Exercices Exercice 1 On fixe a ∈ R et b ∈ R avec a<b. On

Étude globale des fonctions (C01) — Exercices
Exercice 1 On fixe a∈Ret b∈Ravec a < b. On considère une fonction croissante f: [a, b]→R.
b) Montrer que pour tout entier n∈N∗, l’ensemble Dn
c:= x∈[a, b] ; f(x+) −f(x−)>1
nest fini.
b) En déduire que fest continue sur [a, b]sauf, peut-être, en une infinité dénombrable de points de [a, b].
Exercice 2 Etudier sur l’intervalle I=Rla continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes :
a) f:x7−→ sin( 1
x)si x6= 0 et f(0) = 0.
b) g:x7−→ xsin( 1
x)si x6= 0 et g(0) = 0.
c) h:x7−→ x2sin( 1
x)si x6= 0 et h(0) = 0.
Ces fonctions sont-elles de classe C1sur R?
Exercice 3 Soit fune fonction continue et dérivable sur [a, +∞[. On suppose que fconverge vers f(a)
lorsque xtend vers +∞. Montrer qu’il existe un élément c∈]a, +∞[tel que f0(c) = 0.
Exercice 4 Montrer que Sn=Pn
k=1 1
ktend vers l’infini quand ntend vers l’infini.
Exercice 5 Etablir les inégalités suivantes :
a) `n(1 + x)6x , ∀x > −1.
b) ex>1 + x , ∀x∈R.
c) sin x6x , ∀x>0.
d) |x−y|6|tg x−tg y|62|x−y|,∀(x, y)∈[−π
4,π 4].
Exercice 6 Soit f: [a, b]−→ Rune fonction continue, deux fois dérivable sur ]a, b[et vérifiant :
f(a) = f(b) = 0 et f”(x)60,∀x∈]a, b[.
a) Montrer que f0est une fonction décroissante.
b) On suppose qu’il existe c∈]a, b[tel que f(c)<0. Montrer qu’il existe y∈]a, c[et z∈]c, b[tels que
f0(y)<0et f0(z)>0.
c) En déduire que fest une fonction positive.
Exercice 7 Soit f:R+−→ R∗
+une fonction bornée, deux fois dérivable et vérifiant :
∃α > 0 ; α f(x)6f”(x),∀x∈R+.
a) Montrer que f0est une fonction croissante.
b) Montrer que f0est majorée par 0.
c) En déduire que f0a une limite l60en +∞.
d) Quelle est la valeur de l?
e) Montrer que fconverge vers 0en décroissant lorsque xtend vers +∞.
Exercice 8 On considère f:x7−→ x `nx −x:I=]1,+∞[→R.
a) Montrer que fest dérivable sur I. Identifier les ensembles f(I)et f0(I).
b) Montrer que fest une bijection de Isur f(I).
c) On note g=f−1l’application réciproque de f. Calculer g(0) et g0(0).
Exercice 9 Soit f: [0,1] →Rune fonction continue. Pour chaque n∈N∗, on note gnla fonction qui
àxassocie f(x+1
n)−f(x).
a) On suppose gn(x)>0pour tout x∈[0,1−1
n]. Montrer que f(1) > f (0).
b) On suppose désormais que f(0) = f(1). Montrer que, pour chaque n∈N∗, la fonction gns’annule
en au moins un point de l’intervalle [0,1−1
n].

Exercice 10 Soient aet bdeux réels tels que a < b et f∈C3([a, b],R). En appliquant la formule de
Taylor-Lagrange d’une part entre les extrémités aet a+b
2et d’autre part entre les extrémités a+b 2et b,
montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que :
f(b) = f(a) + (b−a)f0(a+b
2) + 1 24 (b−a)3f000 (c).
Exercice 11 Étant donnée une fonction f:I→Rdéfinie sur un intervalle Ide R, on note :
N∞,I (f) := supt∈I|f(t)|.
1) On se donne une fonction f: [0,+∞[→Rde classe C2. On fixe x∈R+et r > 0. En appliquant la
formule de Taylor au couple de points (x+r, x), montrer que si fet f00 sont bornées sur R+, alors f0est
aussi bornée sur R+. De plus, établir la majoration :
(∗)N∞,R+(f0)62
rN∞,R+(f) + r 2N∞,R+(f00),∀r > 0.
2) En déduire que :
N∞,R+(f0)62pN∞,R+(f)N∞,R+(f00).
Exercice 12 Soit f:R→Rune fonction de classe Cpavec p>1. On suppose que fet f(p)sont
bornées sur R. Montrer que pour tout entier kcompris entre 1et p−1, la fonction f(k)est aussi bornée
sur R.
Indication. Sélectionner (p−1) réels distincts notés h1,···, hp−1puis évaluer pour tout x∈Rles
expressions Px(hi) := Pp−1
k=1
hk
i
k!f(k)(x)en fonction des bornes de fet f(p)sur R.
Exercice 13 Soit f:R−→ Rune fonction continue telle que :
(∗)fx+y
261 2f(x) + f(y),∀(x, y)∈R2.
a) On suppose que fn’est pas convexe. Montrer qu’il existe a∈Ret b∈Ravec a < b et :
f(t·a+ (1 −t)·b)> t ·f(a) + (1 −t)·f(b),∀t∈]0,1[ .
b) En raisonnant par l’absurde, montrer que toute fonction fcontinue vérifiant (∗)est convexe.
Exercice 14 Les affirmations suivantes sont-elles exactes ? Justifier le OUI ou donner un contre-
exemple.
a) Si fest convexe, alors la fonction x7−→ f(x)−xest convexe..
b) Si fest convexe et gest concave, alors f g est concave.
c) Si fet gsont convexes, alors Min (f, g)est convexe.
d) Si fet gsont convexes, alors Max (f, g)est convexe.
e) Si fest convexe et gconcave, alors f+gest convexe.
f) Si fest convexe sur R, alors fne peut pas tendre vers −∞ en +∞.
g) Si fest convexe et si gest convexe croissante, alors g◦fest convexe.
Exercice 15 Soit f: [0,+∞[−→ [0,+∞[concave.
a) Montrer que la fonction x7−→ f(x)/x est décroissante sur ]0,+∞[.
b) Montrer que: ∀(x, y)∈(R+)2, on a f(x+y)6f(x) + f(y).
Exercice 16 Soient n∈N∗,x1,···, xndans ]0,+∞[et y1,···, yndans ]0,+∞[.
a) En utilisant la concavité de la fonction logarithme, montrer l’inégalité arithmético-géométrique :
(x1···xn)1
n6x1+···+xn
n.
b) En déduire que : n!6n+1
2n.
c) Montrer que : Qn
i=1 xi1
n+Qn
i=1 yi1
n6Qn
i=1 (xi+yi)1
n.
Indication : Appliquer la question a) avec xi=ai
ai+bipuis avec xi=bi ai+bi.
Exercice 17 Soit f: [a, b]→Rune fonction convexe. L’objectif de cet exercice est de démontrer que f
est nécessairement dérivable sur ]a, b[sauf, peut-être, en une infinité dénombrable de points de ]a, b[.
a) A l’aide de l’exercice 1, montrer que f0
det f0
gsont des fonctions continues sauf, peut-être, en une
infinité dénombrable (notée D) de points de ]a, b[.
c) Montrer que fest dérivable en tout point x∈]a, b[\D. Conclure.
2

Exercice 18 Soit f: ]a, b[→Rune fonction convexe. Soit [c, d]⊂]a, b[. Montrer que fest une fonction
Lipschitzienne sur [c, d]. A-t’on le même résultat sur ]a, b[?
Exercice 19 Soit f:R−→ Rune fonction convexe. Montrer que les seules situations susceptibles de se
produire sont les suivantes :
-fest croissante sur R.
-fest décroissante sur R.
- il existe a∈Rtel que fest décroissante sur ]− ∞, a]puis croissante sur [a, +∞[.
Exercice 20 Montrer que la fonction x7−→ `n (`nx)est concave sur l’intervalle [1,+∞[. En déduire
que :
`n x+y
2>√`nx `ny , ∀(x, y)∈[1,+∞[2.
Exercice 21 Montrer que la fonction fdéfinie sur l’intervalle ]0, π[en posant f(x) = `n (1 + cos x)est
concave. En déduire que :
f(x)6π
2−x , ∀x∈]0, π[.
Exercice 22 Soient fet gdeux fonctions de classe C2sur R∗
+. On pose g(x) = f(1
x)et h(x) = x f(x).
Montrer que gest convexe si et seulement si hest convexe.
Exercice 23 Soit (an)n∈N∗une suite de nombre réels positifs. On pose un=Pn
k=1 a2
ket vn=Pn
k=1
ak
k.
On suppose que la suite (un)n∈Nconverge. Montrer que la suite (vn)n∈Nconverge aussi.
Exercice 24
a) Montrer que pour tout xon a : 1
x+1 < `n(x+ 1) −`nx < 1 x.
b) En déduire que pour tout entier n>1on a : `n(n+ 1) <1 + 1
2+···+1 n<1 + `nn.
c) Posons un= 1 + 1
2+···+1 n−`nn. Montrer que la suite (un)n∈Nest décroissante et convergente.
Exercice 25 Etant donné yun réel positif et nun entier naturel pair, montrer que (x+y)n=xn+yn
si et seulement si x= 0. Cas nentier naturel impair ?
Exercice 26 Soit a∈Cavec |a|>1et k∈Z. Identifier la limite lorsque ntend vers +∞de la suite
(un)n∈Ndéfinie par un=nka−n.
Exercice 27 Soit f: [0 ,3] →Rla fonction définie par :
f(t) =
−1si t= 0
1si 0< t < 1
3si t= 1
−2si 1< t 62
4si 2< t 63.
Montrer que fest étagée sur [0,3] et identifier une subdivision adaptée à f.
Exercice 28 Soit f: [0 ,3] →Rla fonction définie au niveau de l’exercice 27.
1) Calculer R3
0f(t)dt puis R3
0|f(t)|dt.
2) Soit x∈[0,3]. Calculer F(x) = Rx
0f(t)dt.
3) Montrer que l’application F: [0 ,3] →R(avec F(x)défini comme en 2) est continue sur [0 ,3]. La
fonction Fest-elle dérivable en tout point de l’intervalle [0 ,3] ?
Exercice 29 Soit fune fonction qui est étagée sur [0,1] et qui prend ses valeurs dans l’ intervalle [a, b]
où a < 0< b. On suppose de plus que R1
0f(t)dt = 0.
1) Montrer que les fonctions f+:= max (f, 0) et f−:= −min (f, 0) sont encore étagées sur [0,1].
2) Prouver que : R1
0f+(t)dt =R1
0f−(t)dt. On note γce nombre.
3) Prouver qu’il existe θ∈[0,1] tel que : 06γ6min θ b ;−(1 −θ)a.
4) Etablir l’inégalité : R1
0f(t)2dt 6bR1
0f+(t)dt −aR1
0f−(t)dt .
5) Déduire de ce qui précède la majoration : R1
0f(t)2dt 6−a b.
3

Exercice 30 Les fonctions fsuivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann ?
1) f: [0 ,2] →Rdéfinie par f(t) = [t]où le symbole [t]désigne la partie entière de t.
2) f: [0 ,1] →Rdéfinie par f(t) = [1
t]si 0< t 61,
1si t= 0 .
3) f: [0 ,1] →Rdéfinie par f(t) = 1
tsin (1 t)si 0< t 61,
1si t= 0 .
4) f: [0 ,1] →Rdéfinie par f(t) = 1si t∈[0,1] ∩Q,
1si t∈[0,1] \Q.
Exercice 31 Montrer que les fonctions f,get hdéfinies sur Rvia f(x) = x,g(x) = x2et h(x) = ex
sont intégrables sur tout intervalle [a, b]avec 06a < b. En utilisant comme ci-dessus des subdivisions
régulières, calculer les intégrales R1
0f(t)dt,R2 1g(t)dt et Rx 0h(t)dt (avec x > 0).
Exercice 32 On pose : Sn=1 + √2 + √3 + ···+√n
n√n, n ∈N\ {0}.
1) Donner un exemple de fonction f: [0,+∞[−→ Rcontinue positive et croissante telle que :
Sn=1
nPn
j=1 f(j
n).
2) On se place sur l’intervalle [j
n,j+1 n]. Etablir l’encadrement :
1
nf(j n)6Rj+1
n
j
n
f(t)dt 61
nf(j+1 n),∀j∈ {0,···, n}.
3) En déduire que :
R1
0f(t)dt 6Sn6Rn+1
n
1
n
f(t)dt .
4) Prouver que Snconverge lorsque ntend vers l’infini vers une limite finie l∈R. Calculer l.
Exercice 33 Calculer l’intégrale de f: [a, b]→Robtenue comme limite de sommes de Riemann dans
les cas suivants :
1) f(x) = sin xsur [0,π
2].
2) f(x) = cos xsur [0,π
2].
3) f(x) = αxsur [a, b](on prend α > 0).
Exercice 34 Montrer que chacune des expressions mises en jeu ci-dessous peut s’interpréter comme une
somme de Riemann. Identifier chaque fois la fonction qui permet une telle interprétation. Calculer alors
les limites dont il est question.
1) lim
n−→∞ n
n
X
k=1
e−n
k
k2,2) lim
n−→∞
n
X
k=1
n+k
n2+k2,
3) lim
n−→∞
n−1
X
k=1
1
√n2−k2,4) lim
n−→∞
n
Y
k=1 1 + k2
n21
n.
Exercice 35 Soit f: [a, b]→Rune fonction continue et positive. On pose m:= sup f(x) ; x∈[a, b].
Prouver que :
lim
n→∞ Zb
a
f(x)ndx1
n=m .
Exercice 36 Soit f: [0,1] →Rune application strictement croissante telle que f(0) = 0 et f(1) = 1.
Calculer :
lim
n→∞ Z1
0
f(x)ndx .
Exercice 37 Soit f: [0,1] →Rune fonction continue telle que R1
0f(t)ndt ne prenne qu’un nombre fini
de valeurs lorsque ndécrit N.
1) Montrer que R1
0f(t)2ndt ne prend qu’un nombre fini de valeurs lorsque ndécrit N.
4

2) On suppose qu’il existe ¯ t∈[0,1] tel que f(¯ t)2>1. Trouver une contradiction.
3) On suppose que f2: [0,1] →[0,1] est différente de f2≡0et f2≡1. En examinant la suite (un)n∈N
obtenue en posant un=R1
0f(t)2ndt, trouver une contradiction.
4) Déduire de ce qui précède que f≡ −1ou f≡0ou bien f≡1.
Exercice 38 Soit f: [0,1] →Rune fonction continue par morceaux. Trouver une suite (gn)n∈Nde
fonctions en escaliers telle que :
lim
n−→∞ Z1
0
f(t)gn(t)dt =f(0+) .
Exercice 39 Déterminer toutes les fonctions continues f: [a, b]−→ Rqui vérifient :
Zb
a
f(t)dt = (b−a) sup
t∈[a,b]|f(t)|.
Exercice 40 Soit f: [a, b]→Rune fonction intégrable sur [a, b](avec a < b).
1) On suppose que fest continue en un point x0∈[a, b]en lequel f(x0)>0. Montrer qu’il existe un
couple de points (˜a, ˜ b)∈[a, b]2avec ˜a6x06˜ bet ˜ b−˜a > 0ajusté de façon à ce que R˜
b
˜af(x)dx > 0.
2) En déduire que si fest continue positive sur [a, b]et telle que Rb
af(x)dx = 0 alors fest identiquement
nulle.
3) On suppose que fest continue sur [a, b]avec Rb
af(x)dx = 0. Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel que
f(c) = 0.
4) On suppose que fest continue sur [0,1] avec R1
0f(x)dx =1
2. Montrer qu’il existe d∈[0,1] tel que
f(d) = d.
Exercice 41 Soit f: [0, π]→Rune fonction continue telle que Rπ
0f(u) cos u du =Rπ 0f(u) sin u du =
0. Prouver que fs’annule au moins deux fois sur l’intervalle ouvert ]0, π[.
Exercice 42 Soit f:R→Rune fonction continue sur Ret F(x) = Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou
par faux aux affirmations suivantes :
1) Fest continue sur R.
2) Fest dérivable sur Rde dérivée f.
3) Si fest croissante sur Ralors Fest croissante sur R.
4) Si fest positive sur Ralors Fest positive sur R.
5) Si fest positive sur Ralors Fest croissante sur R.
6) Si fest T-périodique sur Ralors Fest T-périodique sur R.
7) Si fest paire alors Fest impaire.
Exercice 43 Identifier toutes les primitives des fonctions fsélectionnées ci-dessous.
i) f(x) = (tg x)2;ii) f(x) = 1/(x `nx) ; iii) f(x) = x/√x+ 1 ;
iv) f(x) = 1/(3 + e−x) ; v) f(x) = (x−1)/(x2+x+ 1) ; vi) f(x) = (x+ 2)/(x2−3x−4) .
Exercice 44 Soit Φ : [a, b]−→ Rune fonction monotone croissante. Soit λ∈R. Pour x∈[a, b], on
pose f(x) := λ+Rx
aΦ(t)dt. Soient y,y1et y2trois points de [a, b].
1) Montrer que pour y < y1< y26b, on a :
(y2−y1)Zy1
y
Φ(t)dt 6(y2−y1) Φ(y1) (y1−y)6(y1−y)Zy2
y1
Φ(t)dt .
2) Montrer que pour a6y1< y2< y, on a :
(y−y2)Zy2
y1
Φ(t)dt 6(y−y2) Φ(y2) (y2−y1)6(y2−y1)Zy
y2
Φ(t)dt .
3) Montrer que pour a6y1< y < y26b, on a :
(y2−y)Zy
y1
Φ(t)dt 6(y2−y) Φ(y) (y−y1)6(y−y1)Zy2
y
Φ(t)dt .
5