III) Etude de la fonction exponentielle

Etude de la fonction exponentielle :
1) Sens de variations :
Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur I; R.
Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante.
Soient u et v  IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) .
Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb  a<b )
Conséquences : Pour tous réels x et y,
 ex > ey  x > y
 ex = ey  x = y
 ex > 1  x > 0
 ex < 1  x < 0
2) Etude des limites :
Théorème :
 lim e x  
x 

lim e x  0
x 
Démonstration :
 Soit M > 0 .
Montrons qu’il existe A > 0 tel que si x > A , alors ex > M.
Prenons A = ln M : x > A  exp(x) > exp(ln M ) soit exp(x) > M
1
 lim e x  lim e  x  lim x  0
x 
x 
x  e
3) Dérivée de exp :
Admettons que exp est dérivable sur I; R.
Alors , ( ln o exp ) (x) = x
1
En dérivant les deux membres, exp'( x ) 
1
exp( x )
1
Donc exp’(x) = exp(x) ou encore : (ln e x ) '  ( e x ) ' x  1
e
Théorème : La fonction exp est dérivable sur I; R et égale à sa dérivée.
exp’(x) = exp(x)
On dit que exp est une solution de l’équation différentielle y’=y.
5) Comparaison avec la fonction x  x :
x
ex
  et lim x  0
Théorème 1 : lim
x  e
x  x
ln x
x (1
)
ex
ex
x ln x
x
 ln x  e
e
x e
ln x
ln x
 0 donc lim (1 
)  1 et
Or lim
x  x
x 
x
ln x
lim x (1 
)  
x 
x
lim e X   donc lim e
X 
x 
x (1
ln x
)
x
 
Théorème 2 : lim xe x  0
x 
xe x  (  x )e  (  x )  
lim xe x  lim 
x 
X 
x
e x
X
X
  lim X  0
X
X  e
e
6) Approximation affine de exp(x) au voisinage de 0 :
ex = e0 + 1 . x + x  (x) avec lim  ( x )  0
x 0
ex – 1 = x + x  (x)
ex  1
donc
 1   ( x)
x
ex  1
Théorème : lim
1
x 0
x
IV) Dérivées et primitives :
1) Dérivée de eu :
Théorème : Si u est dérivable sur un intervalle I , eu est dérivable sur I et (eu)’ = u’  eu
Exemples :
1) On pose : chx 
e x  e x
e x  e x
et shx 
. Calculer leurs dérivées et étudier leurs variations .
2
2
Solution :
2) ch’(x) = sh(x) et sh’(x) = ch(x)
10
5
-4
-2
0
2
x
4
-5
2) Calcul de primitives :
-10
Exemple : Rechercher une primitive de la fonction f définie par : f(x) = (x-2) ex²-4x+1
Posons u(x) = x²-4x+1 ; alors u’(x) = 2x-4
1
1
f ( x )  (2 x  4)e x ² 4 x 1 par conséquent F ( x )  e x ² 4 x 1
2
2
Exercice : a) Déterminer une primitive de la fonction f définie sur I; R par : f ( x ) 
b) En déduire une primitive de la fonction g définie sur I; R par g ( x ) 
f ( x) 
u '( x )
avec u(x) = ex+1 et u(x) > 0 donc F(x) = ln(ex+1)
u( x )
g ( x) 
ex  1
ex

= 1 – f(x) donc G(x) = x – F(x)
ex  1 ex  1
1
.
e 1
x
ex
ex  1