SUR LA DÉRIVÉE DE FONCTIONS LIPSCHITZIENNES - IMJ-PRG

SUR LA D´ ERIV´ EE DE FONCTIONS
LIPSCHITZIENNES D’UNE VARIABLE
THIERRY DE PAUW
On dit d’une fonction f:R→Rqu’elle est lipschitzienne s’il existe
0≤c < ∞tel que |f(y)−f(x)| ≤ c|y−x|quels que soient x, y ∈R,
et l’on note Lip fle plus petit r´eel qui v´erifie cette relation. Dans cette
note on se propose de donner une d´emonstration du
Th´eor`eme 1. Si f:R→Rest lipschitzienne alors fest d´erivable
presque partout, et Rb
af0=f(b)−f(a)quels que soient les r´eels a < b.
Dans le th´eor`eme 1 on se r´ef`ere `a la mesure de Lebesgue dans R,
quel l’on notera λ. On adoptera aussi les notations suivantes. Pour
−∞ <a<b<∞on pose (a, b) := R∩ {a+t(b−a) : 0 <t<1}et
[a, b] := R∩ {a+t(b−a) : 0 ≤t≤1}, et l’on appelle intervalles les
ensembles de ce type.
Un nombre d´eriv´e de fen xest un r´eel α∈Rayant la propri´et´e
suivante : il existe des r´eels non nuls h1, h2, . . . tels que limjhj= 0 et
α= lim
j
f(x+hj)−f(x)
hj
.
L’ensemble des nombres d´eriv´es de fest not´e Der(f;x). Si fest lip-
schitzienne alors Der(f;x)6=∅. En effet
(1) 
f(x+hj)−f(x)
hj
≤Lip f
pour chaque j= 1,2, . . . ; par compacit´e il existe des entiers j(1) <
j(2) < . . . et α∈Rtels que h−1
j(k)(f(x+hj(k))−f(x)) →αquand
k→ ∞. Il r´esulte aussi de (1) que Der(f;x)⊂[−Lip f, Lip f]. Il est
ais´e de v´erifier que fest d´erivable en xsi et seulement si Der(f;x) est
un singleton.
Date: Le 4 mars 2003.
The research of the author was supported by a Marie Curie fellowship of the
European Community program Human Potential under contract HMPF-CT-2001-
01235.
L’auteur est chercheur qualifi´e du Fonds National de la Recherche Scientifique,
Belgique.
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2 THIERRY DE PAUW
Une pr´e-d´eriv´ee de fest une fonction mesurable g:R→Rtelle
que g(x)∈Der(f;x) pour presque tout x∈R. On a alors |g| ≤ Lip f
presque partout.
Proposition 2. Si f:R→Rest lipschitzienne et si gest une pr´e-
d´eriv´ee de falors Rb
ag=f(b)−f(a)quels que soient les r´eels a < b.
D´emonstration. Choisissons un ensemble n´egligeable N⊂(a, b) tel que
chaque x∈(a, b)\Nait les propri´et´es suivantes :
(A) xest un point de Lebesgue de g;
(B) g(x)∈Der(f;x).
Soit ε > 0, et x∈(a, b)\N. D’apr`es (A) il existe 0 < δ(x)<min{x−
a, b −x}tel que
(2)  g(x)λ(I)−ZI g < ελ(I)
pour chaque intervalle I⊂Rtel que x∈Iet diam I < δ(x). D’apr`es
(B) il existe une suite h1, h2, . . . telle que 0 <|hj|< δ(x) et
(3) 
f(x+hj)−f(x)
hj
−g(x) < ε,
pour chaque j= 1,2, . . .. On pose I(x, j) := [x, x +hj] si hj>0 et
I(x, j) := [x+hj, x] si hj<0, j= 1,2, . . ., de sorte que (3) se r´ecrit
(4) |f(max I(x, j)) −f(min I(x, j)) −g(x)λ(I(x, j))|< ελ(I(x, j)) .
Ensuite on choisit un ouvert U⊂(a, b) tel que N⊂Uet λ(U)< ε,
et pour chaque x∈Nune suite d’intervalles ferm´es I(x, 1), I(x, 2), . . .
contenus dans Uet tels que limjdiam I(x, j) = 0.
Observons que
V=∪{I(x, j) : x∈(a, b), j = 1,2, . . .}
est un recouvrement de Vitali de l’intervalle (a, b), par cons´equent il
existe une sous-famille d´enombrable d’intervalles deux `a deux disjoints
I1, I2, . . . ∈Vtelle que λ((a, b)\ ∪∞
k=1Ik) = 0. Il existe un entier κtel
que
(5) λ((a, b)\ ∪κ
k=1Ik)< ε.
Remarquons que (5) entraˆıne
(6) 
Zb
a
g−
κ
X
k=1 ZIk
g < εLip f

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puisque |g| ≤ Lip fpresque partout. Ensuite observons que (a, b)\
∪κ
k=1Ikest r´eunion finie d’intervalles ouverts que l’on note U1, . . . , Up,
et Pp
i=1 λ(Ui)< ε. Il est d`es lors ´evident que
f(b)−f(a) =
κ
X
k=1
(f(max Ij)−f(min(Ij))+
p
X
i=1
(f(sup Ui)−f(inf Ui))
d’o`u
f(b)−f(a)−
κ
X
k=1
(f(maxIk)−f(min Ik))
≤
p
X
i=1
|f(sup Ui)−f(inf Ui)|
< εLip f.
(7)
Finalement, posons K:= {1, . . . , κ}et notons Kr⊂Kl’ensemble des
indices ktels que Ik=I(x, j) pour un certain x∈(a, b)\Net un
certain entier j. Il apparaˆıt alors, d’apr`es (2) et (4), que
κ
X
k=1 f(maxIk)−f(min Ik)−ZIk
g
≤X
k∈Kr
f(max Ik)−f(min Ik)−ZIk
g
+X
k∈K\Kr
f(max Ik)−f(min Ik)−ZIk
g
<X
k∈Kr
2ελ(Ik)
+X
k∈K\Kr
2Lip(f)λ(Ik)
<2ε(b−a)+2εLip f.
(8)
Il suit de (6), (7) et (8) que
Zb
a
g−(f(b)−f(a)) <2ε(b−a)+4εLip f.
Puisque ε > 0 est arbitrairement petit, la preuve est compl`ete. 

4 THIERRY DE PAUW
On termine la d´emonstration du th´eor`eme 1 de la mani`ere suivante.
On remarque que
g∗(x) := lim inf
h→0
f(x+h)−f(x)
h
et
g∗(x) := lim sup
h→0
f(x+h)−f(x)
h
sont des pr´e-d´eriv´ees de f. La proposition 2 entraˆıne que
Zb
a
g∗=f(b)−f(a) = Zb
a
g∗,
et donc aussi Zb
a
(g∗−g∗) = 0
quel que soit l’intervalle [a, b]⊂R. Comme g∗−g∗≥0 il en r´esulte
aussitˆot que g∗=g∗presque partout. Puisque Der(f;x)⊂[g∗(x), g∗(x)]
pour tout x∈R, cela montre que fest d´erivable presque partout. Enfin
la formule fondamentale du calcul diff´erentiel et int´egral d´ecoule `a son
tour de la propisition 2 car f0est une pr´e-d´eriv´ee de f.
Universit´ e Paris-Sud, Equipe d’analyse harmonique, Bˆ atiment 425,
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