Dérivabilité de fonctions de plusieurs variables

22 2.3. D´erivabilit´e en plusieurs variables
2.3 D´erivabilit´e en plusieurs variables
La d´eriv´ee d’une fonction, lorsqu’elle existe, est li´ee aux variations de
la fonction tandis que l’un de ses variables parcourt une direction. Pour
fonctions d’une variable r´eelle la seule direction possible `a parcourir est
l’axe des abscisses. For fonctions de plusieurs variables la situation est
tr`es di↵´erente. L’espace Rnposs`ede une infinit´e de directions. Il peut
s’av´erer int´eressant d’´etudier comment une fonction ´evolue lorsque ses
variables ´evoluent le long d’une direction donn´ee. Pour cette raison
on introduit la notion de d´eriv´ee directionnelle (d´eriv´ee d’une fonction
par rapport `a une direction quelconque). Si la direction choisi est l’un
des axes de reference, on parle de d´eriv´ee partielle de la fonction par
rapport `a l’un de ses variables.
D´efinition 2.3.1 [D´eriv´ees directionnelles] Soit f:D7! Rune fonc-
tion d´efinie sur un ouvert Dde Rnet soit x02D. Soit vun vecteur de
Rnde norme unitaire. On pose v(t)=f(x0+tv). On dit que fadmet
d´eriv´ee dans la direction vau point x0si v(t)est derivable en 0et on
pose :
Dvf(x0)=0v(0) = lim
t!0
f(x0+tv)f(x0)
t
Exemple 8 On considere la fonction f:R27! R
f(x, y)=exy
On veut calculer la d´eriv´ee directionnelle de la fonction fle long la
direction v=(
3
5,4 5)au point (2,0).
Dvf(2,0) = lim
t!0
f(2 + 3
5t),4 5t
t=lim
t!0
4
5e2+3
5tt
t=4 5e2
D´efinition 2.3.2 [D´eriv´ees partielles premi`eres] Soit f:D7! Rune
fonction d´efinie sur un ouvert Dde Rnet soit x02D. On dit que
fadmet d´eriv´ee partielle au point x0par rapport `a sa variable xi(i=

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 23
1,···,n)si la limite
lim
h!0
f(x1,···,x
i1,x i+h, xi+1,···,x n)f(x1,···,x i1,x i,x i+1,···,x n)
h,
existe et est finie. Cette limite est not´ee fxi0(x0)ou @f
@xiou @xif(x0).
Remarque 6 Il s’agit de limites d’une fonction r´eelle de variable r´eelle !
En pratique, pour calculer la d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a sa
variable xion g`ele toutes les variables xjpour j6=iet on d´erive f
comme une fonction de la seule variable xi.
Exemple 9 On considere la fonction f:R27! R
f(x, y)=3x2+4xy +7y2
La d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a xest donn´e par :
@xf(x, y)=6x+4y.
La d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a yest donn´e par :
@yf(x, y)=4x+14y.
Exemple 10 On considere la fonction f:R37! R
f(x, y, z)=5xzln(1 + 7y)
La d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a xest donn´e par :
@xf(x, y, z)=5zln(1 + 7y).
La d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a yest donn´e par :
@yf(x, y, z)=35xz
7y
La d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a zest donn´e par :
@yf(x, y, z)=5xln(1 + 7y).

24 2.3. D´erivabilit´e en plusieurs variables
D´efinition 2.3.3 [D´erivabilit´e] Si fadmet toutes les d´eriv´ees partielles
premi`eres on dit que fest d´erivable.
Remarque 7 [Important] Contrairement au cas de fonctions d’une va-
riable, en plusieurs variables c’est pas vrai que une fonction d´erivable
est n´ecessairement continue. Par exemple on consid`ere la fonction f:
R27! Rd´efinie par :
f(x, y)=⇢xy
x2+y2si(x, y)6=(0,0)
0sinon
Cette fonction admet d´eriv´ees partielles @xf(x, y),@yf(x, y)au point
(0,0) :
@xf(0,0) = lim
h!0
f(h, 0) f(0,0)
h=00 h=0,
@yf(0,0) = lim
h!0
f(0,h)f(0,0)
h=00 h=0.
Cependant la fonction n’est pas continue au point (0,0) (on l’a d´ej`a
montr´e !).
D´efinition 2.3.4 [Vecteur gradient] Le gradient d’une fonction d´erivable
fau point x02Rnest le vecteur :
rf(x0)=(@x1f(x0),@
x2f(x0),···,@ xnf(x0))
ou les composantes sont les d´eriv´ees partielles de fau point x0.
Lorsque il existe, le vecteur gradient de fau point x0est orthogonal `a
la courbe de niveau de fpassant par x0.
On consid`ere une fonction f:Rn7! Rp,p>1. On dit que f
est d´erivable au point x0si toutes les composantes fi(x1,···,x
n), i=
1,···,p,sontd´erivablesaupointx0.
D´efinition 2.3.5 [Matrice jacobienne] Soit f:Rn7! Rp,p>1,f
d´erivable au point x02Rn. La matrice jacobienne de fau point x02Rn

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 25
est la matrice :
Jf(x0)=0
B
@
@f1
@x1(x0)··· @f1 @xn(x0)
.
.
.....
.
.
@fp
@x1(x0)··· @fp @xn(x0)
1
C
A
o`u les lignes sont les gradients des composantes fi,i=1,···,p, au
point x0.
Exactement comme dans le cas des fonction d’une variable, en plu-
sieurs variables la composition de fonctions d´erivables est d´erivable. La
d´eriv´ee compos´ee se calcule `a l’aide de la ”chain rule”. Ici on donne la
formule pour deux cas tr`es simples.
Th´eor`eme 2.3.6 [Chain rule]
— Cas R7! R27! R
Soient h:R7! R2et f:R27! Rtelles que soit bien d´efinie
la fonction compos´ee g=fh:R7! R. Si h est d´erivable au
point t2Ret fest d´erivable au point (x(t),y(t)) 2R2alors gest
d´erivable en tet sa d´eriv´ee est donn´ee par :
g0(t)=@f
@x(x(t),y(t))x0(t)+@f @y(x(t),y(t))y0(t)
— Cas R27! R27! R
Soient h:R27! R2et f:R27! Rtelles que soit bien d´efinie
la fonction compos´ee g=fh:R27! R. Si h est d´erivable au
point (u, v)2R2et fest d´erivable au point (x, y)2R2alors gest
d´erivable en (u, v)et ses d´eriv´ees partielles sont donn´ees par :
@g
@u(u, v)=@f @x(x(u, v),y(u, v))@x @u(u, v)+@f @y(x(u, v),y(u, v))@y @u(u, v),
@g
@v(u, v)=@f @x(x(u, v),y(u, v))@x @v(u, v)+@f @y(x(u, v),y(u, v))@y @v(u, v).

26 2.3. D´erivabilit´e en plusieurs variables
Exemple 11 On vise `a calculer la d´eriv´ee de la fonction z:R7! R,
o`u :
—z(t)=f(x(t),y(t))
—f(x, y)=x2+y2+xy
—x(t)=sint
—y(t)=et
z(t) est d´erivable car elle est composition de fonctions d´erivables. D’apr`es
la chain rule on a :
z0(t)=@xf(x(t),y(t))x0(t)+@yf(x(t),y(t))y0(t)=
(2x(t)+y(t))x0(t)+(2y(t)+x(t))y0(t)=
(2 sin t+et)cost+(2et+sint)et