixés aet b, avec a<b, on définit
A=©(x,y)∈R2:a<y≤x≤bª.
En calculant de deux façons différentes µ⊗ν(A), montrer que
Z]a,b]F(t−)ν(dt)+Z]a,b]G(t)µ(dt)=F(b)G(b)−F(a)G(a).
c) Soit fet gdes fonctions positives, λ-intégrables sur Ret
∀x∈R,F(x)=Zx
−∞
fdλ, et G(x)=Zx
−∞
gdλ.
Montrer que Fet Gsont les fonctions de répartition de deux mesures finies sur B(R). En
déduire que
∀a,b∈R,a<b,Z[a,b]F(x)g(x)λ(dx)+Z[a,b]f(x)G(x)λ(dx)=F(b)G(b)−F(a)G(a).