Si il existe une fonction f telle que f =f et f(0)

Lemme :
Si il existe une fonction f telle que f ′ = f et f (0) = 1 alors
cette fonction ne s’annule pas sur R.
Lemme :
Si il existe une fonction f telle que f ′ = f et f (0) = 1 alors
cette fonction ne s’annule pas sur R.
Preuve :
On suppose donc l’existence de cette fonction f . On considère la fonction g dont l’image d’un nombre x est donnée
par la formule :
g(x) = f (x)·f (−x)
Preuve :
On suppose donc l’existence de cette fonction f . On considère la fonction g dont l’image d’un nombre x est donnée
par la formule :
g(x) = f (x)·f (−x)
Cette fonction est dérivable sur R comme produit de deux
fonctions dérivable. La formule de dérivation d’un produit
′
permet d’obtenir l’expression de
[ la ′fonction
] dérivée g :
′
′
g (x) = f (x)·f (−x) + f (x)· − f (−x)
Cette fonction est dérivable sur R comme produit de deux
fonctions dérivable. La formule de dérivation d’un produit
′
permet d’obtenir l’expression de
[ la ′fonction
] dérivée g :
′
′
g (x) = f (x)·f (−x) + f (x)· − f (−x)
= f ′ (x)·f (−x) − f (x)·f ′ (−x)
De la propriété f ′ = f , on déduit :
= f (x)·f (−x) − f (x)·f (−x) = 0
= f ′ (x)·f (−x) − f (x)·f ′ (−x)
De la propriété f ′ = f , on déduit :
= f (x)·f (−x) − f (x)·f (−x) = 0
La fonction g est donc constante. En remarquant que :
g(0) = f (0)·f (−0) = 1×1 = 1
On en déduit que pour tout x ∈ R, on a :
g(x) = 1
La fonction g est donc constante. En remarquant que :
g(0) = f (0)·f (−0) = 1×1 = 1
On en déduit que pour tout x ∈ R, on a :
g(x) = 1
On vient de montrer que le produit f (x)·f (−x) ne s’annule jamais sur R : le facteur f (x) ne s’annule donc pas
sur R.
On vient de montrer que le produit f (x)·f (−x) ne s’annule jamais sur R : le facteur f (x) ne s’annule donc pas
sur R.
Théorème :
Il existe une unique fonction f définie sur R telle que :
f ′ = f et f (0) = 1
Théorème :
Il existe une unique fonction f définie sur R telle que :
f ′ = f et f (0) = 1
Démonstration :
L’existence d’une telle fonction est admise.
Démonstration :
L’existence d’une telle fonction est admise.
Pour montrer qu’il existe une unique fonction réalisant ces deux conditions, procédons au raisonnement
par l’absurdre suivant :
Pour montrer qu’il existe une unique fonction réalisant ces deux conditions, procédons au raisonnement
par l’absurdre suivant :
“Supposons qu’il existe deux fonctions réalisant
f et g distinctes réalisant ces deux conditions.”
“Supposons qu’il existe deux fonctions réalisant
f et g distinctes réalisant ces deux conditions.”
La fonction g vérifiant les conditions recherchées, le
f
lemme permet d’affirmer que le quotient
est défig
nie sur R. Considérons la fonction h définie par :
f (x)
h(x) =
g(x)
La fonction g vérifiant les conditions recherchées, le
f
lemme permet d’affirmer que le quotient
est défig
nie sur R. Considérons la fonction h définie par :
f (x)
h(x) =
g(x)
La fonction h est définie sur R et dérivable sur R
comme quotient de deux fonctions dérivables. La formule de dérivation des quotients permet d’obtenir
l’expression de la fonction h :
f ′ (x)·g(x) − f (x)·g ′ (x)
h′ (x) =
[
]2
g(x)
La fonction h est définie sur R et dérivable sur R
comme quotient de deux fonctions dérivables. La formule de dérivation des quotients permet d’obtenir
l’expression de la fonction h :
f ′ (x)·g(x) − f (x)·g ′ (x)
h′ (x) =
[
]2
g(x)
Les propriétés de f et g permettent d’écrire :
Les propriétés de f et g permettent d’écrire :
h′ (x) =
f (x)·g(x) − f (x)·g(x)
0
=[
[
]2
]2 = 0
g(x)
g(x)
h′ (x) =
f (x)·g(x) − f (x)·g(x)
0
=[
[
]2
]2 = 0
g(x)
g(x)
La dérivée de la fonction h étant nulle, on en déduit
que la fonction h est constante et on a :
f (0)
1
h(0) =
= =1
g(0)
1
On en déduit que pour tout nombre x ∈ R, on a :
f (x)
h(x) = 1 =⇒
= 1 =⇒ f (x) = g(x)
g(x)
La dérivée de la fonction h étant nulle, on en déduit
que la fonction h est constante et on a :
f (0)
1
h(0) =
= =1
g(0)
1
On en déduit que pour tout nombre x ∈ R, on a :
f (x)
h(x) = 1 =⇒
= 1 =⇒ f (x) = g(x)
g(x)
On vient de montrer que ces deux fonctions coïncident sur R : ces deux fonctions sont égales.
On vient de montrer que ces deux fonctions coïncident sur R : ces deux fonctions sont égales.
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Corollaire :
La fonction exp est strictement positive sur R.
Corollaire :
La fonction exp est strictement positive sur R.
Preuve :
Raisonnons par l’absurde pour montrer cette assertion.
Pour cela supposons :
Preuve :
Raisonnons par l’absurde pour montrer cette assertion.
Pour cela supposons :
“La fonction exp n’est pas strictement positive sur R.
C’est à dire qu’il existe au moins un nombre réel a tel
que exp(a) ⩽ 0”
“La fonction exp n’est pas strictement positive sur R.
C’est à dire qu’il existe au moins un nombre réel a tel
que exp(a) ⩽ 0”
Ainsi, a est un nombre réel vérifiant exp(a) ⩽ 0. Sachant
que la fonction exp ne s’annule pas sur R, on a déduit
que le nombre a vérifie :
exp(a) < 0
[
]
On en déduit que 0 ∈ exp(a) ; 1 . Puisque :
exp est continue sur R puisqu’elle continue sur R ;
Ainsi, a est un nombre réel vérifiant exp(a) ⩽ 0. Sachant
que la fonction exp ne s’annule pas sur R, on a déduit
que le nombre a vérifie :
exp(a) < 0
[
]
On en déduit que 0 ∈ exp(a) ; 1 . Puisque :
exp est continue sur R puisqu’elle continue sur R ;
exp(0) = 1
exp(0) = 1
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit l’existence d’un nombre b telle que :
exp(b) = 0
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit l’existence d’un nombre b telle que :
exp(b) = 0
On aboutit à une contradiction car la fonction exp ne
s’annule pas sur R.
On aboutit à une contradiction car la fonction exp ne
s’annule pas sur R.
Corollaire :
La fonction exp est strictement positive sur R.
Corollaire :
La fonction exp est strictement positive sur R.
Preuve :
Raisonnons par l’absurde pour montrer cette assertion.
Pour cela supposons :
Preuve :
Raisonnons par l’absurde pour montrer cette assertion.
Pour cela supposons :
“La fonction exp n’est pas strictement positive sur R.
C’est à dire qu’il existe au moins un nombre réel a tel
que exp(a) ⩽ 0”
“La fonction exp n’est pas strictement positive sur R.
C’est à dire qu’il existe au moins un nombre réel a tel
que exp(a) ⩽ 0”
Ainsi, a est un nombre réel vérifiant exp(a) ⩽ 0. Sachant
que la fonction exp ne s’annule pas sur R, on a déduit
que le nombre a vérifie :
exp(a) < 0
[
]
On en déduit que 0 ∈ exp(a) ; 1 . Puisque :
exp est continue sur R puisqu’elle continue sur R ;
Ainsi, a est un nombre réel vérifiant exp(a) ⩽ 0. Sachant
que la fonction exp ne s’annule pas sur R, on a déduit
que le nombre a vérifie :
exp(a) < 0
[
]
On en déduit que 0 ∈ exp(a) ; 1 . Puisque :
exp est continue sur R puisqu’elle continue sur R ;
exp(0) = 1
exp(0) = 1
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit l’existence d’un nombre b telle que :
exp(b) = 0
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit l’existence d’un nombre b telle que :
exp(b) = 0
On aboutit à une contradiction car la fonction exp ne
s’annule pas sur R.
On aboutit à une contradiction car la fonction exp ne
s’annule pas sur R.
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Lemme :
Pour tout x∈R, on a : ex > x
Lemme :
Pour tout x∈R, on a : ex > x
Preuve :
Considérons la fonction f définie sur R par :
f (x) = ex − x
Cette fonction est dérivable et sa dérivée admet pour expression :
f ′ (x) = ex − 1
Preuve :
Considérons la fonction f définie sur R par :
f (x) = ex − x
Cette fonction est dérivable et sa dérivée admet pour expression :
f ′ (x) = ex − 1
Le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et que e0 = 1, on en déduit que l’inéquation :
f ′ (x) > 0
Le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et que e0 = 1, on en déduit que l’inéquation :
f ′ (x) > 0
ex − 1 > 0
ex > 1
admet pour solution l’ensemble R∗+ . Ainsi, la fonction f ′
admet pour tableau de signe ci-dessous et on en déduit
le tableau de variation de la fonction f :
ex − 1 > 0
ex > 1
admet pour solution l’ensemble R∗+ . Ainsi, la fonction f ′
admet pour tableau de signe ci-dessous et on en déduit
le tableau de variation de la fonction f :
x
Signe
de f ′
-∞
-
Variation
de f
0
x
+∞
0
+
1
Le tableau de variation de la fonction f permet d’obtenir
la minoration suivante de la fonction f :
f (x) > 1
Signe
de f ′
+∞
0
-
0
Variation
de f
+
1
Le tableau de variation de la fonction f permet d’obtenir
la minoration suivante de la fonction f :
f (x) > 1
f (x) > 0
f (x) > 0
e −x>0
ex > x
e −x>0
ex > x
x
-∞
x
Théorème :
On a les deux limites suivantes :
lim ex = 0 ;
lim ex = +∞
Théorème :
On a les deux limites suivantes :
lim ex = 0 ;
lim ex = +∞
Preuve :
D’après le lemme, pour tout x ∈ R, on a la comparaison :
ex > x
Or, on a la limite lim x = +∞. Par les théorèmes
Preuve :
D’après le lemme, pour tout x ∈ R, on a la comparaison :
ex > x
Or, on a la limite lim x = +∞. Par les théorèmes
x7→−∞
x7→+∞
x7→+∞
x7→−∞
x7→+∞
x7→+∞
de comparaison des limites, on en déduit :
lim ex = +∞
de comparaison des limites, on en déduit :
lim ex = +∞
Utilisons le changement de variable x = −X. On a :
1
ex = e−X = X
e
Lorsque le x va tendre vers −∞, la variable X va
tendre vers +∞.
Utilisons le changement de variable x = −X. On a :
1
ex = e−X = X
e
Lorsque le x va tendre vers −∞, la variable X va
tendre vers +∞.
Des deux remarques précédentes, on en déduit l’égalité des deux limites suivantes :
1
lim ex = lim
x7→−∞
X7→+∞ eX
D’après la limite précédente, on en déduit :
lim ex = 0
Des deux remarques précédentes, on en déduit l’égalité des deux limites suivantes :
1
lim ex = lim
x7→−∞
X7→+∞ eX
D’après la limite précédente, on en déduit :
lim ex = 0
x7→+∞
x7→−∞
x7→+∞
x7→−∞
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Proposition :
On a les trois
limites suivantes :
ex
ex − 1
lim
= +∞ ; lim x·ex = 0 ; lim
=1
x7→+∞ x
x7→−∞
x7→0
x
Proposition :
On a les trois
limites suivantes :
ex
ex − 1
lim
= +∞ ; lim x·ex = 0 ; lim
=1
x7→+∞ x
x7→−∞
x7→0
x
Preuve :
On remarque l’égalité suivante :
( x )2
x
( e x2 )2
e2
e 2 ×2
ex
√
= (√ )2 =
=
x
x
x
x
Preuve :
On remarque l’égalité suivante :
( x )2
x
( e x2 )2
e2
e 2 ×2
ex
√
= (√ )2 =
=
x
x
x
x
Nous avons établi, dans un lemme précédent, l’inégalité ci-dessous pour tout u ∈ R :
eu > u
x
En particulier pour u = , on a :
2
x
x
e2 >
2
√
x est un nombre positif :
x
x
x
√
e2
e2
x
√ > √2
√ >
2
x
x
x
x
x
√
e2
x
e2
x
√ > √
√ >
>0
2
x
2· x
x
La fonction
carrée est croissante sur R+ :
( e x2 )2 ( √x )2
√
>
2
x
( e x2 )2
x
√
>
4
x
Nous avons établi, dans un lemme précédent, l’inégalité ci-dessous pour tout u ∈ R :
eu > u
x
En particulier pour u = , on a :
2
x
x
e2 >
2
√
x est un nombre positif :
x
x
x
√
e2
e2
x
√ > √2
√ >
2
x
x
x
x
x
√
e2
x
e2
x
√ > √
√ >
>0
2
x
2· x
x
La fonction
carrée est croissante sur R+ :
( e x2 )2 ( √x )2
√
>
2
x
( e x2 )2
x
√
>
4
x
En utilisant l’égalité de début de démonstration :
ex
x
>
x
4
x
On a la limite lim
= +∞. D’après les théorèmes
x7→+∞ 4
de comparaisons des limites, on obtient :
ex
= +∞
lim
x7→+∞ x
Posons le changement de variable suivant : x = −X
1
X
1
x·ex = −X·e−X = −X· X = − X = − X
e
e
e
X
Lorsque x tend vers −∞, on a X tend vers +∞.
En utilisant l’égalité de début de démonstration :
ex
x
>
x
4
x
On a la limite lim
= +∞. D’après les théorèmes
x7→+∞ 4
de comparaisons des limites, on obtient :
ex
= +∞
lim
x7→+∞ x
Posons le changement de variable suivant : x = −X
1
X
1
x·ex = −X·e−X = −X· X = − X = − X
e
e
e
X
Lorsque x tend vers −∞, on a X tend vers +∞.
Des deux remarques précédentes, on en déduit l’égalité des deux limites suivantes :
1
lim x·ex = lim − X = 0
x7→−∞
X7→+∞
e
X
eX
car lim
= +∞
X7→+∞ X
Des deux remarques précédentes, on en déduit l’égalité des deux limites suivantes :
1
lim x·ex = lim − X = 0
x7→−∞
X7→+∞
e
X
eX
car lim
= +∞
X7→+∞ X
La définition du nombre dérivée en 0 donne :
exp(0+h) − exp(0)
exp′ (0) = lim
h7→0
h
exp(h) − 1
exp(0) = lim
h7→0
h
La définition du nombre dérivée en 0 donne :
exp(0+h) − exp(0)
exp′ (0) = lim
h7→0
h
exp(h) − 1
exp(0) = lim
h7→0
h
eh − 1
h7→0
h
1 = lim
eh − 1
h7→0
h
1 = lim
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