III) Etude de la fonction exponentielle

Etude de la fonction exponentielle :
1) Sens de variations :
Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur I; R.
Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante.
Soient u et v  IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) .
Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb  a<b )
Conséquences : Pour tous réels x et y,
 ex > ey  x > y
 ex = ey  x = y
 ex > 1  x > 0
 ex < 1  x < 0
2) Etude des limites :
Théorème :
lim x
xe
lim 0
x
xe
Démonstration :
 Soit M > 0 .
Montrons qu’il existe A > 0 tel que si x > A , alors ex > M.
Prenons A = ln M : x > A  exp(x) > exp(ln M ) soit exp(x) > M
1
lim lim lim 0
xx
x
x x x
ee e
3) Dérivée de exp :
Admettons que exp est dérivable sur I; R.
Alors , ( ln o exp ) (x) = x
En dérivant les deux membres,
1
exp'( ) 1
exp( )
xx
Donc exp’(x) = exp(x) ou encore :
1
(ln )' ( )' 1
xx
x
ee
e
Théorème : La fonction exp est dérivable sur I; R et égale à sa dérivée.
exp’(x) = exp(x)
On dit que exp est une solution de l’équation différentielle y’=y.
5) Comparaison avec la fonction x  x :
Théorème 1 :
lim x
x
e
x
et
lim 0
x
x
x
e
ln
(1 )
ln
ln
x
xx x
xx x
x
eeee
xe
Or
ln
lim 0
x
x
x
donc
ln
lim (1 ) 1
x
x
x
et
ln
lim (1 )
x
x
xx
lim X
Xe
donc
ln
(1 )
lim x
xx
xe
Théorème 2 :
lim 0
x
xxe
()
()
xx
x
x
xe x e e
lim lim lim 0
xXX
x X X
XX
xe ee

6) Approximation affine de exp(x) au voisinage de 0 :
ex = e0 + 1 . x + x  (x) avec
0
lim ( ) 0
xx
ex – 1 = x + x  (x)
donc
11 ( )
x
ex
x
Théorème :
0
1
lim 1
x
x
ex
IV) Dérivées et primitives :
1) Dérivée de eu :
Théorème : Si u est dérivable sur un intervalle I , eu est dérivable sur I et (eu)’ = u’ eu
Exemples :
1) On pose :
2
xx
ee
chx 
et
2
xx
ee
shx 
. Calculer leurs dérivées et étudier leurs variations .
Solution :
2) ch’(x) = sh(x) et sh’(x) = ch(x)
2) Calcul de primitives :
Exemple : Rechercher une primitive de la fonction f définie par : f(x) = (x-2) ex²-4x+1
Posons u(x) = x²-4x+1 ; alors u’(x) = 2x-4
² 4 1
1
( ) (2 4)
2xx
f x x e 
par conséquent
² 4 1
1
() 2xx F x e 
Exercice : a) Déterminer une primitive de la fonction f définie sur I;R par :
() 1
x
x
e
fx e
b) En déduire une primitive de la fonction g définie sur I;R par
1
() 1
x
gx e
.
'( )
() ()
ux
fx ux
avec u(x) = ex+1 et u(x) > 0 donc F(x) = ln(ex+1)
1
() 11
xx
xx
ee
gx ee
= 1 – f(x) donc G(x) = x – F(x)
-10
-5
0
5
10
-4 -2 2 4
x