Dérivabilité de fonctions de plusieurs variables

22
2.3
2.3. Dérivabilité en plusieurs variables
Dérivabilité en plusieurs variables
La dérivée d’une fonction, lorsqu’elle existe, est liée aux variations de
la fonction tandis que l’un de ses variables parcourt une direction. Pour
fonctions d’une variable réelle la seule direction possible à parcourir est
l’axe des abscisses. For fonctions de plusieurs variables la situation est
très di↵érente. L’espace Rn possède une infinité de directions. Il peut
s’avérer intéressant d’étudier comment une fonction évolue lorsque ses
variables évoluent le long d’une direction donnée. Pour cette raison
on introduit la notion de dérivée directionnelle (dérivée d’une fonction
par rapport à une direction quelconque). Si la direction choisi est l’un
des axes de reference, on parle de dérivée partielle de la fonction par
rapport à l’un de ses variables.
Définition 2.3.1 [Dérivées directionnelles] Soit f : D 7! R une fonction définie sur un ouvert D de Rn et soit x0 2 D. Soit v un vecteur de
Rn de norme unitaire. On pose v (t) = f (x0 + tv). On dit que f admet
dérivée dans la direction v au point x0 si v (t) est derivable en 0 et on
pose :
f (x0 + tv) f (x0 )
Dv f (x0 ) = 0v (0) = lim
t!0
t
Exemple 8 On considere la fonction f : R2 7! R
f (x, y) = ex y
On veut calculer la dérivée directionnelle de la fonction f le long la
direction v = ( 35 , 45 ) au point (2, 0).
3
4 2+ 5 t
f (2 + 35 t), 45 t
e
t 4 2
Dv f (2, 0) = lim
= lim 5
= e
t!0
t!0
t
t
5
Définition 2.3.2 [Dérivées partielles premières] Soit f : D 7! R une
fonction définie sur un ouvert D de Rn et soit x0 2 D. On dit que
f admet dérivée partielle au point x0 par rapport à sa variable xi (i =
Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables
23
1, · · · , n) si la limite
f (x1 , · · · , xi 1 , xi + h, xi+1 , · · · , xn )
h!0
h
lim
f (x1 , · · · , xi 1 , xi , xi+1 , · · · , xn )
existe et est finie. Cette limite est notée fxi 0(x0 ) ou
@f
@xi ou
@xi f (x0 ).
Remarque 6 Il s’agit de limites d’une fonction réelle de variable réelle !
En pratique, pour calculer la dérivée partielle de f par rapport à sa
variable xi on gèle toutes les variables xj pour j 6= i et on dérive f
comme une fonction de la seule variable xi .
Exemple 9 On considere la fonction f : R2 7! R
f (x, y) = 3x2 + 4xy + 7y 2
La dérivée partielle de f par rapport à x est donné par :
@x f (x, y) = 6x + 4y.
La dérivée partielle de f par rapport à y est donné par :
@y f (x, y) = 4x + 14y.
Exemple 10 On considere la fonction f : R3 7! R
f (x, y, z) = 5xzln(1 + 7y)
La dérivée partielle de f par rapport à x est donné par :
@x f (x, y, z) = 5zln(1 + 7y).
La dérivée partielle de f par rapport à y est donné par :
@y f (x, y, z) =
35xz
7y
La dérivée partielle de f par rapport à z est donné par :
@y f (x, y, z) = 5xln(1 + 7y).
,
24
2.3. Dérivabilité en plusieurs variables
Définition 2.3.3 [Dérivabilité] Si f admet toutes les dérivées partielles
premières on dit que f est dérivable.
Remarque 7 [Important] Contrairement au cas de fonctions d’une variable, en plusieurs variables c’est pas vrai que une fonction dérivable
est nécessairement continue. Par exemple on considère la fonction f :
R2 7! R définie par :
⇢ xy
si(x, y) 6= (0, 0)
2
2
f (x, y) = x +y
0 sinon
Cette fonction admet dérivées partielles @x f (x, y), @y f (x, y) au point
(0, 0) :
f (h, 0) f (0, 0) 0 0
@x f (0, 0) = lim
=
= 0,
h!0
h
h
f (0, h) f (0, 0) 0 0
@y f (0, 0) = lim
=
= 0.
h!0
h
h
Cependant la fonction n’est pas continue au point (0, 0) (on l’a déjà
montré !).
Définition 2.3.4 [Vecteur gradient] Le gradient d’une fonction dérivable
f au point x0 2 Rn est le vecteur :
rf (x0 ) = (@x1 f (x0 ), @x2 f (x0 ), · · · , @xn f (x0 ))
ou les composantes sont les dérivées partielles de f au point x0 .
Lorsque il existe, le vecteur gradient de f au point x0 est orthogonal à
la courbe de niveau de f passant par x0 .
On considère une fonction f : Rn 7! Rp , p > 1. On dit que f
est dérivable au point x0 si toutes les composantes fi (x1 , · · · , xn ), i =
1, · · · , p, sont dérivables au point x0 .
Définition 2.3.5 [Matrice jacobienne] Soit f : Rn 7! Rp , p > 1, f
dérivable au point x0 2 Rn . La matrice jacobienne de f au point x0 2 Rn
Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables
est la matrice :
0
B
Jf (x0 ) = @
@f1
@x1 (x0 )
25
···
...
..
.
@fp
@x1 (x0 ) · · ·
@f1
@xn (x0 )
1
C
..
.
A
@fp
@xn (x0 )
où les lignes sont les gradients des composantes fi , i = 1, · · · , p, au
point x0 .
Exactement comme dans le cas des fonction d’une variable, en plusieurs variables la composition de fonctions dérivables est dérivable. La
dérivée composée se calcule à l’aide de la ”chain rule”. Ici on donne la
formule pour deux cas très simples.
Théorème 2.3.6 [Chain rule]
— Cas R 7! R2 7! R
Soient h : R 7! R2 et f : R2 7! R telles que soit bien définie
la fonction composée g = f h : R 7! R. Si h est dérivable au
point t 2 R et f est dérivable au point (x(t), y(t)) 2 R2 alors g est
dérivable en t et sa dérivée est donnée par :
g0(t) =
@f
@f
(x(t), y(t))x0(t) +
(x(t), y(t))y0(t)
@x
@y
— Cas R2 7! R2 7! R
Soient h : R2 7! R2 et f : R2 7! R telles que soit bien définie
la fonction composée g = f h : R2 7! R. Si h est dérivable au
point (u, v) 2 R2 et f est dérivable au point (x, y) 2 R2 alors g est
dérivable en (u, v) et ses dérivées partielles sont données par :
@g
@f
@x
@f
@y
(u, v) =
(x(u, v), y(u, v)) (u, v)+ (x(u, v), y(u, v)) (u, v),
@u
@x
@u
@y
@u
@g
@f
@x
@f
@y
(u, v) =
(x(u, v), y(u, v)) (u, v)+ (x(u, v), y(u, v)) (u, v).
@v
@x
@v
@y
@v
26
2.3. Dérivabilité en plusieurs variables
Exemple 11 On vise à calculer la dérivée de la fonction z : R 7! R,
où :
— z(t) = f (x(t), y(t))
— f (x, y) = x2 + y 2 + xy
— x(t) = sin t
— y(t) = et
z(t) est dérivable car elle est composition de fonctions dérivables. D’après
la chain rule on a :
z0(t) = @x f (x(t), y(t))x0(t) + @y f (x(t), y(t))y0(t) =
(2x(t) + y(t))x0(t) + (2y(t) + x(t))y0(t) =
(2 sin t + et ) cos t + (2et + sin t)et